1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，故所求切線方程為．
故選：A．
2. 已知數(shù)列滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故選:C
3. 若函數(shù)，滿足且，則（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】取，則有，
即，
又因?yàn)?br>所以，
所以，
所以.
故選：C
4. 6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A. 120種B. 90種
C. 60種D. 30種
【答案】C
【解析】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；
然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；
最后剩下的名同學(xué)去丙場館.
故不同的安排方法共有種.
故選：C
5. 若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)無極值，
所以在內(nèi)無變號零點(diǎn)，
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性知，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以或即可，
解得或，故選：C.
6. 已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，若的前項(xiàng)和為，則，則正整數(shù)等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】聯(lián)立可得或，
又因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，
所以，
則公比，
所以，
所以.
故選：B.
7. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，
故，
令，
則在單調(diào)遞增，
，
故.
故選：D.
8. 定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，?br>則，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上為“凹函數(shù)”，所以，
即在上恒成立，則在上恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋?，所以?br>故顯然成立，
當(dāng)，即時(shí)，令，則在上恒成立，
又因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，則在上恒成立，
令，則，
又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以，
綜上：，即.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由，得，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則有，
所以，
所以，
所以，，
，
由，得，
故選：ACD.
10. 在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A. 常數(shù)項(xiàng)是24B. 第4項(xiàng)系數(shù)最大
C. 第3項(xiàng)是D. 所有項(xiàng)的系數(shù)的和為1
【答案】AD
【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為；
令可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，A正確；
由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)，第4項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，故B錯誤；
第3項(xiàng)是，所以第三項(xiàng)為24，故C錯誤；
令可得所有項(xiàng)的系數(shù)的和為1，故D正確.
故選：AD.
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 甲?乙?丙?丁4人站成一排，甲不在最左端，則共有種排法
B. 3名男生和4名女生站成一排，則3名男生相鄰的排法共有種
C. 3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種
D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有1296種
【答案】ACD
【解析】對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余3個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；
對于B：3名男生相鄰，有種排法，和剩余4名女生排列，相當(dāng)于5人作排列，有種排法，
所以共有種排法，故B錯誤；
對于C：先排4名女生，共有種排法，且形成5個空位，再排3名男生，共有種排法，
所以共有種排法，故C正確；
對于D：由C選項(xiàng)可得3名男生和4名女生站成一排，則3名男生互不相鄰的排法共有種排法，
若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，
所以3名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296種，故D正確.
故選：ACD
12. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A. 當(dāng)時(shí)，
B. 函數(shù)在上有且僅有三個零點(diǎn)
C. 若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. ，
【答案】BD
【解析】令，則，所以，
得，所以選項(xiàng)A錯誤；
觀察在時(shí)的圖象，令，得，
可知在上單調(diào)遞減，在上遞增，且在上，，在上，，由此可判斷在僅有一個零點(diǎn)，由函數(shù)的對稱性可知在上也有一個零點(diǎn)，又因?yàn)?，故該函?shù)有三個零點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；
由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，所以選項(xiàng)C錯誤；
由圖可知，的值域?yàn)?，所以對，恒成立，所以選項(xiàng)D正確.
故選：BD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 數(shù)列滿足，，則___________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
，
，
，
，
累加得：
故答案為：.
14. 的展開式中的系數(shù)為___________．
【答案】
【解析】的展開式通項(xiàng)公式，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：7
15. 某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種（用數(shù)字作答）．
【答案】64
【解析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當(dāng)從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
16. 已知偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，，則不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】令，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增．
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以是奇函數(shù)．
因?yàn)椋?br>所以．
；
不等式等價(jià)于，所以或，
解得或．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，且．
（1）求的值；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求的值．
解：（1）∵的展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，
∴，
故展開式中第三項(xiàng)為：，
所以；
（2）∵，
∴第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）因?yàn)椋?br>∴，
令，可得.
18. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，___．在①；②成等比數(shù)列；③，其中是數(shù)列}的前n項(xiàng)和．在這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在橫線中，并進(jìn)行解答．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計(jì)分，
解：（1）若選擇①：設(shè)的公差為d，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以；
若選擇②：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
所以，
又，
所以，
又，設(shè)的公差為，
所以，
解得，
所以；
若選擇③：設(shè)的公差為d，
因?yàn)椋?
所以，
又，
即，
解得，
所以；
（2）由題知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19. 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；
（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．
解：（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元
∴蓄水池的總建造成本為元
所以即
∴
∴
又由可得
故函數(shù)的定義域?yàn)?br>（2）由（1）中，
可得（）
令，則
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)
當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)
所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大
考點(diǎn)：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).
20. 設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
解：（1）由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，
解得；
（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)
由（1）知，，
其定義域?yàn)椋?br>要證，即證，即證．
（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．
令，因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，
由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．
綜合（?。áⅲ┯校?br>[方法二] 【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)
由（1）得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，故；
綜上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明
令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．
（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，
即，所以．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)且時(shí)，，
即．
21. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足：，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足.
①求數(shù)列的前項(xiàng)和；
②若對于一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，
即；
又，，
數(shù)列自第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為，此時(shí)；
經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足，.
（2）①由（1）得：，則；
當(dāng)時(shí)，，，
，
；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，
又，，即；
，即，解得：或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
解：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，
故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.

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