一、選擇題
計(jì)算cs(﹣eq \f(19π,3))等于( )
A.﹣eq \f(\r(3),2) B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
【答案解析】答案為：C
解析：cs(﹣eq \f(19π,3))＝cs eq \f(19π,3)＝cs(6π＋eq \f(π,3))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
已知sin α＋cs α＝﹣eq \r(2)，則tan α＋eq \f(1,tan α)等于( )
A.2 B.eq \f(1,2) C.﹣2 D.﹣eq \f(1,2)
【答案解析】答案為：A
解析：由已知得1＋2sin αcs α＝2，∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
若α∈(0，π)，sin(π﹣α)＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，則sin α﹣cs α的值為( )
A.eq \f(\r(2),3) B.﹣eq \f(\r(2),3) C.eq \f(4,3) D.﹣eq \f(4,3)
【答案解析】答案為：C
解析：由誘導(dǎo)公式得sin(π﹣α)＋cs α＝sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，
所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(2,9)，則2sin αcs α＝﹣eq \f(7,9)＜0，
因?yàn)棣痢?0，π)，所以sin α＞0，所以cs α＜0，所以sin α﹣cs α＞0，
因?yàn)?sin α﹣cs α)2＝1﹣2sin αcs α＝eq \f(16,9)，所以sin α﹣cs α＝eq \f(4,3).
已知sin(ɑ﹣eq \f(π,4))＝eq \f(1,3)，則cs(ɑ＋eq \f(π,4))的值為( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.﹣eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D.﹣eq \f(1,3)
【答案解析】答案為：D
解析：cs(ɑ＋eq \f(π,4))＝cs[eq \f(π,2)＋(ɑ﹣eq \f(π,4))]＝﹣sin(ɑ﹣eq \f(π,4))＝﹣eq \f(1,3).
已知函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋2(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)P，且角α的始邊與x軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P，則等于( )
A.eq \f(2,3) B.﹣eq \f(2,3) C.eq \f(3,2) D.﹣eq \f(3,2)
【答案解析】答案為：B
解析：易知函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋2(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)P(2,3)，故tan α＝eq \f(3,2)，
則＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)＝﹣eq \f(cs α,sin α)＝﹣eq \f(1,tan α)＝﹣eq \f(2,3).
若sin x＝3sin(x﹣eq \f(π,2))，則cs x·cs(x＋eq \f(π,2))等于( )
A.eq \f(3,10) B.﹣eq \f(3,10) C.eq \f(3,4) D.﹣eq \f(3,4)
【答案解析】答案為：A
解析：易知sin x＝3sin(x﹣eq \f(π,2))＝﹣3cs x，所以tan x＝﹣3，
所以cs xcs(x＋eq \f(π,2))＝﹣sin xcs x＝eq \f(－sin xcs x,sin2x＋cs2x)＝eq \f(－tan x,tan2x＋1)＝eq \f(3,10).
若cs(α﹣eq \f(π,5))＝eq \f(5,13)，則sin(eq \f(7π,10)﹣α)等于( )
A.﹣eq \f(5,13) B.﹣eq \f(12,13) C.eq \f(12,13) D.eq \f(5,13)
【答案解析】答案為：D
解析：因?yàn)閑q \f(7π,10)﹣α＋(α﹣eq \f(π,5))＝eq \f(π,2)，所以eq \f(7π,10)﹣α＝eq \f(π,2)﹣(α﹣eq \f(π,5))，所以sin(eq \f(7π,10)﹣α)＝cs(α﹣eq \f(π,5))＝eq \f(5,13).
若sin α是方程5x2﹣7x﹣6＝0的根，則等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
【答案解析】答案為：B
解析：方程5x2﹣7x﹣6＝0的兩根為x1＝﹣eq \f(3,5)，x2＝2，則sin α＝﹣eq \f(3,5).原式＝﹣eq \f(1,sin α)＝eq \f(5,3).
二、多選題
(多選)已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，則( )
A.eq \f(π,2)＜α＜π B.sin αcs α＝﹣eq \f(12,25)
C.cs α﹣sin α＝eq \f(7,5) D.cs α﹣sin α＝﹣eq \f(7,5)
【答案解析】答案為：ABD
解析：∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，等式兩邊平方得(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
解得sin αcs α＝﹣eq \f(12,25)，故B正確；∵α∈(0，π)，sin αcs α＝﹣eq \f(12,25)＜0，∴α∈(eq \f(π,2)，π)，故A正確；cs α﹣sin α＜0，且(cs α﹣sin α)2＝1﹣2sin αcs α＝1﹣2×(﹣eq \f(12,25))＝eq \f(49,25)，解得cs α﹣sin α＝﹣eq \f(7,5)，故D正確.
(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是( )
A.sin(A＋B)＝sin C B.sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C.tan(A＋B)＝﹣tan C(C≠eq \f(π,2)) D.cs(A＋B)＝cs C
【答案解析】答案為：ABC
解析：在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π﹣C)＝sin C，A正確.
sin eq \f(B＋C,2)＝sin(eq \f(π,2)﹣eq \f(A,2))＝cs eq \f(A,2)，B正確.tan(A＋B)＝tan(π﹣C)＝﹣tan C(C≠eq \f(π,2))，C正確.
cs(A＋B)＝cs(π﹣C)＝﹣cs C，D錯(cuò)誤.
(多選)已知角α滿足sin α·cs α≠0，則表達(dá)式(k∈Z)的取值可能為( )
A.﹣2 B.﹣1或1 C.2 D.﹣2或2或0
【答案解析】答案為：AC
解析：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝(﹣1)＋(﹣1)＝﹣2；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝1＋1＝2.∴原表達(dá)式的取值可能為﹣2或2.
(多選)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)(0≤α≤eq \f(π,2))，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(α)的最小值為﹣eq \r(2) B.f(α)的最小值為﹣1
C.f(α)的最大值為eq \r(2)﹣1 D.f(α)的最大值為1﹣eq \r(2)
【答案解析】答案為：BD
解析：設(shè)t＝sin α＋cs α＝eq \r(2)sin(α＋eq \f(π,4))，由0≤α≤eq \f(π,2)，得eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，則1≤t≤eq \r(2)，又由(sin α＋cs α)2＝t2，得2sin αcs α＝t2﹣1，所以f(α)＝g(t)＝eq \f(t2－1－2,t＋1)＝t﹣1﹣eq \f(2,t＋1)，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝t﹣1和y＝﹣eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上單調(diào)遞增，所以g(t)＝t﹣1﹣eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上單調(diào)遞增，g(t)min＝g(1)＝﹣1，g(t)max＝g(eq \r(2))＝1﹣eq \r(2).
三、填空題
已知sinθ＋csθ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，則tanθ＝ .
【答案解析】答案為：﹣eq \f(12,5).
解析：由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝﹣eq \f(60,169)，
因?yàn)棣取?0，π)，所以sin θ＞0，cs θ＜0，
所以sin θ﹣cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))所以tan θ＝﹣eq \f(12,5).
已知tanα＝eq \f(1,2)，則eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sinαcsα＋2＝ .
【答案解析】答案為：﹣eq \f(5,3) eq \f(13,5).
解析：已知tan α＝eq \f(1,2)，所以eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝﹣eq \f(5,3).
sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(13,5).
已知θ是第二象限角，且sin(θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(4,5)，則tan(θ﹣eq \f(π,4))＝ .
【答案解析】答案為：eq \f(3,4)
解析：∵θ是第二象限角，且sin(θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(4,5)，∴θ＋eq \f(π,4)為第二象限角，
∴cs(θ﹣eq \f(π,4))＝﹣eq \f(3,5)，
∴tan(θ﹣eq \f(π,4))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))))＝eq \f(sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))),cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,2))))＝eq \f(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝eq \f(3,4).
設(shè)tan(5π＋α)＝2，則＝ .
【答案解析】答案為：3
解析：由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3.
設(shè)f(θ)＝，則f(eq \f(17π,3))＝ .
【答案解析】答案為：﹣eq \f(5,12)
解析：∵f(θ)＝eq \f(2cs2θ＋sin2θ＋cs θ－3,2＋2cs2θ＋cs θ)＝eq \f(cs2θ＋cs θ－2,2cs2θ＋cs θ＋2)，
又cseq \f(17π,3)＝cs(6π﹣eq \f(π,3))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，∴f(eq \f(17π,3))＝eq \f(\f(1,4)＋\f(1,2)－2,\f(1,2)＋\f(1,2)＋2)＝﹣eq \f(5,12).
已知﹣π＜x＜0，sin(π＋x)﹣cs x＝﹣eq \f(1,5)，則eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝ .
【答案解析】答案為：﹣eq \f(24,175).
解析：由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，整理得2sin xcs x＝﹣eq \f(24,25).∴(sin x﹣cs x)2＝1﹣2sin xcs x＝eq \f(49,25)，由﹣π＜x＜0知，sin x＜0，又sin xcs x＝﹣eq \f(12,25)＜0，∴cs x＞0，∴sin x﹣cs x＜0，故sin x﹣cs x＝﹣eq \f(7,5).
∴eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin x?cs x＋sin x?,1－\f(sin x,cs x))＝eq \f(2sin xcs x?cs x＋sin x?,cs x－sin x)＝﹣eq \f(24,175).
四、解答題
已知關(guān)于x的方程2x2﹣(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的兩根分別是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值.
【答案解析】解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由已知得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，所以eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知得sin θcs θ＝eq \f(m,2)，因?yàn)?＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，
所以1＋m＝(eq \f(\r(3)＋1,2))2，解得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
因?yàn)棣取?0,2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).
設(shè)f(α)＝(1＋2sin α≠0).
(1)化簡(jiǎn)f(α)；
(2)若α＝﹣eq \f(23π,6)，求f(α)的值.
【答案解析】解：(1)f(α)＝eq \f(2sin αcs α＋cs α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,tan α).
(2)當(dāng)α＝﹣eq \f(23π,6)時(shí)，f(α)＝f(﹣eq \f(23π,6))＝eq \f(1,tan \f(π,6))＝eq \f(1,\f(\r(3),3))＝eq \r(3).
已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3m，﹣6m)(m≠0).
(1)求的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2(ɑ＋eq \f(3π,2))＋sin(π﹣α)cs α﹣cs(eq \f(π,2)＋ɑ)的值.
【答案解析】解：(1)∵m≠0，∴cs α≠0，
即＝eq \f(－sin α－cs α,cs α＋2sin α)＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α).
又∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3m，﹣6m)(m≠0)，∴tan α＝eq \f(－6m,3m)＝﹣2，
故＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α)＝eq \f(2－1,1＋2×?－2?)＝﹣eq \f(1,3).
(2)∵α是第二象限角，∴m＜0，則sin α＝eq \f(－6m,3\r(5)|m|)＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(3m,3\r(5)|m|)＝﹣eq \f(\r(5),5)，
∴sin2(ɑ＋eq \f(3π,2))＋sin(π﹣α)cs α﹣cs(eq \f(π,2)＋ɑ)＝cs2α＋sin αcs α＋sin α
＝(﹣eq \f(\r(5),5))2＋eq \f(2\r(5),5)×(﹣eq \f(\r(5),5))＋eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(－1＋2\r(5),5).
(1)已知cs α是方程3x2﹣x﹣2＝0的根，且α是第三象限角，
求的值；
(2)已知sin x＋cs x＝﹣eq \f(7,13)(0＜x＜π)，求cs x﹣2sin x的值.
【答案解析】解：(1)因?yàn)榉匠?x2﹣x﹣2＝0的根為x1＝1，x2＝﹣eq \f(2,3)，
又α是第三象限角，所以cs α＝﹣eq \f(2,3)，所以sin α＝﹣eq \f(\r(5),3)，tan α＝eq \f(\r(5),2).
所以原式＝eq \f(－cs αsin αtan2α,－sin αcs α)＝tan2α＝eq \f(5,4).
(2)∵sin x＋cs x＝﹣eq \f(7,13)(0＜x＜π)，
∴cs x＜0，sin x＞0，即sin x﹣cs x＞0，
把sin x＋cs x＝﹣eq \f(7,13)，兩邊平方得1＋2sin xcs x＝eq \f(49,169)，
即2sin xcs x＝﹣eq \f(120,169)，
∴(sin x﹣cs x)2＝1﹣2sin xcs x＝eq \f(289,169)，即sin x﹣cs x＝eq \f(17,13)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x＝－\f(7,13)，,sin x－cs x＝\f(17,13)，))解得sin x＝eq \f(5,13)，cs x＝﹣eq \f(12,13)，
∴cs x﹣2sin x＝﹣eq \f(22,13).

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