命題人：王馥 審題人：顧俠
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．
1. 已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B.
C. 0,1D. 2,3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)交集、補集的知識求得正確答案.
【詳解】或，又，
陰影部分表示.
故選：A
2. 命題“，使得”的否定為（ ）
A. ，B. ，使得
C. ，D. ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】利用含有一個量詞命題的否定形式，改量詞、否結(jié)論即可判斷出選項．
【詳解】由命題“，使得”，
則命題的否定為“，”．
故選：C．
3. 函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個選項后得正確結(jié)論．
【詳解】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，
由，，故C錯誤，
故選：A.
4. 如圖，把直截面半徑為的圓柱形木頭鋸成直截面為矩形的木料，如果矩形的一邊長為（單位：），面積為（單位：），則把表示為的函數(shù)的解析式為（ ）

A. B. ，
C D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】如圖，

圓的直徑，矩形的邊.
∵，
∴由勾股定理，得，
∴矩形的面積，
又∵，
∴.
故選：B.
5. 函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間分別是
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和單調(diào)區(qū)間的定義，即可由圖象判斷.
【詳解】定義域是函數(shù)自變量的取值，為，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有2個，不能用并集，并且單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，即.
故選：D
6. 鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時鏡片越輕，也就會帶來更為舒適的佩戴體驗．某次社會實踐活動中，甲、乙、丙三位同學(xué)分別制作了三種不同的樹脂鏡片，折射率分別為，則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學(xué)分別為（ ）
A. 丙同學(xué)和甲同學(xué)B. 乙同學(xué)和甲同學(xué)
C. 甲同學(xué)和丙同學(xué)D. 乙同學(xué)和丙同學(xué)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運算公式，以及冪的運算公式，即可比較大小.
詳解】，
，，所以，
，所以，
所以甲同學(xué)制作的最薄，丙同學(xué)制作的最厚.
故選：C
7. 函數(shù)的值域為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分段函數(shù)分段考慮，利用換元法分別求每段函數(shù)的值域，再求其并集即得.
【詳解】當(dāng)時，設(shè)，，則,
,
因，則；
當(dāng)時，設(shè)，則,
因，則
綜上，函數(shù)的值域為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，若對任意的，都有，則方程的解的個數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的表達式，然后根據(jù)零點存在性定理等知識求得正確答案.
【詳解】設(shè)①，則，
由①令得，在上單調(diào)遞增，
，題意，所以.
對于方程，即，
兩邊除以得，
函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
，所以有唯一零點在區(qū)間，
所以方程有唯一解.
故選：B
【點睛】思路點睛：
設(shè)定函數(shù)并分析單調(diào)性：首先設(shè)定函數(shù)（換元法），并根據(jù)定義域和題目條件，分析函數(shù)的單調(diào)性.
利用零點存在性定理判斷解的個數(shù)：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理，判斷方程解的個數(shù)，從而得出最終結(jié)論.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 下列說法正確的有（ ）
A.
B. “”是“”的充分不必要條件
C. “”是“”的充要條件
D. “”是“”的必要不充分條件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)命題，充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】A.，故A正確；
B.由，解得：或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；
C.，，則，但，反過來能推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故C錯誤；
D.，，，所以推不出，若，則，
所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.
故選：ABD
10. 已知是奇函數(shù)，則（ ）
A. B. 在上單調(diào)遞增
C. 的值域為D. 的解集為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)奇函數(shù)的定義分析求解；對于B：利用分離常數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域結(jié)合不等式性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)的單調(diào)性分析求解.
【詳解】令，解得，可知的定義域為，
因為是奇函數(shù)，
則，
可得，故A正確；
因為，
可知在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
因為，則，
即，可得
所以的值域為，故C正確；
因為均為正數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
由，可得，解得，
所以的解集為，故D正確；
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對任意，總有，，且時，恒成立.則（ ）
A.
B. 是偶函數(shù)
C. 在上單調(diào)遞減
D （注：）
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得的值判斷選項A；利用函數(shù)奇偶性定義判斷選項B；利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷選項C；求得的值判斷選項D.
【詳解】由對任意，總有，
令，則，則，
令，則，
則有，故
則是奇函數(shù)，故選項B判斷錯誤；
又由，可得，
則，故選項A判斷正確；
設(shè)任意，，
則，
又，則，則，
則在上單調(diào)遞減. 故選項C判斷正確；
，
又由，可得
則
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 集合，則符合條件的集合的個數(shù)為______．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)子集的知識求得正確答案.
【詳解】依題意，集合，
所以，是與的子集的并集，
所以集合的個數(shù)為.
故答案為：8
13. 已知，且，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式變形，然后解不等式即可.
【詳解】由題意，且，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，
令，則上式為：，即，
解得或（舍），所以的取值范圍為.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱列方程，利用換元法來求得的取值范圍.
【詳解】，
由于的圖象上存在不同的兩個點關(guān)于原點對稱，
所以f?x=?fx有解，
即，
①，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
則，則①可化為，
依題意，此方程在上有解，
當(dāng)，解得，
當(dāng)時，，符合題意.
當(dāng)時，，不符合題意.
當(dāng)，即②時，
設(shè)gt=t2?2m?t+2m2?8t>2，的開口向上，對稱軸，
要使在上有零點，
則或g2=4?4m+2m2?8≤0m>2，
解得或，
結(jié)合②得.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：
對稱點條件正確使用：在列出關(guān)于原點對稱的條件時，容易因條件代入不準(zhǔn)確而導(dǎo)致方程錯誤.在運用對稱點條件時，需確保每個代入步驟的符號處理正確.
一元二次方程的解集判斷：在判斷一元二次方程的解的存在性時，特別是對參數(shù)的范圍進行分類討論時，容易遺漏某些特殊情況或邊界條件.因此，在討論每種情況時，要確保所有可能性都得到了充分考慮.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并進行解答．
問題：若_________，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）選擇見解析，
【解析】
【分析】（1）依次求集合和其補集，再利用交集運算即得；
（2）若選①，由題設(shè)得，就參數(shù)分類討論，借助于數(shù)軸表示即可求得的范圍；若選②，先求，就參數(shù)分類討論，借助于數(shù)軸表示即可求得的范圍；若選③，就參數(shù)分類討論，借助于數(shù)軸表示即可求得的范圍》
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
則，則．
【小問2詳解】
若選①，，可得，則.
當(dāng)時，，由，可得，故；
當(dāng)時，，由，可得，故.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
若選②，因或，又，則.
當(dāng)時，，需使，故；
當(dāng)時，，需使，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
若選③，因為，
當(dāng)時，，，不合題意；
當(dāng)時，，需使，故；
當(dāng)時，，需使，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
16. 設(shè)．注：
（1）證明：；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式，結(jié)合條件，即可求解；
（2）首先根據(jù)條件得到，再利用表示，最后根據(jù)基本不等式，即可求解.
【小問1詳解】
，
．
均不為0，則，
．
【小問2詳解】
由可知．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，．
的最小值為.
17. 環(huán)境污染已經(jīng)觸目驚心，環(huán)境質(zhì)量已經(jīng)成為“十三五”實現(xiàn)全面建成小康社會奮斗目標(biāo)的短板和瓶頸．綿陽某化工廠每一天中污水污染指數(shù)與時刻（時）的函數(shù)關(guān)系為其中為污水治理調(diào)節(jié)參數(shù)，且
（1）若，求一天中哪個時刻污水污染指數(shù)最低；
（2）規(guī)定每天中的最大值作為當(dāng)天的污水污染指數(shù)，要使該廠每天的污水污染指數(shù)不超過，則調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1）一天中早上點該廠的污水污染指數(shù)最低; （2）調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).
【解析】
【詳解】試題分析：（1）時，，，
令，解得即可得出；（2）利用換元法，則，故將f(x)表示成關(guān)于的分段函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
試題解析：（1） 因為,則.
當(dāng)時，,得，
即.所以一天中早上點該廠的污水污染指數(shù)最低.
（2）設(shè)，則當(dāng)時，.
設(shè),
則,
顯然在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
則,
因為,
則有 ，解得，
又，故調(diào)節(jié)參數(shù)應(yīng)控制在內(nèi).
18. 已知函數(shù)，函數(shù)，其中．
（1）是否存在，使得曲線關(guān)于直線對稱？若存在求的值；
（2）若，
①求使得成立的的取值范圍；
②求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）存在，
（2）①；②．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的對稱軸來求得正確答案.
（2）①，對進行分類討論，由一元二次不等式的解來求得的范圍.
②，根據(jù)①的結(jié)論求得的表達式，對進行分類討論，由此來求得最大值.
【小問1詳解】
存在符合題意的，理由如下：
的對稱軸是直線，的對稱軸是直線，
由于曲線關(guān)于直線對稱，
所以，解得.
【小問2詳解】
①，當(dāng)時，，所以，解得；
當(dāng)時，，所以，
因為，所以，
所以無解，
綜上所述：的取值范圍是；
②，由①可知：，
當(dāng)時，，所以，所以；
當(dāng)時，的對稱軸為，所以，
且，所以，
令，所以，
綜上可知：．
【點睛】思路點睛：
利用對稱性求解參數(shù)：首先通過曲線的對稱性條件，找出符合對稱要求的參數(shù)值，這一步奠定了后續(xù)不等式求解的基礎(chǔ).
分類討論求不等式解：通過對不等式進行分類討論，分析在不同情況下的解，從而得出完整的取值范圍.
19. 對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”個數(shù)為.
（1）寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”；
（2）對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值；
（3）對所有的正整數(shù)，證明：；并求出使得等號成立的的值.
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）證明見解析，或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“正整數(shù)分拆”的定義求得正確答案.
（2）對進行分類討論，由此求得的最大值.
（3）對進行分類討論，根據(jù)“正整數(shù)分拆”的定義來求得正確答案.
【小問1詳解】
整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：.
【小問2詳解】
當(dāng)為偶數(shù)時，時，最大為；
當(dāng)為奇數(shù)時，時，最大為；
綜上所述：為偶數(shù)，最大為為奇數(shù)時，最大為.
【小問3詳解】
當(dāng)為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；
當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，
則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，
故.綜上所述：.
當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為（2），奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為；
當(dāng)時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；
當(dāng)時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為1的奇數(shù)拆分外，
至少多出一項各項均為1的“正整數(shù)分拆”，故.
綜上所述：使成立的為：或.
【點睛】思路點睛：解新定義題型的步驟：
（1）理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

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