浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期統(tǒng)測適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合A＝{0，1，2}，B＝{x|1＜x≤2}，則A∩B＝（）
A. {1，2}B. {2}C. {0}D. {0，1，2}
【答案】B
【解析】
【分析】
利用交集定義直接求解．
【詳解】解：集合，1，，，
．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，
所以.
故選：B．
3. 密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如7密位寫成“”，密位寫成“”．1周角等于密位，記作1周角，1直角.如果一個(gè)半徑為的扇形，它的面積為，則其圓心角用密位制表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積公式即可求得圓心角，再根據(jù)密位制定義即可求解.
【詳解】設(shè)扇形所對的圓心角為，所對的密位為，
則，解得，
由題意可得，解得，
因此該扇形圓心角用密位制表示為．
故選：B.
4. 已知、是不重合的兩條直線，、是不重合的兩個(gè)平面，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，則
【答案】A
【解析】
【分析】對于A，先判斷，然后由線面平行判定定理可判斷；對于BCD，通過正方體模型舉反例即可判斷.
【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以?br>又，，所以，A正確；
對于B，在正方體中，
記平面為，平面為，為，為，
則，，，但與不平行，B錯(cuò)誤；
對于C，記平面為，平面為，為，為，
由正方體性質(zhì)可知，平面，平面，所以，
則，，，但不垂直，C錯(cuò)誤；
對于D，記為，為，平面為，
則，，但與不垂直，D錯(cuò)誤.
故選：A
5. 已知，，…，是單位平面向量，若對任意的，都有，則n的最大值為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知，單位向量的夾角最小時(shí)，正整數(shù)有最大值，利用向量數(shù)量積的定義求出此時(shí)的值即可．
【詳解】依題意，設(shè)單位向量的夾角為，
因?yàn)椋?br>所以則，所以，
根據(jù)題意，正整數(shù)的最大值為，
故選：C
6. 已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值為（）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理化角為邊，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，再根據(jù)平方關(guān)系即可求出的值最大，結(jié)合取等號的條件即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，所以，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.
7. 如圖，在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二面角的正切值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.
【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，
所以，所以是二面角的平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以兩兩垂直.
由此將三棱錐補(bǔ)形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.
設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，
故選：A.
8. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
B. 若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則
C. 若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則
D. 若關(guān)于的方程有8個(gè)不等實(shí)根，則
【答案】D
【解析】
【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象開口向下，關(guān)于直線對稱，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)公共點(diǎn)，因此函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，亦即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)公共點(diǎn)，
因此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；
關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)，
顯然有，因此，C錯(cuò)誤；
令，由選項(xiàng)B知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不等實(shí)根，
要關(guān)于的方程有8個(gè)不等實(shí)根，
則當(dāng)且僅當(dāng)方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令這兩個(gè)實(shí)根為，，
且，，則，
由，得，而當(dāng)時(shí)，的兩根相等，不符合題意，
所以的取值范圍是，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說法正確的是（）
A. 若的終邊經(jīng)過，，則
B.
C. 若，則為第一或第四象限角
D. 若角和角終邊關(guān)于軸對稱，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)k的正負(fù)判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)三角函數(shù)在坐標(biāo)軸上的符號判斷C，由對稱及三角函數(shù)的定義判斷D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，B正確；
時(shí)，的終邊在第一或第四象限或軸非負(fù)半軸，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，角和角的終邊關(guān)于軸對稱，
結(jié)合三角函數(shù)定義可知，即，故D選項(xiàng)正確．
故選：BD
10. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（）
A. 若A＞B，則
B. 若，則有兩解
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，則為等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,由正弦定理即可判斷B,由余弦值的性質(zhì)即可判斷C,由邊角互化即可判斷D.
【詳解】對于A，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故A正確；
對于B，由正弦定理可得：，∴，
此時(shí)無解，故B錯(cuò)誤；
對于C，∵，為三角形的內(nèi)角，
∴，可知A，B，C均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；
對于D：∵，所以由正弦定理可得，又,
因此，
∴，∴，b＝a或，即三角形為等腰三角形或直角三角形，故D正確．
故選：ACD．
11. 如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）
A. 若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為
B. 當(dāng)點(diǎn)在棱上時(shí)，的最小值為
C. 當(dāng)直線AP與AB所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
D. 當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段PF長度最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用線面垂直的性質(zhì)定理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，其周長為可得A正確；以為軸將平面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，由勾股定理可得B錯(cuò)誤；易知當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，可知其軌跡長度為可得C正確；根據(jù)面面平行的判定定理可求出點(diǎn)在底面上的軌跡為三角形，易知長度的最大值為可得D正確.
【詳解】對于A，易知平面平面，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為矩形，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為矩形的周長，即為，故正確；
對于B，以為軸將平面順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖，
則，故B錯(cuò)誤；；
對于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，
當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，
又，
弧長度，故點(diǎn)的軌跡長度為，故正確；
對于D，取的中點(diǎn)分別為，
連接，如圖2所示，
因?yàn)槠矫嫫矫?，故平面?br>，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面與平面是同一個(gè)平面.
則點(diǎn)的軌跡為線段：
在三角形中，
則，
故三角形是以為直角的直角三角形；
故，故長度的最大值為，故D正確.
故選：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中動(dòng)點(diǎn)軌跡問題經(jīng)常利用不動(dòng)點(diǎn)的位置和動(dòng)點(diǎn)位置關(guān)系，利用線面、面面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)而計(jì)算出其軌跡長度.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若（其中，分別為，軸方向相同的單位向量），則的坐標(biāo)為，若關(guān)于斜坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，則______
【答案】
【解析】
【分析】由斜坐標(biāo)定義用，表示，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求得模．
【詳解】由題意，
，
故答案為：．
13. 已知函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)在上至少存在兩個(gè)最值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得圖象平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)在區(qū)間上最值點(diǎn)的情況以及對進(jìn)行分類討論來求得的取值范圍.
【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，
所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為，
則當(dāng)，
即時(shí)，在上至少存在兩個(gè)最值點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，所以（），
解得（）．當(dāng)時(shí)，解集為，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換，首先要看是變還是變，平移變換中：變是“左加右減”，變是“上加下減”.伸縮變換中，如：由變換為，則是縮小為原來的倍；如變?yōu)?，則是放大為原來的倍.
14. 在銳角中，，它的面積為10，，，分別在、上，且滿足，對任意，恒成立，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積求得，根據(jù)兩不等式恒成立，判斷，，再由，結(jié)合三角形和三角形面積公式，推出和，最后根據(jù)向量數(shù)量積定義式即可求得.
【詳解】因的面積為10，且，則有，解得，
由圖知表示直線上一點(diǎn)到點(diǎn)的向量，
而則表示直線上一點(diǎn)到點(diǎn) 的距離，
由對任意恒成立可知，的長是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離，
故易得，此時(shí),同理可得.
如圖所示,因，由可得：，
由可得：，
由銳角可得是銳角，故是鈍角，
于是，
于是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查不等式恒成立和向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于較難題.
處理恒成立問題，一般可考慮分類討論法，參變分離法，結(jié)合圖形幾何意義判斷法等方法；對于數(shù)量積運(yùn)算，可考慮定義法，基向量表示法和向量坐標(biāo)法來解決.
四、解答題（本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）記，若對于任意，而恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】（1）
（2）的最小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量平行，得到，由求解即可；
（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到解析式，由恒成立，再通過求解在的最值，即可得到的最小值.
【小問1詳解】
由，則，則，
，，故，
，由于，所以，
所以，則.
【小問2詳解】
==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
從而，即.
16. 已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若外接圓的周長為，求周長的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理，進(jìn)行角化邊的化簡處理可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求B的值.
（2）由正弦定理可得b，根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊的性質(zhì)，可得，由余弦定理，結(jié)合基本不等式可求的最大值，進(jìn)而可求的周長的范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，化簡可得，
由余弦定理得，
因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)榈耐饨訄A周長為，故外接圓直徑為，
因?yàn)?，所以由正弦定理可得?br>所以由余弦定理，
可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
又因?yàn)?，所以?br>即的周長的取值范圍為.
17. 已知函數(shù)．
（1）證明：的定義域與值域相同．
（2）若，，，求m的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由具體函數(shù)的定義域可得，解不等式即可求出的定義域，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出的值域.
（2）設(shè)，則，分別求出，即可得出答案.
【小問1詳解】
證明：由，得，
所以定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增．
所以，所以的值域?yàn)椋?br>所以的定義域與值域相同．
【小問2詳解】
解：由（1）知在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．
因?yàn)?，，?br>所以，即m的取值范圍為．
18. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，點(diǎn)在線段上.
（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）證明：存在點(diǎn)，使得平面，并求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）設(shè)，連接，即可證明為平行四邊形，從而得到，即可得證；
（2）在平面中過作于，連接，說明是二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；
（3）連接交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，當(dāng)時(shí)可證平面，從而求出此時(shí)的值.
【小問1詳解】
設(shè)，連接，
因?yàn)檎叫?，所以為中點(diǎn)，
又矩形中，為的中點(diǎn)，
所以且，
所以為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
【小問2詳解】
在平面中，過作于，連接，
因?yàn)檎叫魏途匦嗡诘钠矫婊ハ啻怪保?br>，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，
平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，
是二面角的平面角，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
在中，，，
二面角的正切值為；
【小問3詳解】
連接交于點(diǎn)，因?yàn)槭钦叫?，所以?br>又正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以，
當(dāng)時(shí)，，平面，所以平面，
此時(shí)，，，則，
又，所以，則，則，
所以，又，所以，則，
所以，所以.
19. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使得對內(nèi)的任意，，都有，則稱是“利普希茲條件函數(shù)”.
（1）判斷函數(shù)是否為“利普希茲條件函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對定義域內(nèi)任意的，均有.
【答案】（1）與是“利普希茲條件函數(shù)”，理由見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給定義推導(dǎo)的正負(fù)，即可判斷；
（2）首先證明對任意的，都有，再由周期性，即可證明對定義域內(nèi)任意的，均有.
【小問1詳解】
由題知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
即，
所以函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”；
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，，
所以，
所以函數(shù)是“利普希茲條件函數(shù)”；
【小問2詳解】
若，
當(dāng)，則；
若，設(shè)，
則
，
所以對任意的，都有，
因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的周期函數(shù)，
所以對任意的，都存在，使得，，
所以，
綜上可得對定義域內(nèi)任意的，均有.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決新定義等相關(guān)問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)，緊緊抓住定義.

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