A．16B．32C．64D．128
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知中，，．下列說法中正確的是（ ）
A．若是銳角三角形，則
B．若是鈍角三角形，則
C．若是直角三角形，則
D．的最大值是
10．（23-24高一下·山東濱州·階段練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（ ）
A．已知且
B．已知且
C．已知且
D．已知且，
三、填空題
11．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，已知．則角 ；若，則的值為
12．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是 .
四、解答題
13．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，已知，為上一點，，且.
(1)求的值；
(2)求的面積.
14．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，
①求面積的最大值；
②求的取值范圍．
B能力提升
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，又的面積，且，則（ ）
A．64B．84C．-69D．-89
2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）已知的三個角的對邊分別為，且是邊上的動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）在中，為線段上的動點，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，則= ；若，則面積的最大值為 ．
5．（2024·河北滄州·一模）已知在四邊形中，為銳角三角形，對角線與相交于點，．
(1)求；
(2)求四邊形面積的最大值．
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期中）在中，對應(yīng)的邊分別為，
(1)求；
(2)奧古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當且僅當時等號成立.求的最小值.
第04講 正弦定理和余弦定理(分層精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）在中，，，，則角B的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
2．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理求出答案.
【詳解】由余弦定理得，
因為，所以.
故選：C.
3．（19-20高一下·四川·期末）已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若a cs B＝b cs A，則△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理邊角互化，再結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】
由正弦定理得，a cs B＝b cs A?sin A cs B＝sin B cs A?sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形．
故選：A.
4．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，其中三個內(nèi)角分別為A，B，C，并且所對的邊分別為a，b，c，其中，則（ ）
A．2∶3∶4B．4∶9∶16C．4∶3∶2D．16∶9∶4
【答案】A
【分析】運用正弦定理邊化角即可.
【詳解】由正弦定理得，， ，（為三角形外接圓半徑），
所以，
又，所以.
故選：A.
5．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習(xí)）在中，，，且的面積為，則的周長為（ ）
A．15B．12C．16D．20
【答案】A
【分析】由面積公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
【詳解】因為，，且的面積為，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，則.
故選：A
6．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積.”把以上文字寫成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意利用正、余弦定理求，代入題中公式運算求解.
【詳解】因為，由余弦定理可得，解得，
又因為，由正弦定理可得，且，即，解得，
所以.
故選：B.
7．（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）在銳角中，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式與余弦定理求得，再由條件與銳角三角形角的特征進一步縮小的取值范圍，得到，從而得解.
【詳解】由得，
在中，由余弦定理，得，
當且僅當，即時，等號成立，則；
當時，不妨設(shè)，則，，
所以，即，所以，
因為銳角中，，則，故，而，
則，所以；
綜上，.
故選：B．
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，分別是角所對的邊，的平分線交于點，，則的最小值為（ ）
A．16B．32C．64D．128
【答案】B
【分析】由題中等式以及正弦定理進行角化邊運算可得邊的關(guān)系，由余弦定理可求出，結(jié)合角平分線由三角形面積公式建立等量關(guān)系，結(jié)合均值不等式可得出最小值.
【詳解】由及正弦定理知，，．
在中，由余弦定理知，，，．
，，
即，得，
，
當且僅當且，即時，等號成立，.
故選：B
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）已知中，，．下列說法中正確的是（ ）
A．若是銳角三角形，則
B．若是鈍角三角形，則
C．若是直角三角形，則
D．的最大值是
【答案】AD
【分析】利用正弦定理判斷A、C、D，當為鈍角時即可判斷B.
【詳解】對于A：由正弦定理可得，
由于是銳角三角形，所以且，故，
故，進而，故A正確；
對于B：若為鈍角，則，故，故B錯誤；
對于C：若為直角，則，由正弦定理，則，故C錯誤；
對于D：，由于，
所以當時，取最大值，且，故D正確，
故選：AD
10．（23-24高一下·山東濱州·階段練習(xí)）在中，由以下各條件分別能得出為等邊三角形的有（ ）
A．已知且
B．已知且
C．已知且
D．已知且，
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合正弦函數(shù)的倍角公式與性質(zhì)，逐一分析判斷三角形的形狀，從而得解.
【詳解】對于A，因為，所以，
由余弦定理得，，
又，所以，所以，所以，
所以，則為等邊三角形，故A正確；
對于B，因為，，所以或，
當時，，所以，此時為等邊三角形；
當時，，此時為等腰三角形，故B錯誤；
對于C，因為且，
所以,則，即，
又，所以，則為等邊三角形，故C正確；
對于D，因為，由正弦定理得，
即，所以，
又是的內(nèi)角，
所以或，所以或，
因為，由正弦定理得，則，
當時，，所以，此時為等邊三角形；
當時，，所以，不滿足題意；
綜上，為等邊三角形，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，已知．則角 ；若，則的值為
【答案】 //
【分析】利用正弦定理計算可得第一空，利用余弦定理可得第二空.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
因為，所以，所以，
又因為，所以．
（2）在中，由余弦定理得，
代入數(shù)據(jù)解得，所以．
故答案為：；.
12．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）在銳角中，若，且，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出銳角，利用正余弦定理求出，再利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.
【詳解】由，得，而是銳角，則，
由余弦定理得，
由正弦定理及，得，
即，因此，在銳角中，，
令，，由正弦定理得，
因此，
由，得，則，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：涉及求三角形周長范圍問題，時常利用三角形正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
四、解答題
13．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，已知，為上一點，，且.
(1)求的值；
(2)求的面積.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值；
（2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面積.
【詳解】（1），，則，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
則.
故的面積為.
14．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，向量，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，
①求面積的最大值；
②求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可得出，由正弦定理即可得出，根據(jù)余弦定理即可求出，從而求得；
（2）①首先得，進一步由余弦定理以及基本不等式得的最大值即可求解；②根據(jù)即可求出的外接圓直徑為2，根據(jù)正弦定理即可得出，而，從而得出，從而求出的范圍，即得出的范圍．
【詳解】（1）；
；
由正弦定理得，；
；
，且；
；
（2）①，
根據(jù)余弦定理得：，
即，
，
，
當且僅當時，等號成立，
所以，即面積的最大值為，
②；
外接圓直徑；半徑，
，
；
；
，
的取值范圍是．
B能力提升
1．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，又的面積，且，則（ ）
A．64B．84C．-69D．-89
【答案】C
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式整理可求得關(guān)系，再由三角形面積公式和余弦定理求得三邊，再由數(shù)量積運算得到結(jié)果
【詳解】解法一：由，得，
則，
即，即，
又，即；
又，得；
綜上．
則，即．
由，
平方知
所以.
解法二：
.
故選：．
2．（23-24高一下·福建廈門·階段練習(xí)）已知的三個角的對邊分別為，且是邊上的動點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理計算先得，確定為直角三角形，再利用平面向量數(shù)量積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由余弦定理可知，
所以，即為直角三角形，.
設(shè)，則，
則，
顯然時，.
故選：D
3．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習(xí)）在中，為線段上的動點，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知條件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【詳解】設(shè)，
因為，所以，①
因為，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因為點三點共線，
所以，
(1)求；
(2)求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理解出邊長即可，注意判斷為銳角三角形；
（2）作垂直于，表示出四邊形的面積等于兩三角形面積和，再由正弦函數(shù)的最值求出面積的最大值.
【詳解】（1）
由余弦定理可得，
化簡為，解得或，
當時，因為，與為銳角三角形不符合，故.
（2）作垂直于，設(shè)，
則，當，四邊形面積最大，最大面積為.
C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）
1．（22-23高一下·重慶沙坪壩·期中）在中，對應(yīng)的邊分別為，
(1)求；
(2)奧古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當且僅當時等號成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可以解出.
（2）將構(gòu)造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結(jié)合余弦定理可解.
【詳解】（1）由正弦定理得即
由余弦定理有，
若，等式不成立，則，
所以.
因為，
所以.
（2）.
又，
由三維分式型柯西不等式有.
當且僅當即時等號成立.
由余弦定理得，
所以即，則.
令，則
因為解得，當且僅當時等號成立.
所以.則.
令，則在上遞減，
當即時，有最大值，此時有最小值.
【點睛】要能仿照三維分式型柯西不等式的形式進行構(gòu)造，找到所求要素與柯西不等式的內(nèi)在聯(lián)系，再結(jié)合余弦定理和基本不等式等知識進行求解，屬于難題.

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