1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，則集合A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥1}D．{x|1≤x＜2}
2．若復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點，且，則復(fù)數(shù)的虛部為
A．B．C．D．
3．在（其中）的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)相同，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
4．已知向量，，則（ ）
A．2B．3C．7D．8
5．2022年北京冬季奧運會將在北京和張家口舉行，現(xiàn)預(yù)備安排甲、乙、丙、丁四人參加3個志愿服務(wù)項目，每人只參加一個志愿服項目，每個項目都有人參加，則不同的安排方案有（ ）
A．24B．36C．48D．72
6．函數(shù)在的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
7．若直線過點，則的最小值為（ ）
A．12B．10C．9D．8
8．已知P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，O為球心，，，則三棱錐體積的最大值是
A．B．1C．D．
二、多選題（本題共4小題，共20分）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若一組數(shù)據(jù)1，a，2，3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均是2
B．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變
C．某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學(xué)生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為3；
D．在回歸方程中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4.08個單位
10．下列判斷正確的是（ ）
A．一個平面內(nèi)的兩條直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行
B．中，角成等差數(shù)列的充要條件是B
C．線性回歸直線必經(jīng)過點的中心點
D．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則
11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線，則（ ）
A．實軸長為2B．漸近線方程為
C．離心率為2D．一條漸近線與準(zhǔn)線的交點到另一條漸近線的距離為3
12．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點.如圖，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，切線與軸交點的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）

A．B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．函數(shù)的最小正周期為 ;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為 .
14．某班成立了兩個數(shù)學(xué)興趣小組，組人，組人，經(jīng)過一周的補習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測試中，組的平均成績?yōu)榉郑讲顬?，組的平均成績?yōu)榉郑讲顬椋畡t在這次測試中全班學(xué)生方差為 ．
15．已知直線：被圓：截得的弦長為，則 ，圓上到直線的的距離為1的點有 個.
16．如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的僅是一個四棱柱，則a的取值范圍是 ．
四、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．已知是遞增的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè).求數(shù)列的前項和
18．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，.在AB邊上取點E，使得，連接EC，ED.若，.
（1）求的值；
（2）求CD的長.
19．某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為(每次抽獎互不影響，且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率)，中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.
附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.
附表：
20．在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
21．已知橢圓的離心率為，點M（a，0），N（0，b），O（0，0），△OMN的面積為4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A，B是x軸上不同的兩點，點A在橢圓E內(nèi)（異于原點），點B在橢圓E外．若過點B作斜率存在且不為0的直線與E相交于不同的兩點P，Q，且滿足∠PAB+∠QAB＝180°．求證：點A，B的橫坐標(biāo)之積為定值．
22．已知函數(shù)（），為正實數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
購買金額（元）
人數(shù)
10
15
20
15
20
10
不少于60元
少于60元
合計
男
40
女
18
合計
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
1．D
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求集合的交集即可.
【詳解】∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
∴集合A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故選：D
本題考查集合的交運算，涉及一元二次不等式的求解，屬綜合簡單題.
2．B
【詳解】依題意，，故，故復(fù)數(shù)的虛部為，故選B．
3．D
求得二項展開式的通項為，根據(jù)的系數(shù)與的系數(shù)相同，得到關(guān)于的方程，即可求解.
【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，
因為的系數(shù)與的系數(shù)相同，即且，
即，解得.
故選：D.
本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用二項展開式的通項，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.
4．C
先求得，根據(jù)，得到，再結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求解.
【詳解】由題意，向量，可得，
因為，可得，解得，即，
所以.
故選：C.
5．B
先將甲、乙、丙、丁四人分成3組,再將分成的三組分別參加三個項目即可.
【詳解】先將甲、乙、丙、丁四人分成3組,其中必有一組為2人,所以有種選擇,
再將分成的三組分別參加三個項目,此時有種選擇,
由分步乘法原理可得,不同的安排方案有
(種),
故選: B
本題考查排列組合思想與分步乘法原理;分清楚是有序還是無序，分類還是分步是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.
6．B
由可排除選項C、D；再由可排除選項A.
【詳解】因為
，故為奇函數(shù)，
排除C、D；又，排除A.
故選：B.
本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.
7．C
【分析】
將點的坐標(biāo)代入直線方程，得到一個值為1的表達(dá)式，用這個表達(dá)式去乘，化簡后利用基本不等式求得最小值.
【詳解】
直線過點，則，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，此時取得最小值9．
故選：C．
8．B
畫圖分析可知到面的距離為定值,故只需求底面的面積最大值,再根據(jù)基本不等式的方法求解即可.
【詳解】如圖,設(shè)交平面于.因為,由球的對稱性有底面.
又,.故.,
因為,所以.
又.故.
故.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：B
本題主要考查了錐體外接球以及根據(jù)基本不等式求最值的問題,需要根據(jù)題意找到定量關(guān)系,利用基本不等式求最值,屬于中檔題.
9．ABC
【分析】對于A，計算出的值，根據(jù)定義即可求解；對于B，根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷；對于C，根據(jù)分層抽樣計算公式進(jìn)行計算即可；對于D，根據(jù)回歸方程的意義即可判斷.
【詳解】對于A：一組數(shù)據(jù)1，a，2，3的平均數(shù)為2，即，
所以，所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為2，A正確
對于B：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，B正確；
對于C：，C正確
對于D：回歸方程中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4.35個單位，D錯誤，
故選：ABC.
10．BCD
【分析】根據(jù)面面平行判定定理判斷A，根據(jù)等差中項判斷B，根據(jù)線性回歸直線方程的定義判斷C，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷D.
【詳解】對于A：一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行，故A錯誤；
對于B：中，，所以的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B正確；
對于C：在研究變量x和y的線性相關(guān)性時，線性回歸直線方程必經(jīng)過散點圖中心，故C正確；
對于D：已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布，圖象關(guān)于對稱，根據(jù)，
可得，得，故D正確；
故選：BCD
11．BC
由雙曲線方程得到、和的值，分別求出實軸長、漸近線方程、離心率和一條漸近線與準(zhǔn)線的交點到另一條漸近線的距離，即可得到答案.
【詳解】由雙曲線方程，得，，，
所以實軸長，故選項A錯誤；
漸近線方程為，故選項B正確；
離心率，故選項C正確；
準(zhǔn)線方程，取其中一條準(zhǔn)線，
與的交點，
點到直線的距離，故選項D錯誤.
故選：BC
本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，包括求實軸長、離心率、漸近線方程和準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.
12．ACD
【分析】求導(dǎo)得切點處的切線方程，即可令0判斷A,根據(jù)對數(shù)的運算，結(jié)合等差等比數(shù)列的定義即可判斷BC，根據(jù)等比求和公式即可求解D.
【詳解】，所以在點處的切線方程為：，
令0，得，故A正確.
，故，即，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B錯誤，C正確，
所以，D正確.
故選；ACD
13．
直接計算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.
【詳解】，故，當(dāng)時，，
故，解得.
故；.
本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.
14．
【分析】利用各層方差與總體方差之間的關(guān)系式可求全班學(xué)生方差.
【詳解】依題意，，，，
∴（分），
∴全班學(xué)生的平均成績?yōu)榉郑?br>全班學(xué)生成績的方差為
故
15． 3
利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長公式求出，解方程求得 值，
【詳解】解：由題意得：圓心，
則圓心到直線的距離，
解得；
因為，，
則圓上到直線的距離為1的點應(yīng)有3個.
故；3．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用.
16．
【分析】分情況分別求解組成三棱柱和四棱柱時的全面積，根據(jù)題意列出限制條件，可求范圍.
【詳解】拼成一個三棱柱時，全面積有三種情況：①上下底面對接，其全面積為.
②邊合在一起時，全面積為.
③邊合在一起時，全面積為.

拼成一個四棱柱時，有四種情況，全面積有三種情況：
讓邊長為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，
但側(cè)面積分別為，
顯然，三種情況中全面積最小的是；
因為比小，所以由題意得，
解得.
故答案為.

17．（1）；（2）.
（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的通項公式即可求解.
（2）利用裂項求和法即可求解.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意及，知，成等差數(shù)列，
，即.解得或(舍去)，.
數(shù)列的通項公式為.
（2），
.
18．（1）；（2）7.
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知條件即可求解；
（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，進(jìn)而求出，由余弦定理得，計算可得CD.
【詳解】（1）在中，由正弦定理，知，
因為，，，
所以；
（2）因為，所以，
所以，
因為，所以為直角三角形，又，
所以，
在中，，
所以.
本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.
19．(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān)；(2)分布列見解析，.
【分析】(1)利用頻數(shù)分布表及列聯(lián)表中已有數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表,直接套公式求出K2,對照參數(shù)下結(jié)論；
(2)分析出中獎次數(shù)的隨機變量，再求出X的分布列及期望.
【詳解】(1)列聯(lián)表如下：
，因此有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
(2)可能取值為65，70，75，80，且，
，，
，，
所以的分布列為
.
求離散型隨機變量的分布列時，要特別注意隨機變量是否服從二項分布、超幾何分布等特殊的分布.
20．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因為，
所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因為平面，
所以；
（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
21．（1）；（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和三角形的面積，列出方程，即可求得，則問題得解；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)kPA+kQA＝0，利用韋達(dá)定理，即可容易證明.
【詳解】（1）由題得e，即c2a2，b2a2，Sab＝4，
解得a2＝16，b2＝4，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）證明：設(shè)A（n，0），B（m，0），
由題意可得直線PQ的斜率不為0，
設(shè)直線PQ的方程為：x＝ty+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
聯(lián)立直線與橢圓的方程：，
整理可得：（4+t2）y2+2tmy+m2﹣16＝0，
△＝4t2m2﹣4（4+t2）（m2﹣16）＞0，m2＜4t2+16，
y1+y2，y1y2，x1x2＝t2y1y2+tm（y1+y2）+m2；
因為∠PAB+∠QAB＝180°，所以kPA＝﹣kQA，即kPA+kQA＝0，
而kPA+kQA0，
所以2t（m2﹣16）+（m﹣n）（﹣2tm）＝0，
因為t≠0，所以m2﹣16﹣m2+mn＝0，
所以可得mn＝16，
即證點A，B的橫坐標(biāo)之積為定值16．
本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中的定值問題，涉及韋達(dá)定理的使用，屬綜合中檔題；注意本題中角度與直線斜率關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
22．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；（2）.
【分析】（1）由已知得，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知，函數(shù)在，上有極大值（3）也是最大值，要使得函數(shù)對任意，，均有成立，只需（3）即可，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）因為（），
所以（），
因為，所以令，得；令，得或.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.
（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上的最大值是.
又，，所以，
所以在上的最小值為.
若，，不等式恒成立，
則需在時恒成立，
即，
即，解得.
又，所以.
故實數(shù)的取值范圍為.
不少于60元
少于60元
合計
男
12
40
52
女
18
20
38
合計
30
60
90
65
70
75
80

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