時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
得分：__________
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（ ）
A.1 B.2 C.8 D.16
2.已知直線，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A.120 B.140 C.160 D.180
4.已知數(shù)列的通項(xiàng)若是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5.已知直線，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則光線從到的路程為（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
6.已知兩圓，動(dòng)圓在圓內(nèi)部且和圓內(nèi)切，和圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
7.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則（ ）
A. B. C.1 D.
8.設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為（ ）
A. B.2 C. D.3
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A. B.
C. D.
10.（作業(yè)43T12）已知拋物線上三點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A.拋物線的準(zhǔn)線方程為
B.若，則
C.若三點(diǎn)共線，則
D.若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2
11.曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B.曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C.當(dāng)時(shí)，曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為
D.若曲線在第一象限內(nèi)存在位于直線左側(cè)的點(diǎn)，則
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若，則的短軸長為__________.
13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則__________.
14.已知雙曲線，其左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心），，若，則的內(nèi)切圓的半徑為__________.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線0上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.
16.（本小題滿分15分）
已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17.（本小題滿分15分）
如圖，已知四棱錐中，平面是邊長為2的正三角形，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是的中心.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
18.（本小題滿分17分）
已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，分別為的左，右焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)重合.
（1）求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直于軸的直線上異于的一點(diǎn).
（i）若，求直線的方程；
（ii）設(shè)的斜率分別為，求的值.
19.（本小題滿分17分）
已知集合，若對(duì)于任意與至少有一個(gè)屬于，則稱為開心集.
（1）分別判斷集合與集合是否為開心集，并說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，若，求開心集；
（3）若集合為開心集，且中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，求的最小值.
湖南師大附中2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.A 【解析】依題意，得，令，即的漸近線方程為，所以.故選A.
2.C 【解析】由直線與直線平行得，得或，
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，直線與重合，舍去，所以“”是“”的充要條件.故選C.
3.C 【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選C.
4.B 【解析】由已知得解得.
5.C 【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有解得，因?yàn)楣饩€從到的路程即的長，而.所以光線從到的路程為5.
6.D 【解析】設(shè)圓的半徑為，則，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，所以，故所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
7.C 【解析】由三角形的面積公式可得，
得，由，得，
所以為等腰直角三角形，
所以圓心到直線的距離為，
由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.故選C.
8.A 【解析】法1：如圖，過點(diǎn)作的反向延長線的垂線，垂足為，連接，由題意可知，四邊形為平行四邊形，且是直角三角形.
由漸近線的性質(zhì)知，所以，
又，所以，
所以，所以.故選A.
法2：易知在中，，所以，又因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得，
即，因?yàn)?，所以，即，所以，因此的離心率為.故選A.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.AD 【解析】根據(jù)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的性質(zhì)可知A，D可以作為數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，不符合，表示表示，故選AD.
10.ABD 【解析】把點(diǎn)代入拋物線，得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；因?yàn)?，所以，又由，得，所以，故B正確；因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以線段是焦點(diǎn)弦，所以，故C不正確；設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，得，即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2，故D正確.
11.BCD 【解析】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)曲線上有一點(diǎn)，則①，而點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則也應(yīng)在曲線上，則有②；聯(lián)立①②，得，此時(shí)無解，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)曲線上有一點(diǎn)，則③，而點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，若曲線關(guān)于對(duì)稱，則也應(yīng)在曲線上，則有④；聯(lián)立③④，得，即，該式恒成立，則和是在曲線上且關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，即是該曲線的對(duì)稱軸，故B正確；
對(duì)選項(xiàng)C：由原方程得，解得，所以C正確；
對(duì)選項(xiàng)D：由原方程得，由題意知，當(dāng)時(shí)有點(diǎn)在曲線上，因?yàn)?，所以在上有解，即在上有解，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以D正確.故選BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 【解析】設(shè)，易知，
結(jié)合，可知為等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短軸長為.故答案為.
13.2024 【解析】由于數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減得，又為一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，.
14. 【解析】由，結(jié)合點(diǎn)是的內(nèi)切圓的圓心可知，又有，所以，再結(jié)合雙曲線的定義可得，
再根據(jù)，由余弦定理可得，
即，解得，則，
可得內(nèi)切圓的半徑.故答案為.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.【解析】（1）設(shè)圓的方程為，
根據(jù)題意，可得
解得，
所以圓的方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易知直線與圓相切；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，
則直線的方程為，即.
故直線的方程為或.
16.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得
因?yàn)?，所以所?
（2）因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
，兩式相減得，
，
故.
17.【解析】（1）平面平面，
平面平面平面，
又平面平面平面.
（2）如圖，連接點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是的中心，
又是邊長為2的正三角形，三棱錐為正三棱錐，
為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，則，
，
四邊形是矩形，，
又，
平面，
兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
平面的法向量為.
又，設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
18.【解析】（1）根據(jù)題意可知，
解得
概圓的方程為.
拋物線的方程為.
（2）（i）設(shè)的方程為，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設(shè)，則，
所以，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設(shè)，則，
所以
因?yàn)?，所以，即，即?br>所以直線的方程為或.
（ii）設(shè)，則，
，
.
19.【解析】（1）對(duì)于集合，因?yàn)?，故不是開心集.
對(duì)于集合，因?yàn)椋?br>故集合是開心集.
（2）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，由題意得，故，
①若，由于，故，故，即，此時(shí)符合題意.
②若，由于，故，故，即，此時(shí)符合題意.
綜上，或.
（3）由題意，，若中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，
則必有，故，
分別考慮和其他任意元素，由題意可得也在中，而，
故，特別地，，
下考慮對(duì)于，
因?yàn)?，所以?br>故，
特別地，，故，即，
由，且，故，即，
以此類推，.
又因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，即，所以?br>即，故.
當(dāng)時(shí)，滿足條件.
綜上，的最小值為2023.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
B
C
D
C
A
題號(hào)
9
10
11
答案
AD
ABD
BCD

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