一、單選題（每題5分 共40分）
1. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】D
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，
所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
又，
所以，
則.
故選:D.
2. 已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn),則“直線l的斜率為”是“直線l與圓C：相切”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題，圓是圓心為，半徑為的圓，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，
此時(shí)圓心到直線距離為1，不等于半徑，與圓不相切不符合；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，化為一般式即，
則圓心到直線距離為，
解得,
所以“直線的斜率為”是“直線與圓相切”的充要條件,
故選：C.
3. 已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，，，則的離心率為（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】B
【解析】如圖所示，雙曲線的右焦點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
連接，,
因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，則，可得，
又因?yàn)?，所以?br>則，，可得，
所以的離心率為．
故選：B.
4. 已知直線：和曲線：有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
曲線：化簡(jiǎn)即為：，
如圖所示：
由圖可知，若直線與曲線有交點(diǎn)，則直線介于與之間即可，
由圓心到直線的距離等于半徑得：
，整理得：，
解得：或（舍），
同理，由圓心到直線的距離等于半徑得：
，整理得：，解得：（舍）或，
所以.
故選：C
5. 已知矩形為平面外一點(diǎn)，且平面，分別為上的點(diǎn)，，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以
，
故，故.
故選：B
6. 已知點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上異于P，Q的一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，,且，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，
則有，又點(diǎn)都在橢圓上，
，
，，
又，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接如下圖：
因?yàn)樵c(diǎn)O平分線段PQ和，
所以四邊形是平行四邊形，
依題意，設(shè)，則，又，，在中，
由余弦定理得，
；
故選：B.
7. 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、為線段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，
因?yàn)?、為線段上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
所以，
易知，平面，平面，
所以平面，則，
同理可證，又平面，平面，，
則平面，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，
則，
所以在平面內(nèi)，則，
所以，
所以平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，

如圖，在正三角形中，為中心，圓的半徑為，即，
，
所以在直角三角形中，
則，
所以三個(gè)虛線弧圓心角弧度數(shù)為，
則三個(gè)實(shí)線弧圓心角弧度數(shù)為，
所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.
故選：B
8. 已知橢圓，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn)，則P點(diǎn)到直線：的距離的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線為，
聯(lián)立方程，消元可得
令，解得，
當(dāng)時(shí)，橢圓切線方程為，直線與切線距離為，
當(dāng)時(shí)，橢圓切線方程為，直線與切線距離為，
即直線與切線的最大最小距離分別為,
又當(dāng)時(shí)，，即直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn)，
則橢圓上任一點(diǎn)P到直線：的距離的取值范圍為.
故選：B
二、多選題（每題5分 共20分）
9. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，
，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，?br>且，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，
，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線過(guò)定點(diǎn)B. 若，則
C. 的最小值為D. 的面積的最大值為2
【答案】ABD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：將直線整理為：，
令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：由題意知，，則直線的斜率為，
若，則直線即直線的斜率為，解得：，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)直線與垂直時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的面積的最大值為2，故選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
11. 已知曲線，其中，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 方程表示的曲線是橢圓或雙曲線
B. 若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和
C. 若，則曲線的離心率
D. 若方程表示的曲線是雙曲線，則其焦距的最小值為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線，表示直線或，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，可知曲線為焦點(diǎn)為和的橢圓，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，
因?yàn)?，可得曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
，，則，
所以離心率，因?yàn)椋?br>所以，
故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，若方程表示的曲線是雙曲線，因?yàn)榍€方程為，
所以，即，故，
所以，，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，故，所以，
故焦距，所以其焦距的最小值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
12. 如圖,在正方體中,點(diǎn)滿(mǎn)足，且.記與所成角為與平面所成角為，則（ ）
A. 若，三棱錐的體積為定值
B. 若，存在，使得平面
C.
D. 若，則在側(cè)面內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，
根據(jù)平面向量基本定理知，則在上，則，
平面，平面，則平面，
則到平面的距離為定值，又的面積為定值，
因此四面體的體積為定值，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，取，則F為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，
令，則為的中點(diǎn)，連接，
顯然平面，平面，則平面，
而，同理平面，又平面，
因此平面平面，又平面，所以平面，B正確；
對(duì)于C，過(guò)作交于，連接，由平面，
得平面，
而平面，有，
顯然是與平面所成的角，即，
由，得是與所成的角，即，所以，C正確；
對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，
，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，
設(shè)，，
則，
于是始終為銳角，D錯(cuò)誤.

故選：ABC
三、填空題（每題5分 共20分）
13. 展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】對(duì)于，其展開(kāi)式的通式為，
則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為
故答案為：.
14. 已知點(diǎn)P為圓：上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓：上任一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______.
【答案】1
【解析】由題知圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，
圓：可改寫(xiě)成，即圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，易知，，所以?xún)蓤A的位置關(guān)系為內(nèi)含，
所以的最小值為．故答案為：1
15. 如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，則長(zhǎng)度為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)?
所以
所以.
故答案為：.
16. 蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫做“蒙日?qǐng)A”，已知點(diǎn)A、B為橢圓（）上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)，可知橢圓C的離心率的取值范圍為_(kāi)_____
【答案】
【解析】依題意，直線都與橢圓相切，
因此直線所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，
由點(diǎn)A、B為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足為銳角，得點(diǎn)在圓外，
又動(dòng)點(diǎn)P在直線上，因此直線與圓相離，
于是，解得，則，解得，
所以橢圓C的離心率的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題（共70分）
17. 已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn)．
（1）求圓的方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．
解：（1）因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，
又因?yàn)閳A的圓心在直線上，
由，解得，即，圓的半徑，
所以，圓的方程為．
（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
即．
因?yàn)閳A心為，所以圓心到直線的距離為，
整理可得，解得，
所以，直線的方程為．
綜上所述，直線的方程為或.
18. 根據(jù)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，六年級(jí)男生和女生一分鐘跳繩等級(jí)如下（單位：次）.
從某學(xué)校六年級(jí)男生和女生中各隨機(jī)抽取名進(jìn)行一分鐘跳繩測(cè)試，將他們的成績(jī)整理如下：
（1）從這名男生中任取名，求取到的名男生成績(jī)都優(yōu)秀的概率；
（2）若以成績(jī)優(yōu)秀的頻率代替成績(jī)優(yōu)秀的概率，且每名同學(xué)的測(cè)試相互獨(dú)立.從該校全體六年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名男生和名女生，設(shè)為這名學(xué)生中一分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求的概率分布與期望.
解：（1）由題意知，名男生中一分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀的有名，
記“抽到的名男生成績(jī)都優(yōu)秀”為事件，則.
（2）由題意知，從該校六年級(jí)學(xué)生中任取一名男生，一分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀的概率為；
任取一名女生，一分鐘跳繩成績(jī)優(yōu)秀的概率為.
的可能取值有、、、，則，
，
，
，
所以的概率分布為
所以，.
19. 已知的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．
（1）求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).
解：（1）因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，
令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為，
所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為27.
（2）由（1）知，，從而，
因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，
所以的常數(shù)項(xiàng)為，
又的常數(shù)項(xiàng)為，
所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
20. 如圖,在四棱錐中,平面，點(diǎn)是的重心.

（1）求證：平面平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.
解：（1）在四棱錐中，平面平面，則，
而平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取中點(diǎn)為，連接，，
則，
即四邊形為矩形，則，
又平面平面，
顯然兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，
由點(diǎn)是的重心，得，則，
又，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，設(shè)與平面所成角為，
，
化簡(jiǎn)得，
解得或，即或，所以的長(zhǎng)度為或.
21. 已知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長(zhǎng)為為雙曲線上任意一點(diǎn)．
（1）求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；
（2）若雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，求的最小值．
解：（1）由題意可得，解得，
因此，雙曲線的方程為
設(shè)，則，漸近線為，
P到兩條漸近線的距離之積.
（2）由已知，得，，設(shè)或，
在雙曲線上，所以，
因此
或，
對(duì)稱(chēng)軸為，由于或，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
22. 已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，.
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線，交于點(diǎn)M，N，求證：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
解：（1）由已知可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線方程為，
聯(lián)立，消得，
恒成立，
設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，
則，所以，
所以拋物線的方程為；
（2）由（1）得，
依題意可設(shè)直線，
聯(lián)立，消得，
恒成立，
則，，
又，，
令，則，即，
同理可得，
設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，
因?yàn)闉橹睆?，所以?br>所以，即，
整理可得，，
令，可得或，
所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為或.
一分鐘跳繩等級(jí)
六年級(jí)男生
六年級(jí)女生
優(yōu)秀
及以上
及以上
良好
及格
不及格
及以下
及以下
男生/次
女生/次

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