1．本試卷共8頁，共120分；考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．
2．答題前，務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上．
3．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．
4．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．
5．寫在試卷上或答題卡指定區(qū)域外的答案無效．
6．考試過程中允許考生進(jìn)行剪、拼、折疊等實(shí)驗(yàn)．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標(biāo)號為A，B，C，D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的．
1. 下列實(shí)數(shù)中的無理數(shù)是（ ）
A. B. 3.14C. D.
2. 下列運(yùn)算結(jié)果為的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下圖是由8個(gè)大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標(biāo)號為①②③④的小正方體中取走一個(gè)，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應(yīng)取走（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④
4. 實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A B. C. D.
5. 目前全球最薄的手撕鋼產(chǎn)自中國，厚度只有0.015毫米，約是紙厚度的六分之一，已知1毫米百萬納米，0.015毫米等于多少納米？將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 納米B. 納米C. 納米D. 納米
6. 射擊運(yùn)動(dòng)隊(duì)進(jìn)行射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦聢D，其成績的方差分別記為和，則和的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D. 無法確定
7. 某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（ ）
A 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
8. 如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)G，連接，若，則用含α的代數(shù)式表示為（ ）
A. B. C. D.
9. 《周髀算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個(gè)不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
10. 如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點(diǎn)，在同一水平線上，點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）
11. 若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為________．
12. 關(guān)于的不等式有正數(shù)解，的值可以是______（寫出一個(gè)即可）．
13. 若一元二次方程的兩根為m，n，則的值為________．
14. 如圖，在邊長為6的正六邊形中，以點(diǎn)F為圓心，以的長為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為________．
15. 如圖，在中，，，．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為________．
16. 已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為______．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分）
17. 利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下：，若是其顯示結(jié)果的平方根，先化簡：，再求值．
18. “山海同行，艦回?zé)熍_”．2024年4月23日，煙臺艦與家鄉(xiāng)人民共慶人民海軍成立75周年．值此，某學(xué)校開展了“奮進(jìn)萬億新征程，共筑強(qiáng)國強(qiáng)軍夢”的主題研學(xué)活動(dòng)，為了解學(xué)生參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生對研學(xué)活動(dòng)時(shí)長（用t表示，單位：h）進(jìn)行調(diào)查．經(jīng)過整理，將數(shù)據(jù)分成四組（A組：；B組：；C組：；D組：），并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．
（1）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，a的值為_____，D組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為______；
（3）D組中有男、女生各兩人，現(xiàn)從這四人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行研學(xué)宣講，請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19. 根據(jù)收集的素材，探索完成任務(wù)．
20. 每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
（2）全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？
21. 如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，將正比例函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點(diǎn)B，C，與x軸，y軸交于點(diǎn)D，E，且滿足．過點(diǎn)B作軸，垂足為點(diǎn)F，G為x軸上一點(diǎn)，直線與關(guān)于直線成軸對稱，連接．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求n值及的面積．
22. 在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．
【嘗試發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為________；
【類比探究】
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明；
【聯(lián)系拓廣】
（3）若，，請直接寫出的值．
23. 如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點(diǎn)I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點(diǎn)D，E是上任意一點(diǎn)，連接，，，．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）找出圖中所有與相等的線段，并證明；
（3）若，，求的周長．
24. 如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸為直線．
（1）分別求拋物線和的表達(dá)式；
（2）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；
（3）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
參考答案
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標(biāo)號為A，B，C，D四個(gè)備選答案，其中有且只有一個(gè)是正確的．
1. 【答案】C
【解析】解：A、是有理數(shù)，不符合題意；
B、3.14是有理數(shù)，不符合題意；
C、是無理數(shù)，符合題意；
D、是有理數(shù)，不符合題意；
故選C．
2. 【答案】D
【解析】A．，故選項(xiàng)不符合題意；
B． ，故選項(xiàng)不符合題意；
C．，故選項(xiàng)不符合題意；
D．，故選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3. 【答案】A
【解析】解：A、取走①時(shí)，左視圖為 ，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項(xiàng)A符合題意；
B、取走②時(shí)，左視圖為 ，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、取走③時(shí)，左視圖為 ，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、取走④時(shí)，左視圖為 ，既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A．
4. 【答案】B
【解析】由數(shù)軸可得，，，，
、，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，
、，原選項(xiàng)判斷正確，符合題意，
、根據(jù)數(shù)軸可知：，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，
、根據(jù)數(shù)軸可知：，則，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，
故選：．
5. 【答案】B
【解析】解：0.015毫米納米；
故選B．
6. 【答案】A
【解析】解：∵方差表示數(shù)據(jù)的離散程度，方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，由折線圖可知乙選手的成績波動(dòng)較小，
∴；
故選A．
7. 【答案】D
【解析】解：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；
第二個(gè)圖，由作圖可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為的平分線；
第三個(gè)圖，由作圖可知，
∴，，
∴
∴，
∴為的平分線；
第四個(gè)圖，由作圖可知：，，
∴為的平分線；
故選D．
8. 【答案】B
【解析】解：∵正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對角線的三等分點(diǎn)，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
9. 【答案】C
【解析】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，
∴一共織布（尺），
故選：．
10. 【答案】D
【解析】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴
∴
∴
當(dāng)時(shí)，重合部分為，
如圖所示，
依題意，為等邊三角形，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，
∴
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
依題意，，則
∴
∴
∵
∴當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，同理可得，
當(dāng)時(shí)，同理可得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線；
故選：D．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分）
11. 【答案】
【解析】解：由題意，得：，
解得：；
故答案為：．
12. 【答案】（答案不唯一）
【解析】解：不等式移項(xiàng)得，，
系數(shù)化為得，，
∵不等式有正數(shù)解，
∴，
解得，
∴的值可以是，
故答案為：．
13. 【答案】6
【解析】解：∵一元二次方程的兩個(gè)根為，，
∴，
∴
故答案為：6．
14. 【答案】
【解析】解：∵正六邊形，
∴，，
∴，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，
設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則：，
∴；
故答案為：．
15. 【答案】##
【解析】解：∵在中，，，
∴，，則，
∵E為邊的中點(diǎn)，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長，即面積的最小，
過C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面積的最小值為，
故答案為：．
16. 【答案】
【解析】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，故正確；
∵，，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，
∵與時(shí)函數(shù)值相等，等于，
∴當(dāng)時(shí)， 的取值范圍為，故錯(cuò)誤；
∵，
∴點(diǎn)，關(guān)于對稱軸對稱，
∴，故正確；
由得，
即，
畫函數(shù)和圖象如下：
由，解得，，
∴，，
由圖形可得，當(dāng)或時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；
綜上，正確的結(jié)論為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分）
17. 【答案】，．
【解析】解：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴的平方根為，
∵，
∴，
又∵為的平方根，
∴，
∴原式．
18. 【答案】（1）圖見解析
（2）
（3）
【解析】
【小問1詳解】
解：，
∴組人數(shù)為：；
補(bǔ)全條形圖如圖：
【小問2詳解】
，
∴，
D組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為；
故答案為：；
【小問3詳解】
列表如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中一男一女的結(jié)果有8種，
∴．
19. 【答案】任務(wù)一：冬至，；任務(wù)二：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器
【解析】解：任務(wù)一：根據(jù)題意，要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，只需為冬至日時(shí)的最小角度，即，
故答案為：冬至，；
任務(wù)二：過E作于F，則，米，，
在中，，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
（層），
答：乙樓中7層（含7層）以下不能安裝該品牌太陽能熱水器．
20. 【答案】（1），每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為元
（2）這天售出了64輛輪椅
【解析】
【小問1詳解】
解：由題意，得：；
∵每輛輪椅的利潤不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，每天的利潤最大，為元；
答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為元；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
解得：（不合題意，舍去）；
∴（輛）；
答：這天售出了64輛輪椅．
21. 【答案】（1）
（2），
【解析】
【小問1詳解】
解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
∴；
【小問2詳解】
∵
∴
∴
∴
∵將正比例函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，
∴平移后的解析式為：，
如圖所示，過點(diǎn)，作軸的平行線交軸于點(diǎn)，則，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
設(shè)，則
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴
∴，
∴的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則，
∴，，則
∵直線與關(guān)于直線成軸對稱，軸，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
22. 【答案】（1）；（2），補(bǔ)圖及證明見解析；（3）
【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
（2）補(bǔ)全圖形如圖：
，理由如下：
過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，
由旋轉(zhuǎn)得，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴．
23. 【答案】（1）
（2），證明見解析
（3）30
【解析】
【小問1詳解】
解：∵是的直徑，
∴，又，
∴，
∵四邊形是內(nèi)接四邊形，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：，
證明：連接，
∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：過I分別作，，，垂足分別為Q、F、P，
∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，即為的內(nèi)切圓的圓心．
∴Q、F、P分別為該內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周長為
．
24. 【答案】（1），
（2）
（3）存在，或
【解析】
【小問1詳解】
解：設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)G，
由題意得，
∵對稱軸為直線，
∴，
∴，
∴，
將A、B、C分別代入，
得：，
解得：，
∴，
∴，頂點(diǎn)為
∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，
∴拋物線的，頂點(diǎn)為，
∴的表達(dá)式為：，即
【小問2詳解】
解：將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位至，則，，過點(diǎn)D作直線的對稱點(diǎn)為，連接，
∴，
∵，
∴直線為直線，
∵軸，
∴，
對于拋物線，令，則，
∴，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
∴點(diǎn)，
∵軸，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
而，
∴的最小值為；
【小問3詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)P在直線右側(cè)拋物線上時(shí)，如圖：
∵拋物線，
∴
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
作H關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線：，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，
代入，,
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，得：，
解得：或（舍），
∴；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線左側(cè)拋物線上時(shí)，延長交y軸于點(diǎn)N，作垂直平分線交于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，則，如圖：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
由點(diǎn)
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，，
在和中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍）
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入點(diǎn)N，E，
得：，
解得：
∴直線表達(dá)式為：，
聯(lián)立，
得：，
整理得：
解得：或（舍），
∴，
綜上所述，或．
探究太陽能熱水器的安裝
素材一
太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項(xiàng)發(fā)明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．
素材二
某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時(shí)，；夏至日時(shí)，．
，，
，，
，，
，，
素材三
如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側(cè)都無法獲得太陽光照射．現(xiàn)準(zhǔn)備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時(shí)刻太陽光線．
問題解決
任務(wù)一
確定使用數(shù)據(jù)
要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應(yīng)選擇________日（填冬至或夏至）時(shí)，α為________（填，，，中的一個(gè)）進(jìn)行計(jì)算．
任務(wù)二
探究安裝范圍
利用任務(wù)一中選擇的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1

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