命題人：高二數(shù)學(xué)備課組 審題人：高二數(shù)學(xué)備課組
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
3.已知空間向量，且與垂直，則等于（ ）
A.4 B.1 C.3 D.2
4.“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.若實(shí)數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（ ）
A.離心率相等 B.焦距相等
C.實(shí)軸長(zhǎng)相等 D.虛軸長(zhǎng)相等
6.已知橢圓為兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B.4 C.6 D.
8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，當(dāng)時(shí)，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B.若，則直線的傾斜角為
C.若直線過(guò)點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過(guò)點(diǎn)
D.直線的縱截距為
10.已知點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.點(diǎn)的坐標(biāo)為
C.直線與拋物線相切 D.
11.已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是底面正方形內(nèi)及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)），已知為中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.無(wú)論在何位置，為異面直線
B.若是棱中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C.存在唯一的位置，使平面
D.AP與平面所成角的正弦最大值為
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.兩條平行直線與之間的距離是__________.
13.若圓與圓相內(nèi)切，則__________.
14.已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）分別求出適合下列條件的方程：
（1）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程；
（2）已知圓C的圓心在軸上，并且過(guò)原點(diǎn)和，求圓C的方程.
16.（15分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角A；
（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).
17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是等邊三角形，平面分別是的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求證：（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為定值.
19.（17分）已知雙曲線，左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
（1）若離心率時(shí)，求的值；
（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍.
南寧三中2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高二月考（二）
數(shù)學(xué)試題參考答案
1.B 【詳解】，所以.
2.B 【詳解】，故的虛部為，
3.A 【詳解】因?yàn)榭臻g向量，且與垂直，
則，解得.
4.A 【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
5.B 【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以曲線與曲線都是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點(diǎn)和焦距都相同，故B正確；因?yàn)椋噪x心率不相等，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋詫?shí)軸長(zhǎng)不相等，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以虛軸長(zhǎng)不相等，故D錯(cuò)誤.
6.C 【詳解】由題意，所以，因?yàn)?，所以，而，所以，所?
7.D 【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
而直線的方程為，由可得，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的最小值為.
8.A 【詳解】設(shè)，則；
由點(diǎn)在上，則有，即，所以
又，所以，則；
如圖，由焦點(diǎn)的內(nèi)切圓可得：，
所以；
又，所以，即，
9.BCD 【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，錯(cuò)；
B：由于的橫坐標(biāo)相等，即直線與軸垂直，故傾斜角為，對(duì)；
C：由題設(shè)，直線方程為，顯然在直線上，對(duì)；
D：直線在軸上的截距為對(duì).
10.AC 【詳解】將代入中可得，故A正確，B錯(cuò)誤，
，則方程為，則，故直線與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯(cuò)誤.
11.ABD 【詳解】由于相交，而，因此為異面直線，
A正確，
當(dāng)是棱中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
，
故且，
由于，故，化簡(jiǎn)得，
由于，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為半徑為的圓的，故長(zhǎng)度為，B正確，
設(shè)，則且，
，設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，故，
由于，故，化簡(jiǎn)得，
聯(lián)立，故解不唯一，比如取，則或取，故C錯(cuò)誤，
由于平面平面，故，又四邊形為正方形，所以，
平面，所以平面，
故平面的法向量為，
設(shè)與平面所成角為，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
時(shí)，令，則，
故，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此
時(shí)，由且可得，因此，
由于，故的最大值為，故D正確，故選：ABD
12. 【詳解】直線的方程可化為，且直線的方程為，
所以，平行直線與之間的距離為.
13. 【詳解】由，顯然，
圓相內(nèi)切，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程知，即在圓外部，所以圓內(nèi)切于圓，則有，解之得.
14. 【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，又，
所以
，所以，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
所以兩邊平方得
，所以，即，即，
所以雙曲線的漸近線方程為.
15.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，準(zhǔn)線為，
故，
故拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓C方程：，
由已知，
解得，
圓C方程為.
16.【詳解】（1）因?yàn)?，所?
根據(jù)正弦定理，得，
因?yàn)椋?br>所以.
又，所以
（2）在中，由已知，
因?yàn)?br>由余弦定理可得，
即，
即，又，所以.
所以的周長(zhǎng)周長(zhǎng)為
17.【詳解】（1）證明：是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，
又平面平面，
又平面平面平面.
由（1）得平面，連接，建立以為原點(diǎn)，以所在直線
分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，
則，
，
則，設(shè)平面的法向量為，
則取，則平面的法向量為，
又平面的法向量為，
平面與平面的夾角的余弦值為
.
18.【詳解】（1）根據(jù)題意，.
在橢圓上頂點(diǎn)，此時(shí)
.
所以，
則求橢圓的方程.
（2）如圖所示，設(shè)，
聯(lián)立直線與橢圓的方程得，
.
，
又
，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且，
所以.
綜上，的面積為定值.
19.【詳解】（1）由題意得，則.
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，
因?yàn)闉榈妊切?，則
①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；...
②當(dāng)以為底時(shí)，，
設(shè)，則，聯(lián)立解得或或，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然
以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；
③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，
則有，解得，即.綜上所述：.
（3）由題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，
則，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，聯(lián)立有，
顯然二次項(xiàng)系數(shù)，其中，
①②，
則，因?yàn)樵谥本€上，
則，即，即
，
將①②代入有
即，化簡(jiǎn)得
所以，代入到，得，所以，
且，解得，又因?yàn)?，則，
綜上知，.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
A
A
B
C
D
A
BCD
AC
ABD

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