注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第一章到第六章.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線和互相垂直,則實數(shù)（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】因為，所以，解得.故選：C.
2. 若直線一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】由，，得，因此，即，
所以或.
故選：D
3. 展開式中項系數(shù)為項系數(shù)為，則（ ）
A. 0B. 24C. 35D. 64
【答案】C
【解析】二項式的展開式的通項，
當(dāng)時，的系數(shù)為，
當(dāng)時，的系數(shù)為，
所以.
故選：C.
4. 2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽冠軍戰(zhàn)在黔東南州臺江縣臺盤村打響.主辦方舉辦了一場扣籃表演，由獲得冠軍的球隊派出甲?乙?丙?丁4個球員參加扣籃表演，則甲不在第一位也不在最后一位出場的情況有（ ）
A. 12種B. 24種C. 36種D. 72種
【答案】A
【解析】由題意，甲在第二?三位選一個位置有種，其他三人在剩下的三個位置上進行全排列有種，
所以甲不在第一位且不在最后一位出場共有種情況.
故選：A
5. 如圖1，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域,具有結(jié)構(gòu)簡單?方向性強?工作頻帶寬等特點.圖2是圖1的軸截面,兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點，是饋源的方向角，記為，若，則到該拋物線頂點的距離為（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為，
則，即，
所以，解得（舍去）或，則到頂點的距離為3.
故選：B
6. 為了檢測自動包裝線生產(chǎn)的罐裝咖啡，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取罐咖啡，并測量其質(zhì)量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素,任意抽取的1罐咖啡的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間存在一定的誤差,已知這條包裝線在正常狀態(tài)下,每罐咖啡的質(zhì)量服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示每天抽取的罐咖啡中質(zhì)量在之外的罐數(shù),若的數(shù)學(xué)期望，則的最小值為（ ）
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】因為，
所以，
故，
所以，
解得，
因為，故的最小值為11.
故選：B.
7. 醫(yī)學(xué)上用血清甲胎球蛋白法診斷某種疾病，研究表明，這種診斷方法是可能存有誤差的，且這種疾病在自然人群中的發(fā)病率僅為1%.已知患有該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗結(jié)果呈陽性.現(xiàn)有某人的化驗結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】記事件A：某人患病.事件B：化驗結(jié)果呈陽性.
由題意可知，
所以，.
現(xiàn)在某人的化驗結(jié)果呈陽性，
則他真的患該疾病的概率是.
故選：C.
8. 已知雙曲線的左?右焦點分別為.過的直線交雙曲線右支于兩點，且，則的離心率為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】由已知可設(shè)，則，
故，
由雙曲線的定義有，故，，
故，
在中，由余弦定理得
.
在中，由余弦定理得，
即，
解得，
即，故的離心率為2.
故選：A
二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知的分布列為
則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】對于A，由分布列的性質(zhì)可得，解得，
則，A正確；
對于B，，B正確；
對于C，，C錯誤；
對于D，當(dāng)或時，，
所以，，D正確.
故選：ABD.
10. 已知直線，雙曲線，則（ ）
A. 當(dāng)時，與只有一個交點
B. 當(dāng)時，與只有一個交點
C. 當(dāng)時，與的左支有兩個交點
D. 當(dāng)時，與的左支有兩個交點
【答案】ABD
【解析】由題意直線過定點，即雙曲線的左焦點.
當(dāng)時，與的漸近線平行，與只有一個交點，
當(dāng)時，與的左支和右支各有一個交點，
當(dāng)時，與的左支有兩個交點.
故選：ABD.
11. 在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為線段上的一個動點，則（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 存在點，使得平面平面
C. 當(dāng)時，直線與所成角的余弦值為
D. 當(dāng)為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】對于A項，

因為平面平面，平面，
所以平面，所以點到平面的距離為定值，
又， 的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故A項正確；

建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，
，
對于B項，，，,
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為，
由，令，可得．
設(shè)平面的法向量為，
由，令，可得．
若平面平面，則，
解得，故B項正確；
對于C項，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，
當(dāng)時，
．
設(shè)直線與所成的角為，
則，
即直線與所成角的余弦值為，故C項錯誤；
對于D項，如下圖，當(dāng)為的中點時，．

設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，
則，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為，故D項正確．
故選：ABD.
12. 已知拋物線，點在上，過點的直線與相交于兩點，直線的斜率分別為，則（ ）
A.
B.
C. 的取值范圍為
D. 的取值范圍為
【答案】BC
【解析】將代入，得．設(shè)，
直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去得．
由，得或，所以，
則．
因為，
所以．
又因為，
且或，
所以．
故選：BC.
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分；共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 已知向量與共線，則__________.
【答案】15
【解析】由，得，解得.
故答案為：15
14. 某冬令營計劃利用寒假開設(shè)甲?乙等六門體驗課程，每天一門，連續(xù)開設(shè)六天，若課程甲?乙排在不相鄰的兩天，則不同的排法種數(shù)有__________.
【答案】480
【解析】先排甲?乙以外的四門體驗課程，此時有種
再用插空法排甲?乙兩門體驗課程，此時有種
則不同的排法共有種.
故答案為：.
15. 某觀光旅游團計劃在春節(jié)期間，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六個小鎮(zhèn)游覽，每個小鎮(zhèn)游覽一天，連續(xù)游覽六天.若小鎮(zhèn)甲不排在首末兩天，乙、丙、丁三個小鎮(zhèn)排在相鄰的三天，則不同的游覽順序方案共有__________種.
【答案】72
【解析】分步：
第一步，把乙、丙、丁三個小鎮(zhèn)捆綁，看成一個元素，三個小鎮(zhèn)的游覽順序有種方案；
第二步，將該整體與其他三個小鎮(zhèn)作為4個元素，依次對應(yīng)4個游覽位置進行安排，中間2個位置選一個作為小鎮(zhèn)甲的游覽有種方案；
第三步，剩余三個元素進行全排有種方案.
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的游覽順序方案共有種.故答案為：72.
16. 已知，直線為上的動點.過點作的切線,切點分別為,當(dāng)最小時，點的坐標(biāo)為__________，直線的方程為__________.
【答案】;
【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，

由題意可知，則，
所以當(dāng)最小時，最小，此時與直線垂直，
所以直線的方程為，即.
聯(lián)立，解得，
所以點的坐標(biāo)為，.
在Rt中，，同理.
以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，

的方程為，即，
兩圓方程相減得，即直線的方程為.
故答案：；
四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知直線過定點A.
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時，與的交點為，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：（1）可化為，
令，得，
所以，直線過定點.
（2）當(dāng)時，，
聯(lián)立方程組，解得，
即.
因為，所以線段的中點，即圓心的坐標(biāo)為，
所以，，
故以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
18. 中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙.為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高.
（1）從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；
（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲~50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望.
解：（1）由表格可知，成績在的人數(shù)為，
所以，抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為.
（2）根據(jù)表格可知，41歲~50歲年齡段中，成績在內(nèi)的人數(shù)為，
成績在內(nèi)的人數(shù)為，
則隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.
由題意可知，的可能取值為，
則，，
，，
故的分布列為
的數(shù)學(xué)期望.
19. 已知直四棱柱的底面是菱形，且
，分別是側(cè)棱的中點．

（1）證明：四邊形為菱形．
（2）求點到平面的距離．
解：（1）取的中點，連接,
因為底面是菱形且，所以為等邊三角形，
所以，
又，所以，
易知兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，

可得，．
證明：由上可得，
所以，且，
所以四邊形為菱形．
（2）設(shè)平面的法向量為，因為，
所以，即，取，得．
又，
所以點到平面的距離．
20. 某商場舉行抽獎活動，準(zhǔn)備了甲?乙兩個箱子，甲箱內(nèi)有2個黑球?4個白球，乙箱內(nèi)有4個紅球?6個黃球.每位顧客可參與一次抽獎，先從甲箱中摸出一個球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出兩個球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一個球.摸出一個紅球可獲得90元獎金，摸出兩個紅球可獲得180元獎金.
（1）求某顧客摸出紅球的概率；
（2）設(shè)某家庭四人均參與了抽獎，他們獲得的獎金總數(shù)為元，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望.
解：（1）設(shè)“從甲箱中摸出黑球”，“從甲箱中摸出白球”，“從乙箱中摸出紅球”，“某顧客摸出紅球”，則.
因為，
所以.
（2）設(shè)該家庭每個人獲得的獎金為元，則的取值可能為，
則，
，
，
所以隨機變量的分布列為
（元）.
又因為，所以（元）.
21. 在四面體中，分別是和的中點.

（1）證明：平面平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）因為是的中點，所以.
又是的中點，所以.
因為，所以.
又，平面.
所以平面.
因為平面，
所以平面平面.
（2）在平面內(nèi)作，交于點.
以為原點分別以的方向為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為，所以在平面內(nèi)，.
作，垂足為，作，垂足為，
則平面，所以.
因為是邊長為2的正三角形，所以為的中點，且，
可得，
所以.
由（1）知平面的一個法向量為，
所以可取平面的一個法向量為.
因為，所以.
設(shè)直線與平面所成角為，則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
22. 已知橢圓經(jīng)過點和．
（1）求的方程；
（2）若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標(biāo)．
解：（1）由題意得，把點的坐標(biāo)代入，得，
解得，
所以橢圓的方程為．
（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組
消去得，可得，
解得，所以點的坐標(biāo)為．
因為，所以直線的斜率為，同理可得點．
當(dāng)時，有，解得，直線的方程為．
當(dāng)時，直線的斜率
，
則直線的方程為，
即
，
即，直線過定點．
又當(dāng)時，直線也過點．
綜上，直線過定點．
（方法二）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去得，
，即．
設(shè)，則，
．
因為，所以，
即，
，
，
化簡得，
解得或，
所以直線的方程為或（過點A,不合題意，舍去），
所以直線過定點．
當(dāng)直線垂直于軸時，設(shè)它方程為，
因為，所以．
又，
解得或（過點A,不合題意，舍去），
所以此時直線的方程為，也過點．
綜上，直線過定點．
-1
0
1
0
1
2
3
0
90
180

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