高二月考數(shù)學(xué)試題一、單選（每題5分，共40分）1. 直線的傾斜角是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意，取得直線的斜率，進(jìn)而可求得傾斜角，得到答案．【詳解】由題意得，故傾斜角為.故選B.【點睛】本題主要考查了直線的斜率與傾斜角，以及三角函數(shù)的求值，其中解答中根據(jù)直線的方程，求得直線的斜率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（    ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷．【詳解】由圖象知，遞減，即，但圖象的切線斜率隨著的增大而增大，導(dǎo)函數(shù)是遞增的，因此．故選：A．3. 若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出橢圓的焦點坐標(biāo)即是拋物線的焦點坐標(biāo)，即可求出準(zhǔn)線方程.【詳解】∵橢圓的右焦點坐標(biāo)為，∴拋物線的焦點坐標(biāo)為，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D.4. 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（　?。?/span>A. 28 B. 148 C. 168 D. 248【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為等差數(shù)列中，，所以，則．故選：C．5. 已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（   ）A.  B. 2 C. 4 D. 【答案】A【解析】【分析】寫出直線的定點坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定最小時直線與直線的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【詳解】由恒過，又，即在圓C內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由，圓的半徑為5，所以.故選：A6. 在平行六面體中，為與的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算求解即可.【詳解】解：故選：B7. 函數(shù)的圖象如圖所示，其導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象判斷的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到或時，；時，，然后將轉(zhuǎn)化為或，解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)的圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以或時，；時，，又因為或，解得：或，故選：C.8. 是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對任意正實數(shù)a恒成立，下列式子成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】令，求出，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；【詳解】解：令，則．因為，所以，所以，所以在R上單調(diào)遞增，又因為，所以，即，即，故D正確，故選：D．二、多選題（每小題5分，共20分.全部選對5分，部分選對2分，有選錯的0分）9. 已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的有（    ）A. 若，則 B. 數(shù)列為等比數(shù)列C. 若，則數(shù)列的前n項和為 D. 若，則數(shù)列單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】由題知時，數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的知識依次討論各選項即可.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)時，由得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，，故A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，，此時數(shù)列不等比數(shù)列，故B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，由得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以，數(shù)列的前n項和為，故C選項正確；對于D選項，當(dāng)時，由得，所以數(shù)列等比數(shù)列，所以，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故D選項正確．故選：ACD10. 已知函數(shù)滿足，則（    ）A.  B. 在上單調(diào)遞增C. 的極大值為0 D. 在上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】求導(dǎo)后令即可求出，再令即可求出的單調(diào)區(qū)間與極值，則可得判斷出答案.【詳解】由得，則，故，故A正確；則，由得或，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以的極大值為0，故B、C正確，D錯誤．故選：ABC.11. 已知數(shù)列滿足，則（    ）A. B. 的前10項和為C. 的前11項和為D. 的前16項和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB,根據(jù)并項求和可判斷C,根據(jù)正負(fù)去絕對值以及等差數(shù)列求和可判斷D.詳解】由得：當(dāng)時，，兩式相減得，故，當(dāng)時，也符合，故對于A,,故A正確，對于B，的前10項和為，故B錯誤，對于C，的前11項和為，故C正確,對于D,當(dāng)，解得所以所以的前16項和為,故D正確，故選：ACD12. 在正方體中，是棱上一點，且二面角的正切值為，則（    ）A. 異面直線AE與BC所成角的余弦值為B. 在棱上不存在一點，使得平面C. 到平面的距離是到平面的距離的倍D. 直線與平面所成角的大小等于二面角的大小【答案】CD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的正切值求出點E的位置，利用空間向量與線面之間的關(guān)系可列式得出A、B、D選項；利用等體積法即可求出到平面的距離和到平面的距離，即可判斷出選項 C.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2因為二面角的正切值為，所以二面角的余弦值為設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，，，設(shè)，解得，解得，，，，A錯誤；，，，，設(shè)平面法向量為，設(shè)，解得，，若平面，則，解得故在棱上存在一點，使得平面，B錯誤；設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，其中，解得，解得，，C正確；，平面的法向量為，直線與平面所成角的余弦值為，D正確.故選：CD三、填空題（每題5分，共20分）13. 已知函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則.故答案為：.14. 設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式________．【答案】【解析】【分析】代入法求得，由表達(dá)式數(shù)列為等差數(shù)列，求得首項和公差后可得通項公式．【詳解】依題意得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設(shè)其公差為，則，所以．故答案為：.15. 2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長的和為______尺.【答案】84【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日晷長為首項，芒種日晷長為第12項的等差數(shù)列，求出公差即可列式計算作答.【詳解】依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，芒種日晷長為2.5尺，記為，因相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到芒種日晷長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長最短，則夏至的日晷長為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長最長，則大雪的日晷長為，顯然夏至到大雪的日晷長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，所以一年中夏至到大雪的日晷長的和為(尺).故答案為：8416. 設(shè)函數(shù),若方程至少有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在上的最小值，再畫出函數(shù)圖象，依題意與的圖象至少有3個交點，結(jié)合函數(shù)圖形即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：當(dāng)時，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，的最小值為，且時，，當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，的最小值為，畫出函數(shù)與的圖象如圖所示，由圖可知，要使方程至少有3個不同的實數(shù)根，即與的圖象至少有3個交點，只需．故答案為：四、解答題（17題10分，其他各題12分，共70分）17. 記為等差數(shù)列的前n項和.已知，公差，是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列前n項和為.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件列出等式即可求得d，代入等差數(shù)列的通項公式即可得解；（2）求出等差數(shù)列的前n項和，再由裂項相消法求數(shù)列前n項和為.【詳解】（1）因為是與的等比中項，所以，即，解得或，又，所以，數(shù)列的通項公式為；（2），則.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式及前n項和公式，裂項相消法求和，屬于基礎(chǔ)題.18. 已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】(1)求出，令，解出不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）依題意有, 利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出對應(yīng)的最值，從而得出答案.【詳解】（1）令，解得或，，解得 增極大值減極小值增由上表知的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.（2）依題意有，由（1）知當(dāng)時而，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時故取值范圍為.19. 如圖，四棱錐的底面為菱形且，底面ABCD，AB=2，，E為PC的中點．（1）求直線DE與平面PAC所成角的大小；（2）求二面角平面角的正切值．【答案】（1）    （2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空間向量求線面夾角；（2）利用空間向量求二面角.【小問1詳解】連結(jié)對角線AC、BD相交于點O，連結(jié)DE、OE，∵分別為的中點，則，，且平面ABCD，則平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，，AB=2，，則BD=2，，以O為原點，OA、OB、OE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，可得，．∵平面PAC的法向量為，，設(shè)直線DE與平面PAC所成的角，則，故直線DE與平面PAC所成的角為.【小問2詳解】設(shè)二面角的平面角為，平面ADC的法向量為，設(shè)平面EAD的法向量為，則，令，則，得到，∴，即，則，∴，故二面角的平面角的正切值是2．20. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足.（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，兩式相減得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由絕對值定義結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可求出數(shù)列的前項和.【小問1詳解】因為，所以時，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，綜上.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.21. 已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，A(2，y0)是E上一點，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）設(shè)點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y＝x－3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點.【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義與性質(zhì)求得的值，即可寫出拋物線方程；（2）設(shè)點、，由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理和、、三點共線，化簡整理可得的方程，從而求出直線所過的定點．【詳解】（1）由題意得，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，由軸以及點在直線上，得，則由、、三點共線，得，整理得，將韋達(dá)定理代入上式并整理得，由點的任意性，得，得，所以，直線的方程為，即直線過定點.【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，以及直線過定點的應(yīng)用問題，利用韋達(dá)定理處理由、、三點共線是解第二問的關(guān)鍵，是中檔題．22. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）求當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍并證明：．【答案】（1）極大值為，極小值為    （2）    （3），證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念即可得到結(jié)果；（2）由函數(shù)的定義域是，分為，和四種情況，進(jìn)行分類討論即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)題意和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，有兩個不同實根，滿足，，兩式化簡得到，不妨設(shè)，利用分析證明法和換元法即可證明結(jié)果．【小問1詳解】當(dāng)時，函數(shù)．，令，得或當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則在處取得極大值，在處取得極小值．極大值為，極小值為．【小問2詳解】函數(shù)的定義域是，．當(dāng)時，令有兩個解，或．當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是，當(dāng)，即時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上的最小值是，當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增，在上的最小值是．綜上，．【小問3詳解】關(guān)于的方程有兩個不同實根，即有兩個不同實根，得，令，，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，時，取得最大值，且，當(dāng)時，得的大致圖象如下：．即當(dāng)時，有兩個不同實根．兩根滿足，，兩式相加得：，兩式相減得：，上述兩式相除得．不妨設(shè)，要證：，只需證：，即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．，即，．
 

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