一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9. ACD 10. AD 11. ACD 12. BD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. n2-n
14．7
15.64
16.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17. 【解析】（1）的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為． 2分
展開(kāi)式中第三項(xiàng)為：，
所以． 4分
（2）
第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， 6分
8分
（3），
， 10分
令，可得 12分
18.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的公差為d，選擇①，結(jié)合等差數(shù)列求和公式列方程求，由此可得的通項(xiàng)公式；選擇②，由條件結(jié)合等比中項(xiàng)列方程求，由此可得的通項(xiàng)公式；選擇③，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式列方程求，由此可得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1），利用組合求和法，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
【小問(wèn)1詳解】
若選擇①：設(shè)的公差為d，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，
所以；
若選擇②：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
所以，
又，所以，
又，設(shè)的公差為，
所以，解得，
所以；
若選擇③：設(shè)的公差為d，
因?yàn)椋?
所以，又，
即，
解得，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由題知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19. 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5）
（2）見(jiàn)解析
【解析】
【詳解】試題分析：（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計(jì)算公式計(jì)算出側(cè)面積及底面積，進(jìn)而得出總造價(jià)，依條件得等式，從中算出，進(jìn)而可計(jì)算，再由可得；（2）通過(guò)求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出取得最大值時(shí)的值.
（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元
∴蓄水池的總建造成本為元
所以即
∴
∴
又由可得
故函數(shù)的定義域?yàn)?br>（2）由（1）中，
可得（）
令，則
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)
當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)
所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大
考點(diǎn)：1.函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).
20．
【答案】；證明見(jiàn)詳解
解析：(1)由，，
又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；
(2)由(1)得，，且，
當(dāng) 時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
同理，當(dāng)時(shí)，要證，， ，即證，化簡(jiǎn)得；
令，再令，則，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；
當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；
綜上所述，在恒成立
【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問(wèn)解法并不唯一，分類(lèi)討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問(wèn)題．
【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第20題
21.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用與關(guān)系可證得數(shù)列自第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得此時(shí)，驗(yàn)證可知數(shù)列為分段數(shù)列，由此可得通項(xiàng)公式；
（2）①由（1）可得，當(dāng)時(shí)，采用錯(cuò)位相減法可求得，驗(yàn)證可知滿(mǎn)足的表達(dá)式，由此可得結(jié)論；
②采用作差法可確定數(shù)列的單調(diào)性，得到，由此可構(gòu)造不等式求得范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，
即；
又，，
數(shù)列自第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為，此時(shí)；
經(jīng)檢驗(yàn)：不滿(mǎn)足，.
（2）①由（1）得：，則；
當(dāng)時(shí)，，，
，
；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿(mǎn)足，；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，
又，，即；
，即，解得：或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)2詳解】
方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.

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