一、單選題（本大題共8小題）
1．已知空間向量，，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知空間向量，，則以為單位正交基底時的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．樣本數(shù)據(jù)：48，49，50，50，50，50，51，52的方差為（ ）
A．1B．1.25C．2.5D．4
5．底面圓周長為，母線長為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心為，，則（ ）
A．B．C．D．
7．近日，我國某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實驗和數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位時間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（ ）
A．350kgB．450kgC．500kgD．250kg
8．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個不等的實根，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)B．的值域為
C．在上單調(diào)遞減D．
11．已知正數(shù)，滿足且，則（ ）
A．的最小值為16B．的最小值為4
C．的最小值為D．，
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則 .
13．的取值范圍為 .
14．已知正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，點在平面內(nèi)運動，則點到，，，這四點的距離之和的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，，.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
16．已知為純虛數(shù).
(1)求；
(2)求.
17．2024年西部數(shù)學(xué)邀請賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗，更是對數(shù)學(xué)教育未來發(fā)展的深刻實踐探索，共有200多名學(xué)生參賽，引起社會廣泛關(guān)注，點燃了全社會對數(shù)學(xué)的熱情.甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請賽預(yù)賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為.
(1)求乙、丙各自解出該題的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.
18．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，，分別為，的中點.
(1)證明：平面；
(2)求四棱柱被平面截得的截面周長；
(3)求直線與平面所成角的正切值.
19．已知，，分別為銳角內(nèi)角的對邊，，，（為外接圓的半徑）.
(1)證明：；
(2)求的最小值.
參考答案
1．【答案】B
【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】因為，，且，所以，解得，
故選：B.
2．【答案】C
【分析】先解對數(shù)不等式求出集合A，再結(jié)合交集定義計算即可.
【詳解】因為，所以，即，
所以
所以.
故選：C.
3．【答案】B
【分析】由空間向量的線性運算和空間向量基本定理，結(jié)合單位正交基底，求向量的坐標(biāo).
【詳解】空間向量，，則，
故以為單位正交基底時的坐標(biāo)為.
故選：B.
4．【答案】B
【分析】先求出數(shù)據(jù)的平均值，由方差公式計算方差.
【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
方差.
故選：B.
5．【答案】C
【分析】作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，利用直角三角形求出內(nèi)切球的半徑，再計算內(nèi)切球的體積.
【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，
根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：
根據(jù)圓錐和球的對稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，
即，，，，
在中，，由，，則，
在中，，即，
可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，
故內(nèi)切球體積為.
故選：C.
6．【答案】A
【分析】根據(jù)兩相鄰對稱中心的距離為周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函數(shù)的中心對稱結(jié)論列式，根據(jù)求解即可.
【詳解】由圖象的兩個相鄰對稱中心為，，
可得，所以，故，
又，則，結(jié)合，得.
故選：A.
7．【答案】D
【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型代入即可得出，最后再根據(jù)脈搏率得出體重.
【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，則，故.
故選：D.
8．【答案】A
【分析】先分和兩種情況得出函數(shù)的圖象再結(jié)合圖象得出2個不等的實根，再計算可得的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，方程在上有且僅有2個不等的實根，，
且，所以的取值范圍是.
故選：A.
9．【答案】BD
【分析】運用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運算規(guī)則可解.
【詳解】，
即，故A錯誤、B正確；
，
即，故C錯誤，D正確.
故選：BD.
10．【答案】BC
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)值域的求法求解判斷B，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)法則判斷C，利用單調(diào)性比較大小判斷D.
【詳解】易得的定義域為R，且，
故不為偶函數(shù)，故A錯誤；
令，則，
因為在上的值域為，故B正確；
因為在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D錯誤.
故選：BC
11．【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計算求和再結(jié)合基本不等式計算求出和的最小值判斷A,B,C，最后根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D.
【詳解】由題意可得，，，
,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
經(jīng)檢驗后無法取得等號，故A、B錯誤；
由得，由得：，
，又，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，經(jīng)檢驗后無法取得等號，
的最小值不為，故C錯誤；
，，，，故D正確，
故選：D.
12．【答案】
【分析】先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)計算求參得出或，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計算得出符合題意的參數(shù).
【詳解】由題意可得為冪函數(shù)，則，解得或.
當(dāng)時，為增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時，在0,+∞單調(diào)遞減，符合題意.
故答案為:.
13．【答案】
【分析】利用輔助角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可得
，
又，所以，
所以.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】由圖形的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)為正方體中心時，點到兩點的距離之和最小值為，到這兩點的距離之和的最小值為，求值即可.
【詳解】點與點和點的距離之和為，
因為關(guān)于平面的對稱點為，故，
當(dāng)且僅當(dāng)為中點，即為正方體中心時等號成立；
點與點和點的距離之和可表示為，
則，當(dāng)且僅當(dāng)在所在直線上時等號成立，
故的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)為正方體中心時等號成立.
故答案為：.
15．【答案】(1)2或
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算公式計算求參；
（2）先由空間兩點間的距離公式計算，再結(jié)合二次函數(shù)值域求解.
【詳解】（1）由題意可得，，
因為，
解得或
（2）由空間兩點間的距離公式，
得
，
當(dāng)時，有最小值.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及乘法運算化簡，最后根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的周期性，再求和即可.
【詳解】（1）由題意可得，
因為是純虛數(shù)，所以，解得.
（2）由（1）得到，又，，，，
則，，，，，
即有，，
故.
17．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)出事件，運用相互獨立事件概率的乘法公式及對立事件概率公式求解即可；
（2）運用相互獨立事件概率的乘法公式，結(jié)合對立事件概率公式計算即可.
【詳解】（1）設(shè)“甲解出該題”為事件，“乙解出該題”為事件，“丙解出該題”為事件，
則，，相互獨立，
由題意得，，
所以，，
所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，.
（2）設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，
則，
因為，，，
所以，，，
因為、、相互獨立，
所以.
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，進(jìn)而得出根據(jù)角得出，最后應(yīng)用線面垂直判定定理證明；
（2）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行得出截面再根據(jù)圖形特征計算邊長即可；
（3）先根據(jù)線面角定義得出與平面所成角為，再等面積求邊長比即可得出正切值.
【詳解】（1）因為四邊形是菱形，，為的中點，所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因為平面平面，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為四邊形是矩形，，，，分別為，的中點，
所以，所以，
因為，所以，
所以，所以，
因為，且平面，所以平面.
（2）因為平面，
所以平面與平面的交線與平行，所以交線為，
連接，，，
則四棱柱被平面截得的截面為四邊形，
，，
，
因為，所以，
因為，所以，
所以四邊形的周長為.
（3）過點作，垂足為，連接，
因為平面，平面，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
所以點在平面上的射影必在上，所以直線與平面所成角為，
因為，，，，
所以，
所以，即直線與平面所成角的正切值為.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓的特征得出，從而由數(shù)量積與模長關(guān)系計算可得，再構(gòu)造，利用數(shù)量積公式計算并確定的夾角即可證明；
（2）由條件及數(shù)量積的運算律、輔助角公式得出，利用角的關(guān)系確定的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性得出值域即可.
【詳解】（1）
由，即，
所以，
即，
又，
因為，所以，
所以，
令與夾角為，則，即，
即，得證；
（2）因，，則，即，
，
其中，，且為銳角，故，
由可得，
則，.
又由解得
因為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
所以，則，
于是，
即的最小值為.

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