1．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
2．（3分）在下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
3．（3分）已知，，下列二次根式中，與是同類二次根式的是
A．B．C．D．
4．（3分）化簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是
A．B．C．D．
5．（3分）關(guān)于的一元二次方程有一根為零，則的值為
A．或3B．3C．D．0
6．（3分）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，如果點(diǎn)、、在同一直線上，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
二、填空題（每題3分，共36分）
7．（3分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
8．（3分）比較大?。? ．
9．（3分）寫出的一個(gè)有理化因式 ．
10．（3分）化簡(jiǎn) ．
11．（3分）已知是關(guān)于的一元二次方程，則 ．
12．（3分）設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是 ．
13．（3分）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為 ．
14．（3分）若等式成立，則的取值范圍是 ．
15．（3分）數(shù)軸上與1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則 ．
16．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“”： ．
例如：，因?yàn)椋裕?，是一元二次方程的兩根，則 ．
17．（3分）若，則的值是 ．
18．（3分）如圖，已知等腰，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，那么 度．
三、解答題（共96分）
19．（8分）化簡(jiǎn)下列各式：
（1）；
（2）．
20．（8分）計(jì)算：．
21．（8分）計(jì)算：．
22．（8分）計(jì)算：．
23．（8分）解不等式：，并求出它的最大整數(shù)解．
24．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
25．（8分）用配方法解方程：．
26．（8分）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故．
由，
解得，即．
根據(jù)以上方法，求的值．
27．（8分）已知，當(dāng)分別取1，2，3，，2024時(shí)，求所對(duì)應(yīng)值的總和．
28．（8分）已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程和．
（1）試證：前一個(gè)方程必有兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)取何值時(shí)，上述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．
29．（8分）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：
①；
②；
③；
（1）請(qǐng)你利用上述規(guī)律計(jì)算（仿照上式寫出過(guò)程）；
（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式 ；
（3）請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
30．（8分）如圖，在△中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作，且．
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
①說(shuō)明：△△．
②聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，說(shuō)明：是中點(diǎn)．
（2）如圖2，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，若，求證：是的中點(diǎn)．
參考答案
一、選擇題（每題3分，共18分）
1．（3分）在下列方程中，是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
解：．，
整理，得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，
整理得：，是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，
整理，得，是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
2．（3分）在下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、，被開方數(shù)含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、，被開方數(shù)含有開得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
、，被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
故選：．
3．（3分）已知，，下列二次根式中，與是同類二次根式的是
A．B．C．D．
解：、，與不是同類二次根式，不符合題意；
、，與不是同類二次根式，不符合題意；
、，與是同類二次根式，符合題意；
、，與不是同類二次根式，不符合題意；
故選：．
4．（3分）化簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是
A．B．C．D．
解：，，
，
，
原式
．
故選：．
5．（3分）關(guān)于的一元二次方程有一根為零，則的值為
A．或3B．3C．D．0
解：由題意可知，
解得或，
，
，
．
故選：．
6．（3分）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，如果點(diǎn)、、在同一直線上，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．C．D．
解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，
，
，，得
，故正確；
是等邊三角形，
，故正確，
，，
，
，故正確；
，不一定平分，
不一定等于，
故選：．
二、填空題（每題3分，共36分）
7．（3分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
8．（3分）比較大?。? ．
解：，
，
，
，
，
故答案為：．
9．（3分）寫出的一個(gè)有理化因式 （答案不唯一） ．
解：的一個(gè)有理化因式（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
10．（3分）化簡(jiǎn) ．
解：由題意可知，，
，
故答案為：．
11．（3分）已知是關(guān)于的一元二次方程，則 ．
解：由題意可知，
解得，
故答案為：．
12．（3分）設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是 5 ．
解：，
，
，
，
的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
，
，
原式
．
故答案為：5．
13．（3分）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為 9 ．
解：由題意得，，
整理得，，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，二次根式無(wú)意義，
故的值為9．
故答案為：9．
14．（3分）若等式成立，則的取值范圍是 ．
解：
，
解得：，
故答案為：，
15．（3分）數(shù)軸上與1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則 ．
解：由題意，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，且數(shù)軸上與1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，
點(diǎn)表示的數(shù)為，即．
，
故答案為：．
16．（3分）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“”： ．
例如：，因?yàn)?，所以．若，是一元二次方程的兩根，則 3或 ．
解：，是一元二次方程的兩個(gè)根，
，
解得：或2，
①當(dāng)，時(shí)，；
②當(dāng)，時(shí)，．
故答案為：3或．
17．（3分）若，則的值是 ．
解：，
，
，
，
，
．
故答案為：．
18．（3分）如圖，已知等腰，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，如果，那么 72 度．
解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，
，
，
，
，
設(shè)
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：72．
三、解答題（共96分）
19．（8分）化簡(jiǎn)下列各式：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（8分）計(jì)算：．
解：
．
21．（8分）計(jì)算：．
解：由題意可得，，，
，，
原式
．
22．（8分）計(jì)算：．
解：，，
原式
．
23．（8分）解不等式：，并求出它的最大整數(shù)解．
解：由題意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
滿足題意的最大整數(shù)解為．
24．（8分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
整理得，
開方得，
，；
（2），
整理得，
，
或，
，；
（3），
去分母得，
，
，，，
△，
，
，；
（4）
，
，
，
，
或，
當(dāng)時(shí)，
，
或，
解得，；
當(dāng)時(shí)，△，解得，即，
綜上所述，，，．
25．（8分）用配方法解方程：．
解：，
，
，
，
，
解得．
26．（8分）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故．
由，
解得，即．
根據(jù)以上方法，求的值．
解：設(shè)，
，
，
，
，
．
27．（8分）已知，當(dāng)分別取1，2，3，，2024時(shí)，求所對(duì)應(yīng)值的總和．
解：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以當(dāng)分別取1，2，3，，2024時(shí)，所對(duì)應(yīng)的值的總和是．
故答案為：2036．
28．（8分）已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程和．
（1）試證：前一個(gè)方程必有兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)取何值時(shí)，上述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．
【解答】（1）證明：，
△，
即方程關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
設(shè)方程的兩根為，，
則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，，
為非負(fù)實(shí)數(shù)，
，，
由得出方程有同號(hào)兩個(gè)根或有一個(gè)根為0；
由，得出方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根或有一個(gè)根為0，
所以方程必有兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)根；
（2），
△，
方程的根為，
即方程的根為和1；
當(dāng)相同的根是時(shí)，把代入方程得：，
解得：或或，
為非負(fù)實(shí)數(shù)，
舍去，
符合題意；
當(dāng)相同的根是1時(shí)，把代入方程得：，
解得：；
所以當(dāng)或0或時(shí)，述兩個(gè)方程有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．
29．（8分）先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：
①；
②；
③；
（1）請(qǐng)你利用上述規(guī)律計(jì)算（仿照上式寫出過(guò)程）；
（2）請(qǐng)你按照上面各等式反映的規(guī)律，寫出一個(gè)用為正整數(shù)）表示的等式 ；
（3）請(qǐng)你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
解：（1）由題意得，；
（2）由題意得，；
（3）
．
30．（8分）如圖，在△中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，作，且．
（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
①說(shuō)明：△△．
②聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，說(shuō)明：是中點(diǎn)．
（2）如圖2，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，若，求證：是的中點(diǎn)．
【解答】證明：（1）①，，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△；
②如圖1，
△△，
，
，
，
，
，
又，
△△，
，即是中點(diǎn)；
（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
同理可證明△△，
，
同理可證明點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)．

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