A．B．C．D．
2．△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，則△ABC的面積是（ ）
A．96B．120C．84D．60
3．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于點D，AB＝13，CD＝6，則AC+BC等于（ ）
A．5B．C．D．
二．填空題（共6小題）
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，則BD的長為 ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周長為+2，其中斜邊的長為2，則這個三角形的面積為 ．
6．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABEF與正方形ACGD，連接BD，CF，DF，若AB＝1，AC＝2，則BC2+DF2的值為 ．
7．如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝8，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE＝OD，則AP的長為 ．
8．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點E在AB上，點F在BC上，且EF＝12，CF＝6，D是AC的中點，若∠EDF＝90°，則AE＝ ．
9．如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝ ．
三．解答題（共8小題）
10．在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．
（1）如圖①，求證：；
（2）如圖②，若BD＝CD，求證：AB＝AC；
（3）如圖③，若AB＝5，AC＝4，BC＝6．求BD的長．
11．（1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，連接BD、CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的長．
甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形，將BD進行轉(zhuǎn)化再計算，請你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計算．
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的長度．
12．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，則線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系為 ，AE、BD所在直線的位置關(guān)系為 ；
（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）解決問題：如圖3，已知△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝45°，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠CAD＝90°，AC＝AD，連接BD，則BD的長為 ．
13．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．
將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．
大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．
如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．
證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連接AC′，BC′，B′C′，
∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，
∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，
∴AC+CB＝AC+ ＝ ．
在△AC′B′中，
∵AB′＜AC′+C′B′
∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。?br>本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A、C、B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型．
【簡單應(yīng)用】
（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連接BM，EM+MC的最小值就是線段 的長度，則EM+MC的最小值是 ；
（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M、N當(dāng)△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM＝ °．
【拓展應(yīng)用】
如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計劃，貨船應(yīng)先停靠OB岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．
14．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上，若AB＝，求CD的長．
15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，則DE的長為多少？
16．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問題．
（1）根據(jù)圖中大正方形面積的兩種不同表示方法，可得出代數(shù)恒等式 ；
（2）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的全等的小長方形，且a＞b．
①觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為 ．
②若陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖中空白部分的面積．
若a+b＝12（a＞0，b＞0），請你構(gòu)造合適的圖形，直接寫出的最小值是 ．
17．在△ABC中，AB＝13，BC＝14．
（1）如圖1，AD⊥BC于點D，且BD＝5，則△ABC的面積為 ；
（2）在（1）的條件下，如圖2，點H是線段AC上任意一點，分別過點A，C作直線BH的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BH＝x，AE＝m，CF＝n，請用含x的代數(shù)式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共3小題）
1．【解答】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．
∵DC∥AB，
∴＝，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是⊙A的直徑，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝．
故選：B．
2．【解答】解：設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，
在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，
解得x＝9，
∴CD＝5，
在Rt△ACD中，AD＝＝12，
∴△ABC的面積＝×BC?AD＝×14×12＝84，
故選：C．
3．【解答】解：∵S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，AB＝13，CD＝6，
∴AC?BC＝13×6＝78，
∵△ABC為直角三角形，
∴根據(jù)勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝169，
∴（AC+BC）2＝AC2+2AC?BC+BC2＝169+156＝325，
則AC+BC＝＝5．
故選：B．
二．填空題（共6小題）
4．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴點D到AC的距離也等于DE，
∴S△ABC＝×3?DE+×4?DE＝×3×4，
解得DE＝，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝，
∴BE＝3﹣＝，
在Rt△BDE中，BD＝＝＝．
故答案為：．
5．【解答】解：設(shè)兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，
由題意得，a+b+c＝+2，
∵c＝2，
∴a+b＝，
則（a+b）2＝6，即a2+2ab+b2＝6，
由勾股定理得，a2+b2＝c2＝4，
∴2ab＝6﹣4＝2，
∴這個三角形的面積＝ab＝0.5，
故答案為：0.5．
6．【解答】解：連接BF、CD，BD與CF相交于O點，CF交AD于P，如圖，
∵四邊形ABEF和四邊形ACGD為正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，BF＝AB＝，CD＝AC＝2，
∵∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAF+∠DAF＝∠CAD+∠DAF，
即∠BAD＝∠FAC，
在△ABD和△AFC中，
，
∴△ABD≌△AFC（SAS），
∴∠ADB＝∠ACF，
∵∠PDO+∠POD+∠DPO＝∠PCA+∠PAC+∠APC，
而∠DPO＝∠APC，
∴∠POD＝∠PAC＝90°，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
在Rt△BOF中，OB2+OF2＝BF2，
在Rt△CBO中，OB2+OC2＝BC2，
在Rt△DOF中，OD2+OF2＝DF2，
∴BC2+DF2＝CD2+BF2＝（2）2+（）2＝10．
故答案為10．
7．【解答】解：設(shè)CD與BE交于點G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝10，
由折疊的性質(zhì)可知△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝10，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
設(shè)AP＝EP＝x，則PD＝GE＝8﹣x，DG＝x，
∴CG＝10﹣x，BG＝10﹣（8﹣x）＝2+x，
根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即82+（10﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴AP＝，
故答案為：．
8．【解答】解：延長FD至點H，使得FD＝DH，連接AH，過H作HG⊥AB，交BA的延長線于點G，
∵D是AC的中點，
∴DA＝DC，
在△DAH和△DCF中，
，
∴△DAH≌△DCF（SAS），
∴AH＝CF＝6，∠DAH＝∠C，
∴AH∥BC，
∴∠HAG＝∠B＝30°，
∴HG＝AH＝3，AG＝AH?cs30°＝3，
∵DE⊥DF，DH＝DF，
∴EH＝EF＝12，
∴EG＝＝＝3，
∴AE＝EG﹣AG＝3﹣3．
故答案為：3﹣3．
9．【解答】將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE．
∵四邊形內(nèi)角和360°，
∴∠D+∠ABC＝180°．
∴∠ABE+∠ABC＝180°，
∴E、B、C三點共線．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠EAC＝60度，AE＝AC，
∴△AEC是等邊三角形．
四邊形ABCD面積等于△AEC面積，
等邊△AEC面積＝，解得AC＝4．
故答案為4．
三．解答題（共8小題）
10．【解答】
解：（1）如圖①，證明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE＝DF
∴；
（2）∵BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD
由（1）的結(jié)論，
∴，
∴AB＝AC；
（3）如圖③，過A作AE⊥BC，垂足為E，
∵，
∴
由（1）的結(jié)論，
∴，
∴BD＝，DC＝．
11．【解答】解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝，
（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
如圖3，把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，
則BE＝AD＝6，△CDE是等邊三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝8，
∴CD＝DE＝8．
12．【解答】解：（1）結(jié)論：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如圖1中，延長AE交BD于點H，AH交BC于點O．
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD．
故答案為AE＝BD，AE⊥BD．
（2）結(jié)論：AD＝2CM+BD，
理由：如圖2中，
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，
∴CM＝DM＝ME，
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形1：如圖3﹣1中，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．
情形2：如圖3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延長線于E，則△ABE是等腰直角三角形，
同法可證：△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝AE＝7，
∴BE＝7，
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，
綜上所述，BD的長為或7﹣3．
故答案為或7﹣3．
13．【解答】解：AC+CB＝AC+CB′＝AB′，
故答案為：CB′；AB′；
【簡單應(yīng)用】（1）由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連接BM，
EM+MC的最小值就是線段BE的長度，
BE＝＝3，
則EM+MC的最小值是3，
故答案為：BE；3；
（2）如圖5，作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，
則A′A″即為△AMN的周長最小值，
∵∠DAB＝130°，
∴∠AA′M+∠A″＝50°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°，
故答案為：100；
【拓展應(yīng)用】如圖6，分別作點A關(guān)于OB的對稱點A′，點B關(guān)于OA的對稱點B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，
則C、D為兩岸的裝貨地點，A′B′是貨船行駛的水路最短路程，
由軸對稱的性質(zhì)可知，OA′＝OA＝1，OB′＝OB＝2，∠BOA′＝∠AOB＝30°，∠AOB′＝∠AOB＝30°，
∴∠A′OB′＝90°，
∴A′B′＝＝，
答：貨船行駛的水路最短路程為千米．
14．【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝＝，
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1．
15．【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠DAG＝∠ACB，DE⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵AG＝GF，
∴DG＝AG＝GF，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠DGC＝∠GAD+∠GDA＝2∠GAD，
∵∠DCG＝2∠ACB，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC＝3，
在Rt△DEC中，∵∠DEC＝90°，DC＝3，EC＝1，
∴DE＝＝2．
16．【解答】解：（1）由圖知，大正方形的邊長為（a+b+c），所以大正方形的面積為（a+b+c）2，
由各部分面積和可得大正方形的面積為：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴可得代數(shù)恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）①由各部分和可得大矩形的面積為：2a2+2b2+5ab，
由圖知，在矩形的長為（2a+b），寬為（a+2b），則大矩形的面積也可表示為：（2a+b）（a+2b），
∴由該圖可得 因式分解為：2a2+2b2+5ab＝（2a+b）（a+2b），
故答案為：2a2+2b2+5ab＝（2a+b）（a+2b）；
②∵陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，
∴2a2+2b2＝20，2（2a+b+a+2b）＝24，
∴a2+b2＝10，a+b＝4，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴16＝10+2ab，
∴ab＝3，
∴圖中空白部分的面積＝（2a+b）（a+2b）﹣2（a2+b2）＝5ab＝5×3＝15；
（3）畫線段AB＝a+b＝12，再過分別過A、B兩點，在直線AB兩旁分別作AM⊥AB，BN⊥AB，并分別在AM、BN上截取AC＝2，BD＝3，連接CD，
設(shè)AH＝a，則BH＝12﹣a＝b，連接AH，DH，
由勾股定理得CH＝，DH＝，
∴＝CH+DH≥CD，
當(dāng)C、H、D三點依次在同一直線上時，＝CH+DH＝CD的值最小，
過點C作CF⊥DB，與DB的延長線交于點F，則MF＝AB＝12，BF＝AC＝2，
∴DF＝DB+BF＝3+2＝5，
由勾股定理得CD＝，
∴的最小值是13．
故答案為：13．
17．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，
∴AD＝＝＝12．
∵BC＝14，
∴＝＝84．
故答案為：84．
（2）∵SABC＝SABH+S△BHC，
∴．
∴xm+xn＝168．
∴m+n＝
∵AD＝12，DC＝14﹣5＝9，
∴AC＝＝15．
∵m+n與x成反比，
∴當(dāng)BH⊥AC時，m+n有最大值．
∴（m+n）BH＝AC?BH．
∴m+n＝AC＝15．
∵m+n與x成反比，
∴當(dāng)BH值最大時，m+n有最小值．
∴當(dāng)點H與點C重合時m+n有最小值．
∴m+n＝，
∴m+n＝12．
∴m+n的最大值為15，最小值為12．：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得

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中考數(shù)學(xué)｜幾何代數(shù)最值問題，基本的方法+典型例題專項訓(xùn)練

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