1.理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì) 進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用;2.理解和初步掌握賦值法及其應(yīng)用;3.能靈活應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求二項(xiàng)展開式 系數(shù)最大項(xiàng).4.核心素養(yǎng): 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算。
1.計(jì)算(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表:
通過(guò)計(jì)算填表,你發(fā)現(xiàn)了什么?
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
每一行的系數(shù)具有對(duì)稱性
除此以外還有什么規(guī)律呢?
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … … …
1 Cn-11 Cn-12 …… Cn-1k-1 Cn-1k …… Cn-1n-2 1
能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎?
①在同一行中,每行兩端都是1,與這兩個(gè)1等距離 的項(xiàng)的系數(shù)相等.
②在相鄰的兩行中,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于 它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.
這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表,早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝 1261 年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了,在這本書里,記載著類似右側(cè)的表：
早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的 《詳解九章算法》二項(xiàng)式系數(shù)表，在書中 說(shuō)明了表里 “一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和;指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲(約公元11世紀(jì))已經(jīng)用過(guò)它.這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)在歐洲,這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(1623-1662)首先發(fā)現(xiàn)的,他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角.這就是說(shuō),楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右.
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：
當(dāng)n= 6時(shí),
2. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．
這一性質(zhì)可直接由公式 得到．
3. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
2).增減性與最大值
所以 相對(duì)于 的增減情況由 決定
可知，當(dāng) 時(shí)，
二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的,且中間項(xiàng)取得最大值
3).各二項(xiàng)式系數(shù)的和
在二項(xiàng)式定理中,令 ，則：
同時(shí)由于 上式還可以寫成：
一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)：
(3).當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
1.例1.證明:在(a+b)n 的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式 系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.
(1).已知 ,那么 = ；
(2).各項(xiàng)系數(shù)的和;
(3).奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的 二項(xiàng)式系數(shù)和;
(4).奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.
1).已知:(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+…+a9x+ a10,
(1).求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值;
(2).求a0+ a2+ a4+…… + a10的值.
又∵n≥2,上式至少有三項(xiàng),且
證明:要證 成立

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