一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．設(shè)集合，集合，則等于（ ）
A．B．
C．D．
2．設(shè)，，，則三者的大小順序是（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè),則是的
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)中的圖像可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．若，則下列不等式中正確的有（ ）
A．B．C．D．
10．設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（ ）
A．的最小值為B．的最小值為
C．的最大值為1D．的最小值為
11．已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
B．
C．當(dāng)時(shí)，
D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有 種．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）
13．已知集合，若，則的最小值為 ．
14．已知函數(shù).若存在，使，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．某市銷(xiāo)售商為了解A、B兩款手機(jī)的款式與購(gòu)買(mǎi)者性別之間是否有關(guān)系，對(duì)一些購(gòu)買(mǎi)者做了問(wèn)卷調(diào)查，得到列聯(lián)表如表所示：
(1)根據(jù)小概率之值的獨(dú)立檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)手機(jī)款式與性別有關(guān)？
(2)用購(gòu)買(mǎi)每款手機(jī)的頻率估計(jì)一個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)該款手機(jī)的概率，從所有購(gòu)買(mǎi)兩款手機(jī)的人中，選出3人作為幸運(yùn)顧客，記3人中購(gòu)買(mǎi)款手機(jī)的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
參考公式：（其中）.臨界值表：
16．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求零點(diǎn)之間距離最小時(shí)a的值．
17．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有．當(dāng)時(shí)，．
(1)求證：是周期函數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；
(3)計(jì)算．
18．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
19．已知定義在上的函數(shù)的表達(dá)式為，其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列（）.
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
(2)求證：函數(shù)在區(qū)間（）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(3)求證：.
購(gòu)買(mǎi)A款
購(gòu)買(mǎi)B款
總計(jì)
女
25
20
45
男
15
40
55
總計(jì)
40
60
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．A
【分析】解不等式求得集合,根據(jù)并集定義運(yùn)算得解.
【詳解】,
,
∴=，
故選：A.
2．B
【分析】分別比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
故選：B.
3．B
【詳解】試題分析：,，所以是必要不充分條件，故選B.
考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.
4．C
【分析】根據(jù)，利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】，，解得：.
故選：C.
5．D
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)在上函數(shù)值的正負(fù)情況，利用排除法判斷即可.
【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>又，
所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A、B，
又時(shí)，，所以，
所以，故排除C；
故選：D
6．D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
7．C
【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.
【詳解】，所以，則，
所以，，解得.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
8．B
【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，
又因?yàn)椋?br>則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.
9．AB
【分析】根據(jù)作差法，判斷A;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷B;舉反例可說(shuō)明C的正誤；同樣據(jù)反例，判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不成立，故C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，故D不正確,
故選:AB.
10．AD
【分析】運(yùn)用基本不等式逐一運(yùn)算判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足m＋n＝1，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，A正確；
對(duì)于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以≤， 即最大值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，C不正確；
對(duì)于D，由，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最小值為，D正確．
故選：AD
11．BC
【分析】由為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得函數(shù)周期為4，且可知當(dāng)時(shí)，，從而可逐項(xiàng)判斷.
【詳解】為偶函數(shù)，
∴fx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；
的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，
當(dāng)時(shí)，，
，故C正確；
由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以，
則，即函數(shù)周期為4，
，，
，由選項(xiàng)C可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，故B正確；
由前可知，，
，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．
【分析】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒(méi)有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒(méi)有女生的選法種數(shù)，即可解出.
【詳解】［方法一］：反面考慮
沒(méi)有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，
故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．
故答案為：.
［方法二］：正面考慮
若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；
若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．
故答案為：.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒(méi)有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對(duì)于正面分類(lèi)較多的問(wèn)題是不錯(cuò)的方法；
方法二：正面分類(lèi)較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類(lèi)討論求出．
13．
【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值為.
故答案為：.
14．
【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】作出的大致圖象如圖，設(shè)，
函數(shù)與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，自左向右依次排列，
二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
由圖可知，關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，即，，
又，所以，
由圖象知，當(dāng)時(shí)，，
所以．
故答案為：0,1
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.
15．(1)購(gòu)買(mǎi)手機(jī)款式與性別有關(guān)
(2)分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)表格計(jì)算卡方值，并依據(jù)小概率值進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.
（2）先求出購(gòu)買(mǎi)款手機(jī)的概率，然后利用二項(xiàng)分布的概率求解分布列和數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】（1）零假設(shè)：假設(shè)購(gòu)買(mǎi)手機(jī)款式與性別無(wú)關(guān)..
由.
根據(jù)小概率值的獨(dú)立檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)手機(jī)款式與性別有關(guān).
（2）由題設(shè)，從所有購(gòu)買(mǎi)兩款手機(jī)的人中，選出1人購(gòu)買(mǎi)款手機(jī)的概率為，
所以，選出3人作為幸運(yùn)顧客，其中購(gòu)買(mǎi)款手機(jī)的人數(shù)，
故，，
，.
分布列如下：
所以.
16．（1）；（2）
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出切點(diǎn)，求導(dǎo)得，，點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程；
（2），有兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，，代入
即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，可得，所以切點(diǎn)為，
因?yàn)椋裕?br>所以在處的切線方程為：，
即，
（2），
因?yàn)椋?
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，
則，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)之間距離最小為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線切線方程的一般步驟是：
（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）把看成一個(gè)整體證明即可；
（2）當(dāng)時(shí)，可得出，再由可求得函數(shù)在上的解析式；
（3）計(jì)算出、、、的值，再利用函數(shù)的周期性可求得的值.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，，
則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，.
（3）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，，，，，
因?yàn)椋?br>所以，
.
18．(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.
19．(1)0,π
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，可得所求值域；
（2）討論為奇數(shù)，或偶數(shù)時(shí)，的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可得證明；
（3）由（2）可知函數(shù)在（）上且僅有一個(gè)零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理、以及正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可得證明.
【詳解】（1）由，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，
且，，
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?
（2）當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；
②當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；
且，故，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（3）由（2）可知函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
且滿足，即（幾何意義：是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
又因?yàn)?，故?
所以由零點(diǎn)存在性定理可知，
函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
于是，
①因?yàn)椋?br>所以，即；
（或者
）
② 因?yàn)?br>由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有
故，所以；
由①②可知.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)，借助在（）上且僅有一個(gè)零點(diǎn)，利用正切函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)求解.
0
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2
3

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