1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函數(shù)求導(dǎo)得，.
故選：A．
2. 是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】C
【解析】由，，
可得且，即且，
所以.
故選：C.
3. 函數(shù)圖象如圖所示，下列關(guān)系正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意的幾何意義為在點(diǎn)B處切線的斜率，
的幾何意義為在點(diǎn)A處切線的斜率，
，其幾何意義為割線AB的斜率，
則有．
故選：C
4. 在一組樣本數(shù)據(jù)，，…，（，，，…，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ）
A. -1B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)檫@組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)都在直線上，
所以這組樣本數(shù)據(jù)完全負(fù)相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是-1．
故選：A．
5. 已知數(shù)列為等比數(shù)列， ，則 （ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比，
所以，又，
所以
，解得，
又，而恒成立，
所以，則，故.
故選：C.
6. 若正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（ ）
A. 22B. 24C. 26D. 28
【答案】B
【解析】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，
可得，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：B.
7. 剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款a元購買一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過勤工儉學(xué)來分期還款．小明與銀行約定：每個(gè)月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為t．則小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為（ ）元．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為元，
根據(jù)等額本息還款法得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為：，
第二個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)為：；
．．．，
第12個(gè)月末所欠銀行貸款為：
；
由于分12次還清所有的欠款，所以，
解得.
故選：D．
8. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：已知正整數(shù)p（p＞1）滿足二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩一，將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（ ）
A. 16B. 22C. 23D. 25
【答案】B
【解析】因?yàn)槎?shù)之剩一的數(shù)為的形式，三三數(shù)之剩一的數(shù)為的形式，其中，
則數(shù)列的項(xiàng)即為以上兩類數(shù)的公共項(xiàng)，即為的形式，，
即，
因，故數(shù)列是等差數(shù)列，
于是，，
則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
即時(shí)，取得最小值22.
故選：B．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列
B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C. 數(shù)列是等比數(shù)列
D. 數(shù)列是等比數(shù)列
【答案】AC
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋裕?
對(duì)于A，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為正項(xiàng)常數(shù)列，此時(shí)，所以數(shù)列不等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10. 小明研究函數(shù)的圖象與導(dǎo)函數(shù)，經(jīng)查閱資料，發(fā)現(xiàn)具有下面的性質(zhì)：若函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，且在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為．若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”．請(qǐng)你根據(jù)以上信息和所學(xué)知識(shí)，判斷以下函數(shù)在其定義域上是“凹函數(shù)”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，，其導(dǎo)數(shù)，
則有，不符合“凹函數(shù)”的定義，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，定義域?yàn)镽，其導(dǎo)數(shù)，
則，在定義域R上不恒成立，不符合“凹函數(shù)”的定義，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，定義域?yàn)镽，其導(dǎo)數(shù)，
則有在R上恒成立，符合“凹函數(shù)”的定義，故C正確；
對(duì)于D，，定義域?yàn)?，其?dǎo)數(shù)，則有在上恒成立，符合“凹函數(shù)”的定義，故D正確．
故選：CD．
11. 已知等差數(shù)列的公差，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
由得：，，又，；
對(duì)于A，，
設(shè)，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
，B正確；
對(duì)于C，由得：，，
即，
又，，
，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，，
，即，C正確；
對(duì)于D，由得：，，
即，又，，
；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，
，
，即，D正確.
故選：BCD.
12. 設(shè)數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，為公比，為前項(xiàng)的積，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 與均為的最大值
【答案】ABD
【解析】為正項(xiàng)等比數(shù)列，，，；
對(duì)于A，，，
，，，又，
，A正確；
對(duì)于B，，，B正確；
對(duì)于C，，
又，，，即，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，
當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；又，
當(dāng)或時(shí)，取得最大值，即與均為的最大值，D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）
13. 已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為____________________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，即，
則的一個(gè)通項(xiàng)公式為，
故答案為：
14. 已知，則______，
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，則.
故答案為：.
15. 垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措．某小區(qū)為了倡導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾（千克）所需的費(fèi)用（角）的情況作了調(diào)研，并統(tǒng)計(jì)得到表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則下列正確說法的序號(hào)是_____．
①變量之間呈正相關(guān)關(guān)系；
②可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，值為6.88；
③表中的值為3.9；
④樣本中心點(diǎn)為．
【答案】①②④
【解析】對(duì)于①中，由關(guān)于的線性回歸方程為，
可得，
所以變量之間呈正相關(guān)關(guān)系，所以①正確；
對(duì)于②中，由關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，可得，所以②正確；
對(duì)于③中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，，
可得，解得，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④中，由，，即樣本中心點(diǎn)為，所以④正確.
故答案為：①②④.
16. 已知數(shù)列滿足，且前12項(xiàng)和為134，則_____．
【答案】1
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
即，
，
可得；
當(dāng)n為偶數(shù)，
即，
可得，
則前12項(xiàng)和為，解得．
故答案為：1
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知曲線．
（1）求與直線平行，且與曲線相切的直線方程；
（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的取值范圍．
解：（1），，
令，解得：；
當(dāng)時(shí)，，切線方程為：，即；
當(dāng)時(shí)，，切線方程為：，即；
綜上所述：所求直線方程為或.
（2）由（1）知：，，
又，.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，適合上式，
故，
所以時(shí)，，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
（2），
當(dāng)時(shí)，，則
當(dāng)時(shí)，
，
故.
19. 已知公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且，_____．
現(xiàn)有條件：；；．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解決下面問題．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
選條件，可得，，
又，解得，所以；
選條件可得，，
又，解得（舍去），所以；
選條件可得，，
又，
解得，所以.
（2），
所以
＝．
20. 為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間x（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績y（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
表一
（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)求出線性回歸方程，并由此預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績．（參考數(shù)據(jù)：，，的方差為200）
（2）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末自主學(xué)習(xí)．經(jīng)過一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生．按照是否參與周末自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進(jìn)步進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到2×2列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)．
表二
附：，，
解：（1），
，又的方差為，
所以，
，故，
當(dāng)時(shí)，，
故預(yù)測(cè)每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40；
（2）零假設(shè)為H0：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)，
根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：
，
∵，
∴依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)．
21. 設(shè)函數(shù)，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)圖象于點(diǎn)，以為切點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線交軸于點(diǎn)，再過作軸的垂線交函數(shù)圖象于點(diǎn)，，以此類推得點(diǎn)，記的橫坐標(biāo)為，．
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，記（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）函數(shù)，，
以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為：，
當(dāng)時(shí)，，即，
又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列,.
（2）由題意得：，
，
…①，
則…②，
①②得：，
.
22. 在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2．設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為．
（1）求；
（2）若，求n的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出滿足的條件；若不存在，說明理由．
解：（1）原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)；
經(jīng)第2次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)；
（2）數(shù)列的每一次“和擴(kuò)充”是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，
設(shè)數(shù)列經(jīng)第n次“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)為，則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，
則，則，
由（1）得，則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
則，即，
由可得，因，解得，
所以n的最小值為10；
（3）設(shè)第次“和擴(kuò)充”后數(shù)列的各項(xiàng)為，
所以，
因?yàn)閿?shù)列每一次“和擴(kuò)充”是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加這兩項(xiàng)的和，
所以，
即，
所以，
即有（*），
因，
則，
由（*）知，要使數(shù)列為等比數(shù)列，需使(Ⅰ)，
或(Ⅱ) ，
由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且.
故存在滿足條件為，且，或，且.
2
3
4
5
2
2.3
3.4
編號(hào)
1
2
3
4
5
學(xué)習(xí)時(shí)間x
30
40
50
60
70
數(shù)學(xué)成績y
65
78
85
99
108
沒有進(jìn)步
有進(jìn)步
合計(jì)
參與周末自主學(xué)習(xí)
35
130
165
末參與周末自主學(xué)習(xí)
25
30
55
合計(jì)
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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