2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高三（上）期中模擬考試數(shù)學(xué)試卷

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滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交集運(yùn)算求解．
【詳解】，
則，
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部與虛部之和為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，則，
所以的實(shí)部為，虛部為，則的實(shí)部與虛部之和為.
故選：D.
3. 已知等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為60，且，則（ ）
A 5B. 10C. 15D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式代入求解即可.
【詳解】由，
可得：，即，
又，
所以，
所以.
故選：C
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，若的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及余弦的和差公式即可求解.
【詳解】的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，，
.
故選：.
5. 如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖，，，，，則（ ）
A B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)斜二測(cè)的性質(zhì)還原圖形，再由勾股定理即可求解.
【詳解】解：還原四邊形，如圖所示：
依題意可得：．
取的中點(diǎn)，連接，
則，且，
故.
故選：B
6. 若曲線的一條切線方程是，則（ ）
A. B. 1C. D. e
【答案】A
【解析】
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率求解切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求值．
【詳解】由，得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，
切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，得，即．
故選：A．
7. 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圓錐的底面圓半徑和高，再求出外接球的半徑，由此求得圓錐的外接球的面積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)為，
于是，解得，該圓錐的高為，
設(shè)該圓錐的外接球的半徑為，則球心到圓錐底面圓距離，
由球的性質(zhì)知，，解得，
所以該圓錐的外接球的面積為.
故選：A
8. 在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于“等差×等比數(shù)列”此類數(shù)列求和，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解．例如，故數(shù)列的前項(xiàng)和．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，利用上述方法求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先將裂成兩項(xiàng)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解裂成兩項(xiàng)的系數(shù)，接著利用裂項(xiàng)相消法求和即得.
【詳解】設(shè)，
左右對(duì)照可得，解得
所以，
則數(shù)列的前項(xiàng)和為：
，
故.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查運(yùn)用裂項(xiàng)相消法解決“等差×等比數(shù)列”的求和問(wèn)題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于按照題意，將數(shù)列通項(xiàng)寫(xiě)成兩項(xiàng)的差的形式，通過(guò)待定系數(shù)法確定各項(xiàng)系數(shù)，再裂項(xiàng)相加即可.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知平面向量，夾角為，且，若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 與可以作為平面內(nèi)向量的一組基底
C. D. 在上的投影向量為
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)A，計(jì)算可判斷；對(duì)B，根據(jù)平面向量基底的定義判斷；對(duì)C，利用向量數(shù)量積運(yùn)算判斷；對(duì)D，根據(jù)投影向量的定義運(yùn)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以與不共線，所以與可以作為平面的一組基底，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以在上的投影向量為，故D正確.
故選：BD.
10. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，為線段上一點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A. 為鈍角三角形
B. 的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
C. 若為中點(diǎn)，則
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】依題意由正弦定理得，不妨設(shè)，則，故求出最大邊所對(duì)的角即最大角即可判斷A；由余弦定理以及二倍角公式即可判斷B；求出中線即可判斷C；借助求出角平分線即可判斷D.
【詳解】由題知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，
由正弦定理可知，不妨設(shè)，則，
對(duì)于A，由上知邊為最大邊，故為最大角，
由余弦定理知，故為銳角，所以為銳角三角形，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由上知A為最小角，且，
又，知，即，
又均為銳角，則，故B正確；
對(duì)于，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，

平方得，
，又，故，故C正確；
對(duì)于D，由，得，又，
所以，由，即，
故，故D正確，
故選：BCD.
11. 設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列bn是數(shù)列an的“均值數(shù)列”，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)積為，則有最大值，無(wú)最小值
C. 數(shù)列中沒(méi)有最大項(xiàng)
D. 若對(duì)任意，成立，則或
【答案】AD
【解析】
【分析】先由數(shù)列遞推式求得，再由求得，由與的關(guān)系式求出，代值即可判斷A項(xiàng)；對(duì)于B，由通項(xiàng)分析項(xiàng)的符號(hào)特征即可判斷；對(duì)于C，分析數(shù)列的項(xiàng)的單調(diào)性特點(diǎn)可判斷其由最大項(xiàng)，排除C；對(duì)于D，利用C項(xiàng)結(jié)果將不等式恒成立轉(zhuǎn)化成求解不等式即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，因①，
當(dāng)時(shí)，②，
由①②，，即，取時(shí)，滿足題意，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又因，故.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因時(shí)，符合題意 ，故，
則，故A正確；
對(duì)于B，由A已得，，則，
因時(shí)，，時(shí)，，而，
故沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，可得，
易得,且，故的最大項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，可得，由C項(xiàng)分析已得為的最大項(xiàng)，
故得，解得或，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查新定義數(shù)列的項(xiàng)與和的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題.
解題的思路在于，由遞推和式采用賦值相減法求出通項(xiàng)，可得,再由與的關(guān)系式求出通項(xiàng)，再分析項(xiàng)的符號(hào)以及單調(diào)性特征，逐一判斷選項(xiàng)可得.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，且為第二象限角，則___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解，再利用正弦的二倍角公式，即得解
【詳解】由題意，為第二象限角，故
故答案為：
13. 已知函數(shù)在處取得極大值，則_________．
【答案】0
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由求出并驗(yàn)證即可.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在處取得極大值，符合題意，則；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，
所以.
故答案為：0
14. 已知數(shù)列an滿足，，則______；設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則______．（第二個(gè)空結(jié)果用指數(shù)冪表示）
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式，依次求和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，可得，即可求得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法，即可求解.
【詳解】由得，進(jìn)而得；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，
則，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即
則
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，
所以，
所以，
所以，
.
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式即可求解；
（2）結(jié)合平移法則和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，由余弦函數(shù)圖象特征解不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，故；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋蜃笃揭苽€(gè)單位長(zhǎng)度，
得到，
故要使，需滿足，解得，故的解集為
16. 數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意有，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可求數(shù)列通項(xiàng)公式．
（2），分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合分組求和法求.
【小問(wèn)1詳解】
由，有，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
則有，所以數(shù)列通項(xiàng)公式.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，
為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.
為奇數(shù)時(shí)，
；
為偶數(shù)時(shí)，
.
所以.
17. 在中，角的對(duì)邊分別是，已知．
（1）求角；
（2）若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理得，再利用正弦的和角公式得到，即可求解；
（2）根據(jù)條件，利用向量的線性運(yùn)算，得到，從而有，再結(jié)合條件，利用余弦定理得到，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，整理得到，
即，
又B∈0,π，所以，得到，
又，所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
又，
又由余弦定理，
得，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以面積的最大值為.
18. 南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問(wèn)題”．在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式．如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第層球數(shù)是第n層球數(shù)與的和，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，
（3）若數(shù)列bn滿足，對(duì)于，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得，利用累加法計(jì)算可得；
（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（3）由（2）令即可得到，從而得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意，，
則有，
當(dāng)時(shí)，
，
又也滿足，所以.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，則，
即，即當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知當(dāng)時(shí)，，
令，則，
所以，
所以，
令，
則，
所以
，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)關(guān)鍵是結(jié)合（2）的結(jié)論，令得到，從而得到.
19. 定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個(gè)常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù)．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為極值可差比函數(shù)，若是求極值差比系數(shù)，若不是說(shuō)明理由；
（2）是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）是極值可差比函數(shù)，；
（2）不存在，理由見(jiàn)解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）按照題目所給信息，驗(yàn)證fx=x-1x-52lnxx>0是否滿足題意即可；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證方程在范圍內(nèi)是否有解；
（3）由（2）可得的極值差比為，后令，結(jié)合，
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，fx=x-1x-52lnxx>0，
所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，極小值為，
所以，因此是極值可差比函數(shù)．
其中；
小問(wèn)2詳解】
由題的定義域?yàn)?,+∞，，即，
假設(shè)是極值可差比函數(shù)，且極值差比系數(shù)為，
設(shè)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.
則Δ=a2-4>0x1+x2=ax1x2=1，得，由（1）分析可得，
又，則.
由于
.
由題則有：，
從而，
結(jié)合，得（*）.
令gx=x-1x-2lnxx>1，則g'x=x2-2x+1x2=x-12x2>0，
所以在1,+∞上單調(diào)遞增，有，
因此（*）方程在時(shí)無(wú)解，即不存在使的極值差比系數(shù)為；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知極值差比系數(shù)為，又，
則極值差比系數(shù)為.
令，，則極值差比系數(shù)可化為，
注意到，又，可得，
令，則，
設(shè)，
所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即．
故的極值差比系數(shù)的取值范圍為
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題首先需讀懂題意，隨后靈活運(yùn)用代數(shù)式處理技巧，
將需研究表達(dá)式化簡(jiǎn)為只含一個(gè)未知數(shù)；對(duì)于某些復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)，我們也可
通過(guò)多次求導(dǎo)來(lái)研究，但要注意書(shū)寫(xiě)格式.