本試卷共6頁(yè)，150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，且滿足，則（ ）
A．1B．C．2D．
3．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．若，則一定有（ ）
A．B．C．D．
5．若，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)，則（ ）
A．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)
B．圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)
C．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)
D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是減函數(shù)
7．已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)已知數(shù)列中，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．是等比數(shù)列D．
9．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
10．在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為4．若，其中，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11．函數(shù)的定義域是_____________．
12．把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是_____________．
13．已知函數(shù)在存在最小值3，則滿足題意的_____________．
14．若函數(shù)存在最小值，則的一個(gè)取值為_(kāi)____________；的最大值為_(kāi)____________．
15．函數(shù)的圖象可以近似表示某音叉的聲音圖象．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①是函數(shù)的一個(gè)周期；
②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
④在上單調(diào)遞增．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____________．
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
16．（本小題13分）
已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求的最大值．
17．（本小題14分）
已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到；
條件③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．
注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（本小題14分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
19．（本小題14分）
為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺(jué)和文化自信，某區(qū)組織開(kāi)展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：
（Ⅰ）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率；
（Ⅱ）從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自中學(xué)組的人數(shù)為，來(lái)自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
20．（本小題15分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，證明：．
21．（本小題15分）
已知數(shù)列為從1到2022互不相同的整數(shù)的一個(gè)排列，設(shè)集合，中元素的最大值記為，最小值記為．
（Ⅰ）若數(shù)列為，且，寫(xiě)出的值；
（Ⅱ）若，求的最大值及的最小值；
（Ⅲ）若，試求的最小值．
參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11． 12． 13．2
14．0（第一空不唯一，區(qū)間上任意值都可以），4
（注：第一空2分，第二空3分）
15．①③④（注：對(duì)一個(gè)2分，對(duì)2個(gè)4分，對(duì)3個(gè)5分）
三、解答題（共6小題，共85分）
16．解：（Ⅰ）設(shè)的公比為，因?yàn)椋?br>所以．
解得（舍去）或．
因此的通項(xiàng)公式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
當(dāng)時(shí)，，
故是首項(xiàng)為，公差為的單調(diào)遞減等差數(shù)列．
則．
又，所以數(shù)列的前4項(xiàng)為正數(shù)，
所以當(dāng)或5時(shí)，取得最大值，且最大值為．
17．（Ⅰ）．
選條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
則．
即．
所以．
因?yàn)椋?br>所以．
所以．
條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，
所以函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相同．
因?yàn)楹瘮?shù)的周期，
所以函數(shù)的周期．
則，即．
所以．
選條件③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，
所以函數(shù)的周期．
則，即．
所以．
（Ⅱ）因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立，
所以在的最大值不大于即可．
因?yàn)椋?br>所以．
所以．
所以，即．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2．
所以．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18．（Ⅰ）由題意得，，
所以，
又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程
為，
即；
（Ⅱ）因?yàn)椋?br>因?yàn)楹途趨^(qū)間因?yàn)樯蠁握{(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>，
所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，
所以時(shí)，；
時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減
因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上的最小值為．
注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分
19．（Ⅰ）方法一：從表格中可知：獲獎(jiǎng)學(xué)生總數(shù)為：人，獲得一等獎(jiǎng)的人，
記事件為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)”，則，
記事件為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組”，
則為“從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)且來(lái)自中學(xué)組”，，因此
從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若獲得一等獎(jiǎng)，抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率為．
注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分
（Ⅱ）的取值范圍是．
記事件為“從中學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧腥?人，該人是PK賽獲獎(jiǎng)”，
事件為“從小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧腥?人，該人是PK賽獲獎(jiǎng)”，
中學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)哂?，其中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為100，
小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)哂?，其中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為100，
．
由題意知，事件相互獨(dú)立，
所以；
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）．
20．（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?br>由得．
令得．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．
設(shè)，
則．
令，得（舍），．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．
故．
又由得．
所以．
依題意需，即．
設(shè)，則易知在為增函數(shù)．
又，
所以對(duì)任意的，有；對(duì)任意的，有．
所以，即，解得．
所以的取值范圍為．
（Ⅲ）由得，且．
由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以．
兩式相加得，即．
故．
注：學(xué)生如果用其他方法，按步驟給分
21．（Ⅰ）．
（Ⅱ）最小值為6，的最大值6063．
證明：對(duì)于1，2，2021，2022的一個(gè)排列，
若，則中的每一個(gè)元素為，
由題意，
那么，對(duì)于任意的，總有．
同理，由題意，
那么，對(duì)于任意的，總有，
當(dāng)時(shí)，滿足：．
（Ⅲ）的最小值為6069．
由于，對(duì)于1，2，2021，2022的一個(gè)排列，
中的每一個(gè)元素為，
由題意，
對(duì)于任意的，都有
即．
構(gòu)造數(shù)列，
對(duì)于數(shù)列，設(shè)任意相鄰6項(xiàng)的和為，則
，或
若，則
若，則
所以，即對(duì)這樣的數(shù)列，
又，所以的最小值為6069． 獎(jiǎng)項(xiàng)組別
單人賽
PK賽獲獎(jiǎng)
一等獎(jiǎng)
二等獎(jiǎng)
三等獎(jiǎng)
中學(xué)組
40
40
120
100
小學(xué)組
32
58
210
100
0
1
2

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