2025邯鄲大名縣一中高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為只須將縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變成原來的相反數(shù)即可，即可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：.
故選：B.
2. 若圓C：的半徑為1，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】由，得，
所以圓C的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳AC：的半徑為1，
所以，解得，
故實(shí)數(shù).
故選：D.
3. 圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
且關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
所以所求圓的圓心為、半徑為，
即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
4. 已知，，則點(diǎn)B到直線AC的距離為（）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算求出，，，進(jìn)而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出點(diǎn)B到直線AC的距離.
【詳解】因，，
所以，，
，
，
所以在方向上的投影為，，
所以點(diǎn)B到直線AC的距離為.
故選：C.
5. 已知曲線，則的最大值，最小值分別為（）
A. ＋2，－2B. ＋2，
C. ，－2D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．
【詳解】由，可知，，
且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：

又因?yàn)楸硎景雸A上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
又因?yàn)椋?br>所以的最小值為，
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，
故選：C．
6. 過點(diǎn)引圓：的切線，切點(diǎn)為A，則PA的最小值為（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，由圓切線的性質(zhì)及兩點(diǎn)距離公式可得，即可求PA的最小值.
【詳解】由題設(shè)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心為，半徑為3，
∴由切線的性質(zhì)知：，
∴當(dāng)時(shí)，.
故選：A
7. 如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，利用向量表示，再根據(jù)向量的模的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律求，由此可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，，，，，
所以
所以.
故選：C.
8. 已知棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)，可知，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，分析求解即可.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)點(diǎn)，
所以，，
所以，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，
所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最大值為，
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，
所以的取值范圍為：.
故選：A.
二、多選題
9. 下列關(guān)于直線的斜率和傾斜角的敘述正確的有（）
A. 平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角
B. 平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有斜率
C. 若，則
D. 若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)直線傾斜角、斜率的概念可判斷ABD選項(xiàng)的正誤，根據(jù)兩直線平行與傾斜角的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，平面直角坐標(biāo)系中傾斜角為的直線沒有斜率，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)、都與軸垂直時(shí)，、的斜率都不存在，但，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，D對(duì).
故選：AD.
10. 若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基底的概念可得解.
【詳解】由已知，，不共面，則，，不共面，A選項(xiàng)正確；
設(shè)，即方程無解，
所以，，不共面，B選項(xiàng)正確；
設(shè)，即，解得：，
即，所以，，共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，顯然三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；
故選：ABD.
11. 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，，，，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 四面體是鱉臑
B. 陽馬的體積為
C. 若，則
D. 到平面的距離為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由△不是直角三角形否定選項(xiàng)A；求得陽馬的體積判斷選項(xiàng)B；以為基底表示向量進(jìn)而判斷選項(xiàng)C；求得到平面的距離判斷選項(xiàng)D.
【詳解】A錯(cuò)，連接AC，則△中，，
則△不是直角三角形，則四面體不是鱉臑；
B對(duì)，.
C對(duì)，
D對(duì)，設(shè)到平面的距離為d，
又，
由，得，則到平面的距離為
故選：BCD
三、填空題
12. 若是直線的一個(gè)法向量，則直線的斜率為__________，傾斜角的大小為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由直線的法向量得到直線斜率，進(jìn)而得到傾斜角.
【詳解】由題意知，向量是直線的一個(gè)法向量，可得斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，可得，可得
則直線的傾斜角的大小為.
故答案為：；.
13. 已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】由二級(jí)結(jié)論：若點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程為：（圓的方程為），代入即可的直線的方程
【詳解】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為：
，
化簡(jiǎn)得：.
故答案為：.
14. 已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，利用斜率計(jì)算公式可得：，．再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．
【詳解】設(shè)，則，，
點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，
的取值范圍是,，
故答案為：,
四、解答題
15. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(diǎn)
（1）證明：平面;
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意易知，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）由題意，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，再通過空間角的向量求解即可.
【小問1詳解】
分別為的中點(diǎn)，
為正方形，
,平面平面，
平面.
【小問2詳解】
由題知平面
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，則，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z
則，令則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
16. 已知直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.
（1）求直線的方程；
（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意求出兩直線的交點(diǎn)，再求出所求直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線的方程；
（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【小問1詳解】
由已知得解得，
∴兩直線交點(diǎn)為.
設(shè)直線的斜率為，
∵直線與垂直，∴，
∵直線過點(diǎn)，
∴直線的方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)圓半徑為，依題意，得圓心到直線的距離為，
則由垂徑定理得，∴，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
17. 如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)分別在棱上，．
（1）判斷與平面的位置關(guān)系并證明；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）平面，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）平面，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得，可證結(jié)論；
（2）求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式可求得平面與平面夾角的余弦值．
【小問1詳解】
平面．理由如下：
以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
由，
，所以，所以是共面向量．
因?yàn)槠矫?，平面?br>故平面．
【小問2詳解】
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，不妨令，得，
則平面的一個(gè)法向量為．
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18. 已知點(diǎn)和直線.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，則直線直線，且線段AB的中點(diǎn)在直線上，兩個(gè)方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用關(guān)系式可以得出點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，知圓心到直線的距離小于等于半徑，解不等式即可.
【小問1詳解】
設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱，則有
線段AB的中點(diǎn)在直線上，即①，
又直線直線，且直線的斜率為，則①，
聯(lián)立①①式子解得，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)
【小問2詳解】
設(shè)，由，則，
故，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡是圓，其方程為，圓心坐標(biāo)，半徑.
又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，
利用圓心到直線距離小于等于半徑，則，
解得.
故的取值范圍為.
19. 空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．
（1）若，求斜坐標(biāo)；
（2）在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標(biāo)；
②若，且，求．
【答案】（1）
（2）①；②3
【解析】
【分析】（1）通過“空間斜60°坐標(biāo)系”的定義，化簡(jiǎn)為，，再計(jì)算的斜60°坐標(biāo).
（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，則，，，①中，通過平行六面體得到，從而得到求向量的斜坐標(biāo)；
②中，通過平行六面體得到，由，得到，并結(jié)合題目中的，從而計(jì)算出值，并得到的值.
【小問1詳解】
，
的斜坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
設(shè)分別為與同方向的單位向量，
則，
①
②由題，
由，知，
由，知：
，
，解得，
則．

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