TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc258" 【考點(diǎn)1 比例的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc258 \h 1
\l "_Tc13452" 【考點(diǎn)2 比例線段】 PAGEREF _Tc13452 \h 2
\l "_Tc26158" 【考點(diǎn)3 黃金分割】 PAGEREF _Tc26158 \h 3
\l "_Tc10422" 【考點(diǎn)4 平行線分線段成比例】 PAGEREF _Tc10422 \h 6
\l "_Tc26185" 【考點(diǎn)5 相似多邊形】 PAGEREF _Tc26185 \h 7
\l "_Tc15292" 【考點(diǎn)6 相似三角形的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc15292 \h 9
\l "_Tc30668" 【考點(diǎn)7 網(wǎng)格中的相似三角形】 PAGEREF _Tc30668 \h 12
\l "_Tc6545" 【考點(diǎn)8 相似三角形中的動點(diǎn)問題】 PAGEREF _Tc6545 \h 13
\l "_Tc20691" 【考點(diǎn)9 相似三角形的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc20691 \h 15
\l "_Tc14858" 【考點(diǎn)10 位似變換】 PAGEREF _Tc14858 \h 17
【要點(diǎn)1 比例的性質(zhì)】
【考點(diǎn)1 比例的性質(zhì)】
【例1】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）一組不為零的數(shù)a，b，c，d，滿足ab=cd，則以下等式不一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)c＝bdB．a(chǎn)+bb＝c+dd
C．a(chǎn)?9b＝c?9dD．a(chǎn)?9ba+9b＝c?9dc+9d
【變式1-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的_________倍．
【變式1-2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）若x,y,z都是正整數(shù)，且3x=4y=5z，則x+y+z的最小值是________．
【變式1-3】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）已知a、b、c、滿足ba+c=ac+b=ca+b=k，從下列四點(diǎn)：① (1,12)；②(2，1)；③ (1,?12)；④(1，﹣1)，中任意取一點(diǎn)恰好在正比例函數(shù)y＝kx圖象上的概率是_______．
【要點(diǎn)2 成比例線段的概念】
1．比例的項(xiàng)：
在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．
2．成比例線段：
四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
【考點(diǎn)2 比例線段】
【例2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考模擬）下列各組線段中，成比例的是（ ）
A．1，2，2，4B．1，2，3，4
C．3，5，9，13D．1，2，2，3
【變式2-1】（2022·湖北武漢·校考一模）在比例尺為1：2000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，則兩地的實(shí)際距離為（ ）
A．600000kmB．6000kmC．600kmD．60km
【變式2-2】（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預(yù)測）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中項(xiàng)，那么b:c等于（ ）
A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4
【變式2-3】（2022·山西·校聯(lián)考二模）定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成三條線段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，則稱MN是線段AB的比例中段，M、N是線段AB的中段分點(diǎn)．
(1)已知點(diǎn)M、N是線段AB的中段分點(diǎn)．
①若AM=2，MN=3，則BN= ；
②在圖1中，若AB=7，MN=2，求AM的長．
(2)如圖2，在ΔABC中，MN是線段AB的比例中段，F(xiàn)、G分別是線段AC、BC延長線上的點(diǎn)，且FG∥AB，MC、NC的延長線分別交線段FG于點(diǎn)P，K．探究PK是否為線段FG的比例中段，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由．.
【要點(diǎn)3 黃金分割】
如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）
【考點(diǎn)3 黃金分割】
【例3】（2022·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)R是正方形ABCD的AB邊上線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AR>RB，S1表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為______．
【變式3-1】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產(chǎn)生視覺上的美感．如圖所示的五角星中，AD＝BC，且C、D兩點(diǎn)都是AB的黃金分割點(diǎn)，若CD＝1，則AB的長是_______________．
【變式3-2】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈________DE.（精確到0.001）

【變式3-3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）（1）數(shù)學(xué)活動一
寬與長的比是5?12的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．在數(shù)學(xué)活動課上，小紅按如下步驟折疊出一個(gè)矩形：
第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABCD，然后把紙片展平；
第二步，如圖②，把這個(gè)正方形ABCD對折成兩個(gè)完全重合的矩形，再把紙片展平；
第三步，如圖③，折出內(nèi)側(cè)矩形EFBC的對角線CF，并把CF折到圖中所示FN處；
第四步，如圖④，展平紙片，按照點(diǎn)N折出NM，得到矩形BNMC．
若AD=2，請證明矩形BNMC是黃金矩形．
（2）數(shù)學(xué)活動二
如圖⑤，點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC?AB，此時(shí)，我們說點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且通過計(jì)算可得BCAB=5?12．小紅發(fā)現(xiàn)還可以從活動一的第三步開始修改折疊方式，如圖⑥，折出右側(cè)矩形EFBC的對角線EB，把AB邊沿BG折疊，使得A點(diǎn)落在對角線BE上的K點(diǎn)處，若AD=2，請通過計(jì)算說明G點(diǎn)是AD的黃金分割點(diǎn)．
【要點(diǎn)4 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【要點(diǎn)5 平行線分線段成比例定理的推論】
平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．

平行線分線段成比例定理的推論的逆定理
若或或，則有EF//BC．
【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點(diǎn)的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．
【小結(jié)】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做 交AC于點(diǎn)，再證明與F重合即可．
【考點(diǎn)4 平行線分線段成比例】
【例4】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC:OC=1:2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式4-2】（2022·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D所示，點(diǎn)O是矩形ABCD對角線AC的中點(diǎn)，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OE=3，BC=8，則OB的長為___________．
【變式4-3】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，延長BA交⊙O于點(diǎn)F．
(1)求證：DE是⊙O的切線
(2)若AEDE=23,AF=10，求⊙O的半徑．
【考點(diǎn)5 相似多邊形】
【例5】（2022·河南·統(tǒng)考三模）取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它進(jìn)行如圖所示的兩次對折后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則ba的值為（ ）
A．22B．12C．24D．14
【變式5-1】（2022·河北·模擬預(yù)測）如圖所示的三個(gè)矩形中，其中相似形是( )
A．甲與乙B．乙與丙C．甲與丙D．以上都不對
【變式5-2】（2022·廣東廣州·廣州市第六十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，若正方形A1B1C1D1內(nèi)接于正方形ABCD的內(nèi)接圓，則A1B1AB的值為（ ）
A．12B．22C．14D．24
【變式5-3】（2022·河北·模擬預(yù)測）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．
對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
兩人都對B．兩人都不對C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對
【要點(diǎn)6 相似三角形的判定】
【要點(diǎn)7 相似三角形的性質(zhì)】
【考點(diǎn)6 相似三角形的判定與性質(zhì)】
【例6】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，BF、DE相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥CD，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長度是（ ）
A．56B．1C．54D．53
【變式6-1】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DEEF的值是______．
【變式6-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）已知正方形ABCD的邊長為4，E為CD上一點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AF，交AF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，N為EF的中點(diǎn)，M為BD上一動點(diǎn)，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=19，則MC+MN的最小值為______．
【變式6-3】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F．
(1)【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時(shí)，求證：AE＝EF；
小明不完整的證明過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整．
(2)【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時(shí)，求AEEF的值（用含k的式子表示）；
(3)【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC的長．
【考點(diǎn)7 網(wǎng)格中的相似三角形】
【例7】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考二模）如圖是由小正方形組成的8×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，先將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CE，再在CE上畫點(diǎn)F，使△BCF∽△BDA；
(2)在圖（2）中，先在邊AB上畫點(diǎn)G，使DG∥BC，再在邊BC上畫點(diǎn)H，使AH＋DH值最?。?br>【變式7-1】（2022·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個(gè)格點(diǎn)△EFG，請按要求畫線段．
(1)在圖1中，過點(diǎn)O畫一條格點(diǎn)線段PQ（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），使點(diǎn)P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．
(2)在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點(diǎn)M，EG上一點(diǎn)N，連結(jié)MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）
【變式7-2】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1小正方形的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，請用無刻度的直尺按要求作圖．（保留畫圖痕跡，不需證明）
（1）如圖①，點(diǎn)P在格點(diǎn)上，在線段AB上找出所有符合條件的點(diǎn)Q，使△APQ和△ABC相似；
（2）如圖②，在AC上作一點(diǎn)M，使以M為圓心，MC為半徑的⊙M與AB相切，并直接寫出此時(shí)⊙M的半徑為 ．
【變式7-3】（2022·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，ΔABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），且點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．
（1）如圖1，在AC邊上找點(diǎn)E，使ΔADE與ΔABC相似；
（2）如圖2，在BC邊上找點(diǎn)F，使ΔDBF與ΔABC相似．
【考點(diǎn)8 相似三角形中的動點(diǎn)問題】
【例8】（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動點(diǎn)E從點(diǎn)M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)F從點(diǎn)N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，其中一點(diǎn)運(yùn)動到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，連接EF，過點(diǎn)B作EF的垂線，垂足為H．在這一運(yùn)動過程中，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長是_____．
【變式8-1】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動．
(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為23秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；
(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為3個(gè)單位每秒，運(yùn)動時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？
(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝13HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．
【變式8-2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接CP,EQ．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0

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