專題強化：動量守恒在子彈打木塊模型和“滑塊—木板”模型中的應(yīng)用
考點一　子彈打木塊模型
考點二　“滑塊—木板”模型
1.模型圖示2.模型特點(1)子彈水平打進木塊的過程中，系統(tǒng)的動量守恒。(2)系統(tǒng)的機械能有損失。
3.兩種情景(1)子彈嵌入木塊中，兩者速度相等，機械能損失最多(完全非彈性碰撞)動量守恒：mv0＝(m＋M)v
(2)子彈穿透木塊動量守恒：mv0＝mv1＋Mv2
例1　如圖所示，在光滑的水平桌面上靜止放置一個質(zhì)量為980 g的長方形勻質(zhì)木塊，現(xiàn)有一質(zhì)量為20 g的子彈以大小為300 m/s的水平速度沿木塊的中心軸線射向木塊，最終留在木塊中沒有射出，和木塊一起以共同的速度運動。已知木塊沿子彈運動方向的長度為10 cm，子彈打進木塊的深度為6 cm。設(shè)木塊對子彈的阻力保持不變。(1)求子彈和木塊的共同速度以及它們在此過程中所產(chǎn)生的內(nèi)能。
答案　6 m/s　882 J
設(shè)子彈射入木塊后與木塊的共同速度為v，對子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得mv0＝(M＋m)v，代入數(shù)據(jù)解得v＝6 m/s此過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的內(nèi)能
(2)若子彈是以大小為400 m/s的水平速度從同一方向水平射向該木塊，則在射中木塊后能否射穿該木塊？
假設(shè)子彈以v0′＝400 m/s的速度入射時沒有射穿木塊，則對以子彈和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得mv0′＝(M＋m)v′解得v′＝8 m/s此過程系統(tǒng)損失的機械能為
由功能關(guān)系有Q＝ΔE＝F阻x相＝F阻dΔE′＝F阻x相′＝F阻d′
因為d′>10 cm，所以能射穿木塊。
拓展　在例1中，若子彈能射出木塊，則：(1)(多選)當(dāng)子彈射入的速度增大時，下列說法正確的是A.木塊最終獲得的動能變大B.子彈損失的動能變大C.子彈穿過木塊的時間變短D.木塊在被擊穿過程中的位移變小
子彈的入射速度越大，子彈擊穿木塊所用的時間越短，木塊相對地面的位移越小，但子彈相對木塊的位移不變，C、D正確；木塊動能的增加量ΔEk＝Ffx，木塊對子彈的阻力恒定，由上述分析可知木塊動能的增加量變小，即木塊最終獲得的動能變小，子彈損失的動能也變小，A、B錯誤。
(2)在木塊固定和不固定的兩種情況下，以下說法正確的是A.若木塊固定，則子彈對木塊的摩擦力的沖量為零B.若木塊不固定，則子彈減小的動能等于木塊增加的動能C.不論木塊是否固定，兩種情況下木塊對子彈的摩擦力的沖量大小相等D.不論木塊是否固定，兩種情況下子彈與木塊間因摩擦產(chǎn)生的熱量相等
若木塊固定，子彈在木塊中運動的時間t不為零，摩擦力Ff不為零，則子彈對木塊的摩擦力的沖量I＝Fft不為零，A錯誤；若木塊不固定，子彈減小的動能等于木塊增加的動能與系統(tǒng)增加的內(nèi)能之和，可知子彈減小的動能大于木塊增加的動能，B錯誤；木塊固定時子彈射出木塊所用時間較短，木塊不固定時子彈射出木塊所用時間較長，摩擦力大小不變，則木塊不固定時木塊對子彈的摩擦力的沖量大小大于木塊固定時木塊對子彈的摩擦力的沖量大小，C錯誤；
不論木塊是否固定，因摩擦產(chǎn)生的熱量等于摩擦力與木塊長度的乘積，摩擦力與木塊長度都不變，因此兩種情況下子彈與木塊間因摩擦產(chǎn)生的熱量相等，D正確。
1.模型圖示2.模型特點(1)系統(tǒng)的動量守恒，但機械能不守恒，摩擦力與兩者相對位移的乘積等于系統(tǒng)減少的機械能。(2)若滑塊未從木板上滑下，當(dāng)兩者速度相同時，木板速度最大，相對位移最大。
3.求解方法(1)求速度：根據(jù)動量守恒定律求解，研究對象為一個系統(tǒng)；(2)求時間：根據(jù)動量定理求解，研究對象為一個物體；(3)求系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能或相對位移：根據(jù)能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究對象為一個系統(tǒng)。
例2　質(zhì)量m1＝0.3 kg的小車靜止在光滑的水平面上，車長L＝1.5 m，現(xiàn)有一質(zhì)量為m2＝0.2 kg、可視為質(zhì)點的物塊，以水平向右的速度v0＝2 m/s從左端滑上小車，如圖所示，最后在小車上某處與小車保持相對靜止，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m/s2，求：(1)物塊與小車的共同速度大小v；
設(shè)物塊與小車的共同速度為v，以水平向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律有m2v0＝(m1＋m2)v，解得v＝ ＝0.8 m/s
(2)物塊相對小車滑行的時間t；
對物塊由動量定理有－μm2gt＝m2v－m2v0
(3)從開始到共速，小車運動的位移大小x1；
(4)從開始到共速，物塊運動的位移大小x2；
方法一　Δx＝x2－x1＝0.24 mQ＝μm2g·Δx＝0.24 J
(5)在此過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能；
m2v0′＝(m1＋m2)v′
(6)若物塊不滑離小車，物塊的速度不能超過多少。
聯(lián)立解得v0′＝5 m/s。
拓展　在例2中，若增大物塊與小車間的動摩擦因數(shù)，則因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能將_____(填“增大”“減小”或“不變”)。
例3　如圖所示，光滑水平面上有一平板車B，其上表面水平，質(zhì)量mB＝1 kg，在其左端放置一物塊A，質(zhì)量mA＝0.4 kg。開始A、B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，玩具手槍里面有一顆質(zhì)量為m0＝100 g的子彈以初速度v0＝100 m/s水平射向A，子彈瞬間射入并留在物塊中，最終物塊A及子彈相對地面以16 m/s的速度滑離平板車，已知A、B間的動摩擦因數(shù)μ＝0.8，g取10 m/s2。求：(1)子彈射入物塊A的過程中物塊對子彈的沖量；
答案　8 N·s，方向水平向左
子彈射入物塊A的過程，由動量守恒定律得m0v0＝(m0＋mA)v1解得子彈與物塊A的共同速度大小為v1＝20 m/s對子彈由動量定理得I＝m0v1－m0v0＝－8 N·s所以子彈射入物塊A的過程中物塊對子彈的沖量大小為8 N·s，方向水平向左。
(2)平板車B的最大速度vB大??；
當(dāng)物塊A滑離平板車時，平板車的速度最大，由動量守恒定律得m0v0＝mBvB＋(m0＋mA)v2解得平板車B的最大速度vB＝2 m/s
(3)物塊A在平板車上滑行的時間t；
對物塊A與子彈由動量定理得－μ(m0＋mA)gt＝(m0＋mA)v2－(m0＋mA)v1解得物塊A在平板車上滑行的時間t＝0.5 s
(4)求平板車的長度L。
例4　(2023·四川成都市模擬)如圖所示，質(zhì)量為m＝2 kg的物塊A從高為h＝0.2 m的光滑固定圓弧軌道頂端由靜止釋放，圓弧軌道底端的切線水平，物塊A可從圓弧軌道的底端無能量損失地滑上一輛靜止在光滑水平面上的小車B，且物塊最終沒有滑離小車B。已知A、B間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，小車B的質(zhì)量M＝6 kg，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)物塊A與小車B的共同速度大小；
(2)當(dāng)物塊A相對小車B靜止時，小車B運動的位移大小及系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量。
思考　子彈打木塊模型、滑塊—木板模型有什么區(qū)別與聯(lián)系？
答案　這兩個模型中，子彈打木塊模型是一個物體從另外一個物體內(nèi)部穿行，時間較短，在滑塊—木板模型中，是一個物體在另外一個物體表面滑行，時間相對較長，在運動過程中都受到阻力作用，運動規(guī)律相同。
1.(2024·山東省實驗中學(xué)月考)如圖所示，兩顆質(zhì)量和速度均相同的子彈分別水平射入靜止在光滑水平地面上的滑塊A、B后與滑塊一起運動。兩滑塊質(zhì)量相同、材料不同，子彈在A中受到的平均阻力是在B中受到的平均阻力的兩倍。下列說法正確的是A.射入滑塊A的子彈最終速度小B.射入滑塊A的子彈受到的阻力的沖量大C.射入滑塊A中的深度是射入滑塊B中深度的兩倍D.子彈對滑塊A做的功和對滑塊B做的功相等
設(shè)子彈的初速度為v，子彈與滑塊共同速度為v′，子彈和滑塊的質(zhì)量分別為m、M，取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律可知mv＝(m＋M)v′，解得v′＝ ，由于兩滑塊質(zhì)量相同，子彈質(zhì)量也相同，則最后共同速度也相同，故A錯誤；子彈的質(zhì)量相同，初、末速度相同，則子彈的動量變化量相等，根據(jù)動量定理可知I＝Δp，子彈受到的阻力的沖量相同，故B錯誤；
根據(jù)能量守恒定律可知，兩過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于系統(tǒng)減小的機械能，故兩過程系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量相同，由Q＝fd，其中子彈在A中受到的平均阻力是在B中受到的平均阻力的兩倍，可知子彈射入滑塊B中的深度是射入滑塊A中深度的兩倍，故C錯誤；根據(jù)動能定理可知，子彈對滑塊做的功等于滑塊動能的增加量，兩滑塊質(zhì)量相同，初動能相同，末動能相同，則子彈對滑塊A做的功和對滑塊B做的功相等，故D正確。
2.如圖所示，光滑水平面上有一矩形長木板，木板左端放一小物塊，已知木板質(zhì)量大于物塊質(zhì)量，t＝0時兩者從圖中位置以相同的水平速度v0向右運動，碰到右邊的豎直擋板后木板以與原來等大反向的速度被反彈回來，運動過程中物塊一直未離開木板，則關(guān)于物塊運動的速度v隨時間t變化的圖像可能正確的是
木板碰到擋板前，物塊與木板一直做勻速運動，速度為v0，故B、C錯誤；木板碰到擋板后，物塊向右做勻減速運動，速度減至零后向左做勻加速運動，木板向左做勻減速運動，最終兩者速度相同，設(shè)為v1。設(shè)木板的質(zhì)量為M，物塊的質(zhì)量為m，取向左為正方向，則由動量守恒得Mv0－mv0＝(M＋m)v1，得v1＝ ＜v0，故A正確，D錯誤。
3.(多選)(2023·河北衡水市第二中學(xué)三模)如圖所示，光滑水平面上放置滑塊A和左側(cè)固定輕質(zhì)豎直擋板的木板B，滑塊C置于B的最右端，三者質(zhì)量分別為mA＝2 kg、mB＝3 kg、mC＝1 kg。開始時B、C靜止，A以v0＝7.5 m/s的速度勻速向右運動，A與B發(fā)生正碰(碰撞時間極短)，經(jīng)過一段時間，B、C達到共同速度一起向右運動，且此時C再次位于B的最右端。已知所有的碰撞均無機械能損失，木板B的長度為L＝0.9 m，B、C之間的動摩擦因數(shù)為μ，取g＝10 m/s2，下列說法正確的是A.A與B碰撞后瞬間，B的速度大小為5 m/sB.A與B碰撞后瞬間，B的速度大小為6 m/sC.C與B左側(cè)的擋板相撞后的一小段時間內(nèi)，C對B摩擦力的沖量水平向左D.μ＝0.75
C與B左側(cè)的擋板相撞后的一小段時間內(nèi)，C的速度大于B的速度，C對B的摩擦力水平向右，此時C對B摩擦力的沖量水平向右，故C錯誤；
4.如圖所示，一質(zhì)量m1＝0.45 kg的平板小車靜止在光滑的水平軌道上。車頂右端放一質(zhì)量m2＝0.5 kg的小物塊，小物塊可視為質(zhì)點，小物塊與小車上表面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5?，F(xiàn)有一質(zhì)量m0＝0.05 kg的子彈以v0＝100 m/s的水平速度射中小車左端，并留在小車中，子彈與小車相互作用時間很短。g取10 m/s2，求：(1)子彈剛射入小車后，小車的速度大小v1；
子彈射入小車的過程中，子彈與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，代入數(shù)據(jù)解得v1＝10 m/s。
(2)要使小物塊不脫離小車，小車的長度至少為多少。
5.(多選)如圖所示，長為L、質(zhì)量為M的木塊靜止在光滑水平面上。質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入木塊并從中射出。已知從子彈射入到射出木塊的時間內(nèi)木塊移動的距離為s，子彈穿過木塊后子彈和木塊的速度分別為v1和v2，假設(shè)子彈穿過木塊的過程子彈所受阻力恒定，則下列說法正確的是A.木塊移動的距離s一定小于木塊長度LB.木塊質(zhì)量M越大，木塊速度v2越大C.木塊質(zhì)量M越大，子彈射出速度v1越大D.子彈的初速度v0越大，木塊位移s越小，該過程產(chǎn)生的熱量越少
由圖甲可知，L(深色梯形面積)一定大于s(淺色三角形面積)，故A正確；木塊的質(zhì)量M越大，a2越小，由圖乙可知，穿透時間越短，子彈射出速度v1越大，木塊速度v2越小，故B錯誤，C正確；子彈的初速度v0越大，由圖丙可知木塊位移s越小，但系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為FfL保持不變，故D錯誤。
6.(2023·安徽省安慶、池州、銅陵三市聯(lián)考)如圖所示，光滑水平地面上并排放置兩塊木板A、B，兩木板間相互接觸但不粘連，現(xiàn)有一小滑塊(可視為質(zhì)點)以水平初速度v0＝4 m/s滑上木板A的左端，滑塊最終恰好沒有離開木板B，已知滑塊的質(zhì)量和A、B兩木板質(zhì)量均相等，A木板長為L1＝2 m，滑塊與兩木板間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2。求：(1)小滑塊剛離開木板A時A和B的速度大??；
根據(jù)題意，設(shè)滑塊剛離開A時的速度為v1，此時A、B速度相等為v2，滑塊沖上A木板至剛離開A木板的過程中，由動量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2由能量守恒定律有
即滑塊剛離開A時，A和B的速度大小為
(2)木板B的長度L2。
根據(jù)題意，滑塊沖上B木板的過程，由動量守恒定律有mv1＋mv2＝2mv3由能量守恒定律有
解得L2＝0.5 m。
7.(2024·廣東省聯(lián)考)如圖所示，緊靠在水平平臺右端的長木板上表面NQ水平且與平臺等高，NQ的長度L＝2 m，長木板的右端為半徑R＝0.1 m的 光滑圓弧，可視為質(zhì)點的滑塊B靜止在長木板的左端。質(zhì)量mA＝1 kg的滑塊A在光滑水平平臺上以初速度v0＝6 m/s向右勻速運動，一段時間后滑塊A與滑塊B發(fā)生彈性碰撞。已知滑塊B的質(zhì)量為mB＝3 kg，與NQ間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1，長木板的下表面光滑，重力加速度g＝10 m/s2。(1)求滑塊A、B碰后瞬間滑塊B的速度大小vB；
對滑塊A、B碰撞過程，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律可得mAv0＝mAvA＋mBvB
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得滑塊A和B碰后滑塊B的速度大小vB＝3 m/s
(2)若滑塊B恰好不能從長木板右端滑離長木板，求長木板的質(zhì)量mC；
滑塊B恰好不能從右端滑離長木板，對應(yīng)的情況是滑塊B剛好滑到圓弧的頂端時，滑塊B與長木板共速，對滑塊B和長木板有mBvB＝(mB＋mC)v
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)可得v＝1 m/s，mC＝6 kg
(3)在滿足(2)的條件下，長木板的最大速度vm及滑塊B最終距Q點的距離Δx。
當(dāng)滑塊B返回至Q點時，長木板的速度最大，設(shè)此時滑塊B的速度為vB′，則有(mB＋mC)v＝mBvB′＋mCvm
設(shè)滑塊B最終沒有滑離長木板，對滑塊B從最高點到與長木板相對靜止的過程，根據(jù)能量守恒定律有mBgR＝μmBgΔx解得Δx＝1 m

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