2023年江西省九年級數學學科核心素養(yǎng)卷（中考數學模擬練習）-試卷下載-教習網

試題參考答案與解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題有1個選項符合題意，每小題精準選對得3分，否則不得分，共18分）
下列說法正確的個數是（）
③
【答案】：A
【解析】：①：末兩位“54”不可以被4整除，錯誤；②：各位數字和為114，可以被3整除，故錯誤；③：末位數為奇數，錯誤。故選A。
如圖所示的模糊的幾何體繞它的中心軸順時針旋轉45°后從箭頭方向可以看到的是（）
【答案】：D
【解析】：我們應該可以看到：。A選項是逆時針轉45°所看到的；B選項是順時針轉135°所看到的；C選項是逆時針轉135°所看到的。
非零數x、y、z滿足：、、，則（）
【答案】：D
【解析】：分別對三個式子取倒數后聯(lián)立，得方程組，繼而，三式相加，得，配方得，算知、、，帶回原方程組檢驗發(fā)現不成立，故原方程組無實數解，選D。
函數與函數有m個交點，則下列說法正確的是（）
在菱形ABCD中，，E、F為邊AD、CD上的點，滿足，若,則（）
【答案】：A
有m張卡片上寫了m個不同的正整數（），現在從中隨機取3個數，且其和為質數，則m的最大值是（）
【答案】：B
【解析】：當選取4個數時，在卡片上寫1、3、7、9即可。當選取5個數時，考慮除以3的余數，若前3個數取余0、1、2，則無論再添加怎樣的兩個數都有概率使其可以被3整除，若前3個數的值只有兩種，也無論再添加怎樣的兩個數都有概率使其可以被3整除。故4個數是最大值，選B。
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
因式分解：____________________．
【答案】：
【解析】：
關于x的方程有兩個不相等的實數根a、b，則__________．
【答案】：161
【解析】：易知，則，，原式=，又，所以原式值為161。
我國數學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”：用圓內接正多邊形的周長去無限逼近圓的周長并以此求取圓周率，從正六邊形到正十二邊形再到正二十四邊形……最終將圓周率精確到了小數點后7位，則他將正多邊形擴展到的邊數的最小值是__________．
【答案】：11288
【解析】：設圓半徑為r，周長為C，則，設圓內接正多邊形周長為C1，則，由題，n為6的倍數，且，則n的最小值為11288。
關于x的方程的實數根的取值范圍是，則整數__________．
【答案】：0
【解析】：設函數，當時，，當時，，故關于x的方程的實數根的取值范圍是，即。
小明同學告訴小方二次函數過點、、、（k為正整數），但小方認為有一個點的縱坐標錯誤，設這個錯誤的點的縱坐標值為m，則__________．
【答案】：359
【解析】：觀察發(fā)現：，，，故，，，。
函數與交于點，且i、j為整數，則非零數a、b滿足關系式：__________．
【答案】：（且）
【解析】：令，則，變形得，即，因為此時x、y為整數，所以為整數，因為，所以，所以，即。
三、解答題（本大題共11小題，共84分）
求和符號“?”滿足：，，請先理解它的運算規(guī)律再計算：（6分）．
解：
原式
原式
“Z公司”舉辦迎接虎年活動。在網頁抽獎活動中，有概率抽中“虎”、“生”、“威”三種卡片，且抽中每張卡片的概率均為，小明同學在參加本次活動中恰抽獎4次便集齊了“虎虎生威”這4張卡片（沒有順序），請計算發(fā)生這件事的概率（6分）．
解：
若恰好4次集齊“虎虎生威”：
當第一次抽到“虎”，剩下三次抽到“虎生威”（沒有順序）的概率為
當第一次抽到“生”，剩下三次抽到“虎虎威”（沒有順序）時：
①下一次抽到“虎”，剩下兩次抽到“虎威”（沒有順序）的概率為
②下一次抽到“威”，剩下兩次抽到“虎虎”的概率為
當第一次抽到“威”，剩下三次抽到“虎虎生”（沒有順序）時：
①下一次抽到“虎”，剩下兩次抽到“虎生”（沒有順序）的概率為
②下一次抽到“生”，剩下兩次抽到“虎虎”的概率為
綜上，恰好4次集齊“虎虎生威”的概率為
若，計算：（6分）．
解：如右圖，構造直角三角形ABC，
使，在BC上取點D使,再在BD上取點E使，則
設
∴。
設
∴
在Rt△ABD中：
∴
解得：
設，同理，可得
∴
∴
平面上有一個圓和一個點P，按要求使用無刻度直尺作圖．
（1）如圖1，點P在圓上，求作該圓過點P的切線（3分）；
（2）如圖2，點P不在圓上，求作該圓過點P的切線（3分）．
請在平面直角坐標系xOy中，作出函數與點，然后回答下列問題．
（1）函數的圖像類似于我們學過的__________函數（2分）；
（2）作以點A為圓心，半徑為1的圓，求該圓與函數的交點個數（4分）．
解：（1）反比例
（2）設此反比例函數上一點
∴
令
∴
化簡得：
∴
∵有一個實數根
∴有兩個實數根
∴有兩個實數根
∴此反比例函數上到A距離為1的點有2個
∴此反比例函數與所作圓的交點有2個
AB、CD分別與圓O相切于E、G，且，EG為直徑，且．
（1）如圖1，證明：BC為圓O切線（4分）；
（2）如圖2，若BC切圓O于F，OF與EC交于點H，且，求的值（4分）．
解：（1）如圖1，延長CO交BA延長線于M，過B作OF⊥BC于F
∵AB∥CD
∴∠EMO=∠OCG
∵AB、CD分別與圓O相切于E、G
∴,
∴
∵
在△MEO與△CGO中：
∴△MEO≌△CGO（AAS）
∴，
∵
∴，即
∴，且
∵
∴
∴BC為圓O切線．
（2）解：如圖2：延長CO交BA延長線于M，連接EF、OB
∵，
∴
∴EF∥MC
∴
設，則，
∴，，
又∵
∴△OFB∽△CFO
∴
∴,即
∴
∵EFMC
∴△BEF∽△BMC
∴
∴
∴
∴．
在正方形ABCD中：，直角三角形DEF的直角頂點D與正方形頂點重合，且,連接AE、CF，作CF中點M．
（1）如圖1，連接DM，直接寫出AE、DM之間的數量關系（畫出解題輔助線）（4分）；
（2）如圖2，作AD中點G，連接CG，過點D分別作CG、EF垂線，垂足分別為P、Q，連接PM、QM，直接寫出的值（畫出解題輔助線）（4分）．
解：（1）（2）
【探究】如圖1所示，透明敞口容器為正方體，其中裝有一些液體，開始轉動前，ABCD緊緊貼合桌面，現將正方體繞軸AB旋轉，且液體沒有溢出，某一時刻，液面恰好過CD，液體的三視圖如圖2所示，設旋轉角．
①直接寫出液體體積（1分）；
②直接寫出旋轉角（2分）；
【拓展】在圖1的基礎上，向左或向右旋轉容器，但不使液體溢出，其正視圖如圖3、4所示，設液面為PQ，，，求y與x的關系式并直接寫出對應的取值范圍（5分）．
解：【探究】：①24dm3 ②36.87°
【拓展】：①當時：
∴
∴（）
②當且液體不溢出時：
∴
∴（）
正n邊形內接于☉O（），在上有一個動點P．
（1）直接寫出PA1、PA2、PA3之間的數量關系（用含n的式子表示）（4分）；
（2）當、時，過點P作PM∥OA2交OA1于M，連接OP，作三角形PMO內心I，過點I作IJ∥A1A2交☉O于J，求證：IJ為定值（簡述證明思路）（5分）．
解：（1）
（2）如右圖，連接A1O、PO、OI，
可得
又，，
可證△A1IO≌△PIO（SAS）
即為定值，則點I在以A6為圓心，A6O為半徑的上，
我們發(fā)現與全等，所以IJ為定值
在平面直角坐標系xOy中，二次函數和點（）．
（1）直線y2恒過點A，于y1順次交于M、N，過點M、N分別向x軸作垂線，垂足為P、Q，探究OA、MP、MQ、MN的數量關系，并探究形如拋物線的第二定義（4分）；
（2）平行于x軸的定直線m在y1的準線下方，R為此直線上的一個動點，過點R作切y1的直線，切點為S、T，求證：直線ST過定點（5分）．
解：（1），理解：由如下：
如右圖，設
作直線，延長MP、NQ分別交y3于點I、J
由兩點之間距離公式，得：
發(fā)現
同理，
∵
∴
由此，我們可以得出：拋物線的第二定義是：給定y軸上一點A（焦點），作過這個點關于x軸對稱的點且平行于x軸的直線l（準線），所有到A的距離與到l的距離相等的點的集合即為拋物線。
（2）連接SA，過點S作于點K，連接AK交SR于點F
由（1）：
假設在AK上，垂直平分AK
假設與拋物線有另一個交點
∴
過點作于點
∴，矛盾
∴切拋物線
∴SF垂直平分AK
延長SR交AO于點D，連接DK
∵SF垂直平分AK
∴，，SD平分，，F為AK中點
∴
∵O為AL中點
∴FO為三角形AKL邊KL中位線
∴FO∥KL，
∵，
∴
∴
過點S作于點E，過點T作于點C，設AO與l交于點L，TR與AO交于點B，延長FO交TR于點G，連接AG
易知四邊形SELK為矩形
∴，
∴
∴
同理：
∵m∥OF
∴
∴△DRH∽△FAO
同理：△RHB∽△AOG
∴
∴
∵
∴
∴
∵m為給定直線
∴OH為定值
∴OW為定值
∴W為定點
在銳角三角形ABC中，點H為垂心，分別以邊BC、AC、AB中點D、E、F為圓心，該中點到H距離為半徑作圓與該邊交于A1、A2、B1、B2、C1、C2，求證：A1、A2、B1、B2、C1、C2共圓．（12分）
解：設⊙E、⊙F除H另一個交點為K
∵KH為⊙E、⊙F公共弦
∴
∵EF為三角形ABC邊BC中位線
∴EF∥BC
∵
∴
∴A、K、H共線
連接C1H，C2K
∴
∴△AC2K∽△AHC1
∴
同理
∴
∴△AC2B2∽△AB1C1
∴
∴B1、B2、C1、C2共圓
同理A1、A2、C1、C2共圓．
∴A1、A2、B1、B2、C1、C2共圓①
②
A.0
B.1
C.2
D.3
A.
B.
C.
D.A、B、C都錯誤
A.
B.
C.
D.A、B、C都錯誤
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.A、B、C都錯誤
【答案】：D
【解析】：函數如右圖所示，當n分別取1、2、3時，m分別取4、5、4，故選D。
A.6
B.
C.
D.
【解析】：如圖，設，則，過點C作于點H，又，所以，，所以，，所以解得，。
A.3
B.4
C.5
D.6
（1）如圖1，直線l即為所求
（2）如圖2，直線m、n即為所求

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