山東省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 設(shè)集合，，則（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求得集合，利用交集的意義可求.
【詳解】由，得，解得，所以集合，
又因?yàn)椋?
故選：B.
2. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，
故選：C.
3. 已知，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)特殊值判斷，，錯誤，利用基本不等式可判斷正確.
【詳解】解：對于、當(dāng)時(shí)顯然錯誤；
對于、當(dāng)時(shí)顯然錯誤；
對于、當(dāng)時(shí)顯然錯誤；
對于、由，得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故正確.
故選：.
4. 某商品的廣告支出費(fèi)用單位：萬元與銷售量單位：萬件之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，則第三個(gè)樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得回歸直線方程，再利用殘差的定義求解.
【詳解】解：由已知，，，
所以，
于是，，
因此，第三個(gè)樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差為
故選：D
5. 已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，若該數(shù)列前3項(xiàng)的和為3，最后三項(xiàng)的和為63，所有項(xiàng)的和為110，則n的值為（）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.
【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，則，，
因此，即，
則，解得
故選：A
6. 已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上不同于的一點(diǎn)，若的最大值為，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可設(shè)，直線的傾斜角分別為，利用正切的差角公式，可得，從而得到點(diǎn)與橢圓的上（或下）頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，再結(jié)合條件，得到，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭菣E圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上不同于的一點(diǎn)，
由對稱性，可設(shè)，直線的傾斜角分別為，
易知，則，
當(dāng)時(shí)，，
又，得到，所以，
因?yàn)椋?，則，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大，
即當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上或下頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，而的最大值為，
因此，所以，得到，
因此橢圓的離心率，
故選：C.
7. 在三棱錐中，已知，，，則該三棱錐的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將三棱錐可放置在如圖所示的長方體中，求出長寬高，再利用三棱錐的體積等于長方體的體積減去其余四個(gè)三棱錐的體積求出即可；
【詳解】
由題意分析可得：三棱錐可放置在如圖所示的長方體中，
設(shè)長方體的長寬高分別為，
則，
解得該長方體的長為，寬為1，高為2，
則三棱錐的體積為
故選：A.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ冢瑵M足，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件計(jì)算函數(shù)在上的解析式，分析單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令，結(jié)合圖象把問題轉(zhuǎn)化為中需提供一個(gè)根，且該根位于之間，由此可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，
∵在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，
∵，滿足，∴在上單調(diào)遞增，
∵，，，，，
由得，，
令，則，令則，
圖象如圖所示，結(jié)合圖象得中需提供一個(gè)根，且該根位于之間，故，
又∵，∴
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為中需提供一個(gè)根，且該根位于之間，數(shù)形結(jié)合可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）
A. B. 所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C. 沒有常數(shù)項(xiàng)D. 的系數(shù)為14
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算判斷A，賦值法判斷B，根據(jù)通項(xiàng)公式判斷CD.
【詳解】因?yàn)榈?項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，故A錯誤;
令，可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確;
在中，第項(xiàng)，
取，即，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，故C正確;
取，即，所以，所以的系數(shù)為14，故D正確.
故選：BCD
10. 設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則（）
A. 在有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)
B. 在有且僅有1個(gè)極小值點(diǎn)
C. 在單調(diào)遞增
D. 若在單調(diào)遞減，則的最小值為2
【答案】AC
【解析】
【分析】由零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到極大值個(gè)數(shù)判斷A；由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求得，進(jìn)而判斷極小點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B；求得，結(jié)合的范圍判斷C；求得的最小值判斷D.
【詳解】已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則在上有2個(gè)或3個(gè)極值點(diǎn)，
即在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，
在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
，
，，
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得極小值，
故在有2個(gè)或1個(gè)極小值點(diǎn)，故B錯誤;
當(dāng)時(shí)，，
，，
故在單調(diào)遞增，故C正確;
若在單調(diào)遞減，則，，
，，
，的最小值為，故D錯誤;
故選：AC.
11. 已知圓，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，直線與交于點(diǎn)，則（）
A. 若直線與圓相切，則B. 時(shí)，四邊形的面積為
C. 的取值范圍為D. 已知點(diǎn)，則為定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A：利用圓心到直線的距離等于半徑，計(jì)算可得；
選項(xiàng)B：利用求出長，根據(jù)相切得到的四邊形面積，等于兩個(gè)全等的直角三角形面積和，計(jì)算可得；
選項(xiàng)C：利用求出長，在直角中，表示出，進(jìn)而利用倍角公式求出，最后利用數(shù)量積公式計(jì)算可得；
選項(xiàng)D：利用四點(diǎn)共圓，且為此圓直徑，求出此圓方程，再利用作差，求出相交弦所在直線方程，判斷出過定點(diǎn)，利用判斷出在以為圓心圓上；選項(xiàng)D也可以利用圓極點(diǎn)極線性質(zhì)，通過坐標(biāo)，直接寫出方程，進(jìn)而求解.
【詳解】解：圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，,在直角中，；
對于A:若直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，所以A正確;
對于B:當(dāng)時(shí)，，，，
四邊形面積，所以B錯誤;
對于C:
，
因?yàn)?，所以?br>由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以C正確;
對于D:方法一：當(dāng)時(shí)，存在與軸的交點(diǎn)，，，
所以四點(diǎn)共圓，且為此圓直徑，圓心為，半徑為，
此圓方程為：，
因?yàn)槭谴藞A與圓的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，
即，化簡得：，
所以直線AB經(jīng)過定點(diǎn),
因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥本€AB上，所以，
即點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)椋?，所以圓心恰為點(diǎn)，半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在該圓上，所以為定值，所以D正確.
方法二：利用圓的極點(diǎn)極線性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，存在與軸的交點(diǎn)，切點(diǎn)所在直線AB的方程為，化簡得，所以直線AB經(jīng)過定點(diǎn),
因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谥本€AB上，所以，
即點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)椋?，所以圓心恰為點(diǎn)，半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在該圓上，所以為定值，所以D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】此題考查的是圓切線相關(guān)問題：
（1）直線與圓相切判斷方法：圓心到直線距離等于半徑；
（2）通過勾股定理，求切線長；
（3）通過直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示張角的余弦值；
（4）利用四點(diǎn)共圓或極點(diǎn)極線性質(zhì)，求切點(diǎn)弦所在直線方程；
（5）極點(diǎn)極線性質(zhì)：當(dāng)在圓外時(shí)，過作圓的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)所在直線方程為：.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，則_________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用，表示，，再利用數(shù)量積化簡計(jì)算.
【詳解】解：如圖：
由題意，得,,
，
故答案為：6.
13. 已知數(shù)列滿足，且，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為__________.
【答案】2036
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式可得為等比數(shù)列，用累加法求出通項(xiàng)公式，結(jié)合分組求和即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，
所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為：
.
故答案為：
14. 如圖所示的迷宮共有9個(gè)格子，相鄰格子有門相通，9號格子就是迷宮出口，整個(gè)迷宮將會在4分鐘后坍塌，若1號格子有一只老鼠，這只老鼠以每分鐘一格的速度在迷宮里亂竄它通過各扇門的機(jī)會相等，則此老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】求得小鼠逃生路線有六種情況：利用獨(dú)立事件的概率公式求得每種情況的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可.
【詳解】小鼠逃生路線有以下六種情況：
；
.
概率分別為
所以小老鼠逃生概率為
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角，，，所對邊分別為，，，已知，且
（1）求
（2）若為邊的中點(diǎn)，且，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，將邊轉(zhuǎn)換成正弦，再利用倍角公式和輔助角公式，求出，的關(guān)系.
（2）把余弦定理方程和中線的向量性質(zhì)得到的方程，聯(lián)立，求出，再利用面積公式即可求出面積.
【小問1詳解】
因?yàn)?，由正弦定理得：?br>則，
所以，則
所以，，或，，則，或，
又因?yàn)?，所以，所以，?
【小問2詳解】
在中由余弦定理得：，所以①，
因?yàn)镈為AB邊的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.
16. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線過點(diǎn)的切線方程;
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，按點(diǎn)是否為切點(diǎn)分類求出切線方程.
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按分類探討函數(shù)的單調(diào)性求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，而，
當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，，切線方程為；
當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，
則，整理得，
令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，
因此，，切點(diǎn)為，切線方程為，
所以曲線過點(diǎn)的切線方程為，或.
【小問2詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，且，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，因此；
當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，由，得，
若，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
若，恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，因此，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是
17. 如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，已知，，三棱錐的體積為
（1）設(shè)平面CAB與平面的交線為l，證明：
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得直線AP與平面ABC所成角的正弦值為若存在，指出P點(diǎn)的位置;若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，P是線段的中點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）由線面平行的判定定理證明平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行；
（2）由體積公式求得到平面的距離，過C向平面作垂線，垂足為H，證得H為四邊形的中心（即正方形的對稱線交點(diǎn)），以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA，HB，HC分別為x軸，y軸，z軸建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)，用空間向量法求線面角確定參數(shù)值得出結(jié)論．
【小問1詳解】
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫鍯AB，平面平面，所以
【小問2詳解】
由題意知，，設(shè)三棱錐的高為h，
因?yàn)槿忮F的體積為，所以，
過C向平面作垂線，垂足為H，，取AB，的中點(diǎn)，分別為E，F(xiàn)，連接HE，HA，CE，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)槠矫妫?br>AH，平面，所以，，在直角中，，，
所以，在直角中，，，所以，因?yàn)?，，?br>滿足，所以，所以H在AB的中垂線EF上，且，
所以H為四邊形的中心，
以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HA，HB，HC分別為x軸，y軸，z軸建立如圖坐標(biāo)系，
，，，，，
設(shè)，則，
由可得：，即，所以，
假設(shè)線段上存在一點(diǎn)P，使得直線AP與平面ABC所成角的正弦值為，
設(shè)，因?yàn)镃，，P三點(diǎn)共線，所以設(shè)，即，
則，則，，
設(shè)平面ABC的法向量為，所以即
令，則，，所以，
設(shè)直線AP與平面ABC所成角為，
則，
解得，，此時(shí)，P是線段的中點(diǎn)，所以，當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，直線AP與平面ABC所成角的正弦值為
18. 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大，記動點(diǎn)的軌跡為
（1）求的方程;
（2）過上一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，
（?。┰O(shè)，若，，求P點(diǎn)坐標(biāo);
（ⅱ）設(shè)兩直線PM、PN與C在x軸上方包括x軸的交點(diǎn)分別為P，Q，R或，，，，記三角形PQR和四邊形STQR面積分別為，，若，恒成立，求的最大值.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
（2）（?。?；（ⅱ）8
【解析】
【分析】（1）設(shè)，即可得到，再分、兩種情況討論，化簡即可；
（2）（?。┮李}意可得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，即可求出的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（ⅱ）分點(diǎn)在上與點(diǎn)在兩種情況討論，分別求出，，即可求出的取值范圍，從而得解.
【小問1詳解】
設(shè)，由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，，兩邊平方，化簡整理得；
當(dāng)時(shí)，，兩邊平方，化簡整理得
故軌跡的方程為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
【小問2詳解】
（?。┯深}意可知，設(shè)，，
由，則，所以，
則直線的方程為
令，則，故.
又，故，，故，
解得（負(fù)值已舍去），則點(diǎn)坐標(biāo)為 .
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為和.
不妨設(shè)，則直線PM的方程為，
將代入可得，解得
由，可得，，
聯(lián)立和可得，解得，
設(shè)Q，R的坐標(biāo)分別為和，
不妨設(shè)，則，同理可知，
故直線QR的斜率為，
直線QR方程為，
點(diǎn)P到直線QR的距離為
又，故，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，，
設(shè)切點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為和，
不妨設(shè)，則直線PM的方程為，
將代入可得，解得由，可得，
聯(lián)立和可得，解得
設(shè)S，T，Q，R的坐標(biāo)分別為，和，.
不妨設(shè)，
由于四邊形STQR為等腰梯形，
則
又，恒成立，則，故的最大值為
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，從而推導(dǎo)出，.
19. 設(shè)，已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)所構(gòu)成的集合為，對于任意正整數(shù)n，從集合中任取不同的若干項(xiàng)(取出的項(xiàng)數(shù)大于等于1，如果項(xiàng)數(shù)是1，運(yùn)算結(jié)果是它本身)，如果這些項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值所構(gòu)成的正整數(shù)集合為，且，則稱數(shù)列為完美數(shù)列.
（1）分別判斷數(shù)列和是否為完美數(shù)列，不需要說明理由;
（2）若等差數(shù)列是完美數(shù)列，求公差的所有可能取值;
（3）若從集合中任取不同的若干項(xiàng)之間進(jìn)行加減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值互不相同，且為完美數(shù)列.證明：
【答案】（1）是完美數(shù)列，而不是
（2）1和2；（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)完美數(shù)列的定義進(jìn)行判斷.
（2）根據(jù)等差數(shù)列的知識、完美數(shù)列的定義進(jìn)行分析，從而求得公差的所有可能取值.
（3）先求得，然后利用以及放縮法來求得正確答案.
【小問1詳解】
數(shù)列是完美數(shù)列，而不是完美數(shù)列；
，，，
則，集合的元素是到間的正整數(shù)，
可以從集合中任取不同的若干項(xiàng)，
進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值所構(gòu)成，
所以是完美數(shù)列.
，，，
當(dāng)時(shí)，，
從集合中任取不同的若干項(xiàng)，
進(jìn)行加法或減法運(yùn)算得不到，
所以不是完美數(shù)列.
【小問2詳解】
設(shè)的公差，考慮，則，，而，不符合題意.由（1）可知數(shù)列是完美數(shù)列，故的公差可能是
又?jǐn)?shù)列是完美數(shù)列，故的公差可能是2；
因?yàn)?，，，?br>故中若干項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值，
能夠構(gòu)成集合，
假設(shè)中若干項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值，
能夠構(gòu)成集合，
若，則當(dāng)時(shí)，
，
且若，
則若，
則中若干項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后所得的數(shù)的絕對值，
可以得到，
則N可由中若干項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后,
得到故中若干項(xiàng)之間進(jìn)行加法或減法運(yùn)算后,
所得的數(shù)的絕對值能夠構(gòu)成集合，
結(jié)論得證.
故的公差可能是1和2；
【小問3詳解】
記，由題意知，集合按上述規(guī)則，
總共會產(chǎn)生個(gè)正整數(shù);而集合，
按上述規(guī)則產(chǎn)生的個(gè)正整數(shù)中，除1，2，，這個(gè)正整數(shù)外，
還有，，，
共個(gè)數(shù).所以
因?yàn)?，所?br>又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
而也滿足
所以
因此.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
小問 1：遇到判斷數(shù)列是否為完美數(shù)列的問題，直接依據(jù)定義，分別計(jì)算數(shù)列的和，然后判斷中的元素能否由中元素經(jīng)過規(guī)定運(yùn)算得到.
小問 2：對于等差數(shù)列與完美數(shù)列結(jié)合的問題，先從公差的取值范圍入手進(jìn)行分析，再結(jié)合已知的完美數(shù)列實(shí)例確定可能的公差值，最后通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
小問 3：處理數(shù)列和不等式的問題，先根據(jù)條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，再對數(shù)列和進(jìn)行放縮，利用相關(guān)公式證明不等式.
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