一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1+2i，則共軛復(fù)數(shù)z?的虛部為( )
A. 2iB. ?1C. ?2D. i
2.直線l1經(jīng)過A(0,0)，B( 3,1)兩點(diǎn)，直線l2的傾斜角是直線l1的傾斜角的2倍，則l2的斜率為( )
A. 33B. 2 33C. 1D. 3
3.若直線l的方向向量a=(1,2,?1)，平面α的一個法向量m=(?2,?4,k)，若l⊥α，則實(shí)數(shù)k=( )
A. 2B. ?10C. ?2D. 10
4.若異面直線l1，l2的方向向量分別是a=(0,?2,?1)，b=(2,0,4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于( )
A. 25B. ?25C. ?2 55D. 2 55
5.如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，PA，CD的中點(diǎn)，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，則EF=( )
A. 14a?14b?12c
B. 14a?14b+12c
C. 14a+14b?12c
D. ?14a+14b+12c
6.設(shè)A(?2,3)，B(1,2)，若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上，則y+1x的取值范圍是( )
A. [?2,3]B. (?2,3)
C. (?∞,?2]∪[3,+∞)D. (?∞,?2)∪(3,+∞)
7.如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=4，E為AD中點(diǎn)，則三棱錐A1?CDE外接球的表面積為( )
A. 8π
B. 24π
C. 32π
D. 44π
8.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為1，點(diǎn)H在棱AA1上，且HA1=13，在側(cè)面BCC1B1內(nèi)作邊長為13的正方形EFGC1，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD1C1距離等于線段PF的長，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，HP的最小值是( )
A. 3 34
B. 134
C. 2 33
D. 133
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.關(guān)于復(fù)數(shù)z，下面是真命題的是( )
A. 若1z∈R，則z∈RB. 若z2∈R，則z∈R
C. 若z2=|z|2，則z∈RD. 若z∈R，則z?∈R
10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是( )
A. 已知向量a=(9,4,?4),b=(1,2,2)，則a在b上的投影向量為(1,2,2)
B. 直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[π4,3π4]
C. 設(shè){a,b,c}是空間中的一組基底，則{a?b,b+c,a+c}也是空間的一組基底
D. 已知A，B，C三點(diǎn)不共線對于空間任意一點(diǎn)O，若OP=25OA+15OB+25OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
11.正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，P為空間中一點(diǎn).下列論述正確的是( )
A. 若DP=λDC1，則△AB1P的面積為定值
B. 若BP=λBC+BB1(λ∈[0,1])，三棱錐P?A1BC的體積為定值
C. 若DP=λDD1，則平面AB1P⊥平面A1BCD1
D. 若BP=λBC+12BB1(λ∈[0,1])，有且僅有一個點(diǎn)P，使得A1C⊥平面AB1P
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若直線l的傾斜角為120°，則該直線的一個方向向量為______．
13.在一平面直角坐標(biāo)系中，已知A(?1,2)，B(2,?4)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為 ．
14.正四面體ABCD棱長為6，AP=xAB+yAC+zAD，且x+y+z=1，以A為球心且半徑為1的球面上有
兩點(diǎn)M，N，MA=AN，則PM2+PN2的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題15分)
已知復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．
(1)求|3+z?|；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)zz?，z+2z?，10z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求cs.
16.(本小題15分)
已知點(diǎn)A(0,1,?1)，B(2,2,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a=OA,b=OB，計算：
(1)求向量b同向的單位向量b0；
(2)若(ka+b)⊥(3a?b)，求k的值；
(3)求點(diǎn)O到直線AB的距離．
17.(本小題15分)
如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c，
(1)用a,b,c表示BM；
(2)求cs?AC,AC1?．
18.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAD為等邊三角形，邊長為2，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=1，∠DAC=90°，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)證明：AC⊥平面PAD；
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；
(3)棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得AE//平面PBC？若存在，求出PEPD的值；若不存在，請說明理由．
19.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC，PA的中點(diǎn)，且AB=AC=1,AD= 2．
(1)若PA=1，求直線MN與平面PBC所成角的余弦值；
(2)若直線AC與平面PBC所成角的正弦值的取值范圍為(0, 23]，求平面PBC與平面ABCD的夾角的余弦值的取值范圍．
參考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.D
6.C
7.D
8.D
9.ACD
10.AD
11.ABC
12.(1,? 3)(答案不唯一)
13. 21
14.50
15.解：(1)復(fù)數(shù)z滿足z+z?=2，z?z?=4i．
所以z=1+2i，
所以z?=1?2i，
故|3+z?|=|4?2i|= 16+4=2 5；
(2)由(1)得zz?=(1+2i)(1?2i)=1?4i2=5，
則A(5,0)，
z+2z?=1+2i+2?4i=3?2i，則B(3,?2)，
10z=101+2i=10(1?2i)5=2?4i，則C(2,?4)，
所以AB=(?2,?2)，BC=(?1,?2)，．
故cs=AB?BC|AB||BC|=62 2× 5=3 1010．
16.解：(1)因?yàn)閎=OB=(2,2,1)，|b|= 4+4+1=3，
所以與b所同向的單位向量為b0=13(2,2,1)=(23,23,13)．
(2)因?yàn)閗a+b=k(0,1,?1)+(2,2,1)=(2,k+2,1?k)，3a?b=3(0,1,?1)?(2,2,1)=(?2,1,?4)，
又(ka+b)⊥(3a?b)，所以(ka+b)?(3a?b)=0，
即(2,k+2,1?k)?(?2,1,?4)=0??4+k+2?4(1?k)=0?k=2．
(3)因?yàn)锳B=(2,2,1)?(0,1,?1)=(2,1,2)，OA=(0,1,?1)，
向量OA在AB上的射影的絕對值為：|OA?AB||AB|=|0+2?1| 4+4+1=13，
設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則d2=|OA|2?19=2?19=179，所以d= 173．
17.解：(1)在△A1MB中，BM=BA1+A1M=c?a+12(a+b)=?12a+12b+c；
(2)∵|a|=|b|=|c|=1，===60°，
∴a?b=a?c=b?c=12，
∴|AC1|2=(AC1)2=(a+b+c)2
=(a)2+(b)2+(c)2+2a?b+2a?c+2b?c
=1+1+1+2×12+2×12+2×12=6，得|AC1|= 6，
|AC|2=(AC)2=(a+b)2=(a)2+(b)2+2a?b=3，得|AC|= 3，
AC?AC1=(a+b)?(a+b+c)=(a)2+(b)2+2a?b+a?c+b?c=4，
∴cs?AC,AC1?=AC?AC1|AC|?|AC1|=(a+b)?(a+b+c) 3? 6=2 23．
18.解：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，AC⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PAD；
(2)取AD中點(diǎn)F，連接PF，CF，

∵△PAD為等邊三角形，∴PF⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，
∴BC⊥PF，
又根據(jù)題意可知△AFC為等腰直角三角形，且AF=AC=1，
又△ABC也為等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠CAB=∠ACB=45°，
∴FC⊥BC，且AB/?/FC，又BC⊥PF，且FC∩PF=F，
∴BC⊥平面PFC，又BC?平面PBC，
∴平面PFC⊥平面PBC，過F作FH⊥PC于點(diǎn)H，
則FH⊥平面PBC，又易知PF= 3，F(xiàn)C= 2，∴PC= 5，
∴FH=PF×FCPC= 3× 2 5= 305，
即點(diǎn)F到平面PBC的距離為 305，
分別延長DA，BC交于點(diǎn)Q，則易知AB為△QFC的中位線，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為點(diǎn)F到平面PBC的距離的一半，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為 3010；
(3)如圖，過A作AM/?/BC交CD于M，過M作ME/?/PC交PD于E，連接AE，

∵AM/?/BC，AM?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM/?/平面PBC，
又ME/?/PC，ME?平面PBC，PC?平面PBC，
∴ME/?/平面PBC，又AM?平面AME，ME?平面AME，AM∩ME=M，
∴平面AME//平面PBC，
而AE?平面AME，∴AE/?/平面PBC，
此時PEPD=CMCD，
∵AM/?/BC，∴∠MAC=∠ACB=45°，又∠CAD=90°，
∴AM為∠CAD的平分線，∴CMMD=CAAD=12，
∴PEPD=CMCD=13，
∴PD上存在一點(diǎn)E，當(dāng)PEPD=13時，AE/?/平面PBC．
19.解：(1)連接PM，AM，如圖所示：

由M為BC的中點(diǎn)，可得AM⊥BC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC，
則BC⊥平面APM，而BC在平面PBC內(nèi)，可得平面PBC⊥平面AMP，
所以∠PMN為直線MN與平面PBC所成角．
由AB=AC=1，AD= 2，可得AM= 1?12= 22，PM= 1+12= 62，
MN= 12+14= 32，PN=12，
由余弦定理可得cs∠PMN=64+34?142× 62× 32=2 23，
所以直線MN與平面PBC所成角的余弦值為2 23；
(2)解：因?yàn)锳B=AC=1，點(diǎn)M分別為BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC，
又PA⊥平面ABCD，所以PM⊥BC，
所以∠PMA即為平面PBC與平面ABCD的夾角，記為φ，
又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，則平面PBC⊥平面PAM，
過點(diǎn)A在平面PAM內(nèi)作AH⊥PM于H，則AH⊥平面PBC．
連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角α．
在Rt△AHM中，AH= 22sin∠AMH，
又在Rt△AHC中，AH=sinα，
所以 22sin∠AMH=sinα，
由直線AC與平面PBC所成角的正弦值的取值范圍為(0, 23)，可得0

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