一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2?i)z=5(i是虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為z?，則z?z?=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.直線l1：ax+3y+a2?5=0，l2：x+(a?2)y+4=0，若兩條直線平行，則實(shí)數(shù)a=( )
A. ?1B. 1C. 3D. ?1或3
3.已知圓錐的側(cè)面積為3π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為2π3的扇形，則此圓錐的高為( )
A. 3πB. 2 2C. πD. 2
4.許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素，更具神韻，數(shù)學(xué)賦予了建筑活力，數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面(由雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形)型建筑，圖2是其中截面最細(xì)附近處的部分圖像，上、下底面與地面平行.現(xiàn)測得下底直徑AB=20 10米，上底直徑CD=20 2米，AB與CD間的距離為80米，與上下底面等距離的G處的直徑等于CD，則最細(xì)部分處的直徑為( )
A. 10米B. 20米C. 10 3米D. 10 5米
5.如圖，在△ABC中，D，E是BC上的兩個三等分點(diǎn)，AB=12，AC=9，∠BAC=60°，則AD?AE的值為( )
A. 50
B. 80
C. 86
D. 110
6.袋子中有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中隨機(jī)取出兩個球，設(shè)事件A=“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B=“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C=“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件D=“取出的球的數(shù)字之和大于5”，則下列說法錯誤的是( )
A. 事件A與B是互斥事件B. 事件A與B是對立事件
C. 事件C與D相互獨(dú)立D. 事件C與D不是互斥事件
7.設(shè)α為銳角，若cs(α+π3)=? 33，則cs(2α+π6)的值為( )
A. 2 23B. ?2 23C. ?13D. 53
8.如圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線OP⊥AB且在第一象限交橢圓于P點(diǎn)，設(shè)OP與AB的交點(diǎn)為M，若OM=52MP，則橢圓的離心率為( )
A. 22
B. 12
C. 32
D. 34
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列選項(xiàng)中，值為12的是( )
A. 2cs215°B. sin27°cs3°+cs27°sin3°
C. 2sin15°sin75°D. tan22.5°1?tan222.5°
10.下列說法正確的是( )
A. 直線 3x+y+1=0的傾斜角為120°
B. 經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為x?y?1=0
C. 直線x+2y?4=0與直線2x+4y+1=0之間的距離是9 510
D. 直線l1：ax+2ay+1=0，l2：(a?1)x?(a+1)y?4=0，l1⊥l2，則a=?3
11.如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，AB，CD分別為上、下底面的直徑，AC，BD為圓臺的母線，E為弧AB的中點(diǎn)，則( )
A. 圓臺的體積為 3π
B. 直線AC與下底面所成的角的大小為π3
C. 異面直線AC和DE所成的角的大小為π4
D. 圓臺外接球的表面積為12π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖，用X，Y，Z這3類不同的元件連接成系統(tǒng)N，每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，當(dāng)元件X正常工作且Y，Z中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N正常工作.已知元件X，Y，Z正常工作的概率分別為0.8，0.7，0.9，則系統(tǒng)N正常工作的概率是______．
13.圓C1：x2+y2?4x?5=0與圓C2：x2+y2?2y?3=0相交于A、B兩點(diǎn)，則AB= ______．
14.杭州第19屆亞運(yùn)會的主會場——杭州奧體中心體育場，又稱“大蓮花”(如圖1所示).會場造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢塘江水的動態(tài)，其簡筆畫如圖2所示.一同學(xué)初學(xué)簡筆畫，先畫了一個橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示.若橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，下頂點(diǎn)為A(0,?12),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圓C上任意一點(diǎn)，滿足|PO|=2|PA|，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；若Q為橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)QC取最大值時，點(diǎn)Q恰好有兩個，則a的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2ccsB=acsB+bcsA．
(1)求角B的大??；
(2)若b= 13，3a=4c，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、愛國的熱情，我校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的生日”黨史知識競賽，并將2000名師生的競賽成績整理成如圖所示的頻率直方圖．
(1)求頻率直方圖中a的值以及師生競賽成績的中位數(shù)；
(2)利用頻率直方圖的組中值求2000名師生的平均成績；
(3)從競賽成績在[80,90)，[90,100]的師生中，采用分層抽樣的方法抽取6人，再從抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，求2人的成績來自同一區(qū)間的概率．
17.(本小題15分)
已知圓C經(jīng)過A(1,4)，B(5,0)兩點(diǎn)，且在x軸上的截距之和為2．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)圓M與圓C關(guān)于直線x?y+1=0對稱，求過點(diǎn)(3,0)且與圓M相切的直線方程．
18.(本小題17分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，PA= 5，PD⊥CD，PB⊥BD，點(diǎn)N在棱PC上，平面PBD⊥平面ABCD．
(1)證明：AB⊥PB；
(2)若PA//平面BDN，求三棱錐N?PAD的體積；
(3)若二面角N?BD?C的平面角為π4，求PNNC．
19.(本小題17分)
已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其離心率為12，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過F1作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過B作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)D．
①試討論直線AD是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
②求△AOD面積的最大值．
參考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.BCD
10.ACD
11.BC

13.4
14.(0,?23) ( 216,+∞)
15.解：(1)因?yàn)?ccsB=acsB+bcsA，
由正弦定理可得2sinCcsB=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC，
在△ABC中，可得sinC>0，
所以csB=12，B∈(0,π)，
可得B=π3；
(2)因?yàn)閎= 13，3a=4c，則c=34a，
由余弦定理可得b2=a2+c2?2accsB，
即13=a2+(34a)2?2a?34a?12，
整理可得：1316a2=13，可得a=4，c=3，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×3× 32=3 3．
16.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得：10(0.01+0.01+a+0.04+a)=1，
所以a=0.02，
因?yàn)楣参褰M，前四組的頻率和0.1+0.1+0.2+0.4=0.8>0.5且最后一組的頻率0.20)，
令y=0，可得x2+Dx+F=0，則x1+x2=?D=2，
將A(1,4)，B(5,0)代入可得，1+16+D+4E+F=025+5D+F=0，
解得D=?2E=0F=?15，所以圓C方程為x2+y2?2x?15=0，
即(x?1)2+y2=16．
(2)圓C的圓心C(1,0)，圓M的圓心與C(1,0)關(guān)于x?y+1=0對稱，
∴設(shè)圓M的圓心為M(a,b)
則a+12?b2+1=0ba?1×1=?1，解得a=?1b=2，
圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+1)2+(y?2)2=16，
若過點(diǎn)(3,0)的直線斜率不存在，則方程為x=3，
此時圓心C(?1,2)到直線x=3的距離為3+1=4=r，滿足題意；
若過點(diǎn)(3,0)且與圓C相切的直線斜率存在，
則設(shè)切線方程為y=k(x?3)，即kx?y?3k=0，
則圓心到直線kx?y?3k=0的距離為|?4k?2| k2+1=4，解得k=34，
所以切線方程為34x?y?94=0，即3x?4y?9=0，
綜上，過點(diǎn)(3,0)且與圓C相切的直線方程為x=3或3x?4y?9=0．
18.解：(1)證明：因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PB⊥BD，PB?平面PBD，
所以PB⊥平面ABCD，
又∵AB?平面ABCD，
所以PB⊥AB；
(2)因?yàn)镻A//平面BDN，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BDN=NO(其中點(diǎn)O是AC，BD的交點(diǎn)也是中點(diǎn))，

所以PA//NO，可知N為PC中點(diǎn)，
而PB⊥AB，AB=1，PA= 5，
所以PB=2，
因?yàn)镻D⊥CD，PB⊥BD，
所以PC2=PD2+1=22+BD2+1=BD2+5，
因?yàn)镻B⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PB⊥BC，
所以PC2=22+BC2，
所以BD2+1=BC2，
在三角形BCD中，CD=AB=1，∠BCD=60°，由余弦定理有BD2=BC2+1?BC，
結(jié)合BD2+1=BC2，解得BD= 3,BC=2，
VN?PAD=12VC?PAD=12VP?ACD=12×13×2×(12×2×1× 32)= 36．
(3)由題意知PB⊥平面ABCD，過點(diǎn)N作PB平行線交BC于點(diǎn)H，
所以NH⊥面ABCD，再作HK⊥BD(K為垂足)，

所以∠NKH為二面角N?BD?C的平面角，∠NKH=π4，
由(2)可知BC=PB=2，所以三角形PBC是等腰直角三角形，
同理三角形NHC也是等腰直角三角形，
從而PC=2 2，
在三角形BCD中，BD2+CD2=( 3)2+12=4=BC2，
所以∠BDC=90°，
而∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，
不妨設(shè)CH=NH=x=KH，NC= 2x，
則BH=2?x且BH=2KH，所以x=23=NH，
所以PNNC=2 2? 2x 2x=2．
19.解：(1)由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
所以△ABF2的周長為4a=8，解得a=2，
又ca=12，解得c=1，故b2=a2?c2=4?1=3，
所以橢圓方程為x24+y23=1；
(2)①由題意得F1(?1,0)，設(shè)直線AB：x=my?1，m≠0，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1>0，y2

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