一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．平行六面體中，為與的交點(diǎn)，設(shè)，用表示，則（ ）
A．B．
C．D．
3．被譽(yù)為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個(gè)莫愁村最高的建筑，登樓遠(yuǎn)跳，可將全村風(fēng)景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺(tái)，如圖所示，上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體的體積（單位：立方米）約為（ ）
A．2400B．1520C．1530D．2410
4．某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實(shí)驗(yàn)操作測試，該同學(xué)參加這兩項(xiàng)測試的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，在實(shí)驗(yàn)操作中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，則該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（ ）
A．3B．1C．5D．7
6．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（ ）
A．8B．4C．16D．12
7．拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件為互斥事件B．事件與事件為互斥事件
C．事件與事件相互獨(dú)立D．事件與事件相互獨(dú)立
8．現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長（單位：厘米）為（ ）
A．B．C．6D．12
二、多選題（本大題共3小題）
9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)?中位數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)差?極差分別記為.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，其平均數(shù)?中位數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)差?極差分別記為，則（ ）
A．B．
C．D．
10．設(shè)是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為的三條數(shù)軸，向量分別與軸?軸.軸方向同向的單位向量，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在斜坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記作，則下列說法正確的有（ ）
A．已知，則
B．已知，則向量
C．已知，則
D．已知，則三棱錐的外接球體積
11．在圓錐中，為高，為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為，母線長為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，圓錐底面上點(diǎn)在以為直徑的圓上（不含兩點(diǎn)），點(diǎn)在上，且，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則（ ）

A．三棱錐的外接球體積為定值
B．直線與直線不可能垂直
C．直線與平面所成的角可能為
D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值為 .
13．已知向量滿足，則 .
14．的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知
(1)求；
(2)若點(diǎn)在上，且滿足，求面積的最大值.
16．某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；
(2)成績位列前10%的學(xué)生平臺(tái)會(huì)生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多少分；
(3)已知落在60,70內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差.
（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量?樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：.記兩組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為，則總體樣本方差）
17．如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面所成的夾角的余弦值；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
18．甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計(jì)得3分及以上時(shí)，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；
(3)求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率.
19．在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn).若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.
(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；
(3)（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；
（ii）若集合.記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.
參考答案
1．【答案】B
【分析】化簡得，根據(jù)題意列出不等式組求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>又因?yàn)榇藦?fù)數(shù)在第二象限，
所以，解得.
故選：B.
2．【答案】D
【分析】由平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算即可求解；
【詳解】如圖：
由平行六面體的性質(zhì)可得
，
故選：D.
3．【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用棱臺(tái)的體積公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，正四棱臺(tái)的上底面邊長約為8米，下底面邊長約為12米，高約為15米，
可得正四棱臺(tái)的上底面面積為平方米，下底面面積為平方米，
則塔樓主體的體積約為立方米.
故選：B.
4．【答案】C
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.
【詳解】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項(xiàng)測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：．
故選：C.
5．【答案】B
【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.
【詳解】若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，
共面，
存在，使，
即，
解得，
故選：.
6．【答案】A
【分析】先根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到，進(jìn)而求出的取值范圍，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br> 由，所以，化簡得到，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，則的最小值為.
故選：A．
7．【答案】D
【分析】分別寫出事件、、、所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A，B；根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷C，D.
【詳解】解：由題意可知；
；
；
；
對于A，因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)?，，，所以事件與事件不相互獨(dú)立，故錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，，?br>所以事件與事件相互獨(dú)立，故正確.
故選：D.
8．【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長得出角及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量兩點(diǎn)間距離計(jì)算.
【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，
過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，
所以圓弧的長度為：，，
則，
同理，過向圓O作垂線垂足為，則，
所以.
故選：A.
9．【答案】ACD
【分析】根據(jù)新舊數(shù)據(jù)間樣本的數(shù)字特征的關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差，
所以ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ACD
10．【答案】AB
【分析】先明確，.根據(jù)求，判斷A的真假；根據(jù)判斷B的真假；計(jì)算判斷C的真假；判斷三棱錐的形狀，求其外接球半徑及體積，判斷D的真假.
【詳解】由題意：，.
對A：因?yàn)?br>，所以.故A正確；
對B：因?yàn)?，，所以，所?故B正確；
對C：，，
因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
對D：由題意，三棱錐是邊長為1的正四面體.如圖：
過作平面，垂足為，則在的中線上，且，
因?yàn)?，，所以?
設(shè)正四面體外接球球心為，則點(diǎn)在上，且亦為正四面體內(nèi)切球球心，設(shè)，.
則，
所以正四面體外接球的體積為：.故D錯(cuò)誤.
故選：AB
11．【答案】AD
【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再證明點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，判斷A，證明平面，由此證明，判斷B；證明平面，由此可得為直線與平面所成的角，解三角形求其正弦，判斷C，證明，解三角形求，結(jié)合基本不等式求其范圍，判斷D.
【詳解】連接，
對于A，易知平面，平面，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上（不含、），
所以，，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，為的中點(diǎn)，，
所以，
所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，
所以三棱錐的外接球的半徑為r=1，
所以三棱錐的外接球體積為定值，A正確；
由已知，，，，
所以，
所以為等腰直角三角形，連接，又為的中點(diǎn)，故，
又，，平面，平面，
則平面，又平面，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?，又平面，所以?br>又，，平面，平面，則平面，
所以在平面上的射影為，
所以為直線與平面所成的角，
設(shè)，則，又，
所以，
所以，
令，則，解得，
即，與矛盾，C錯(cuò)誤；
對于D中，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又，，
所以，
所以，，
由基本不等式可得，即，
所以，D正確.
故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決多面體的外接球問題的關(guān)鍵在于由條件確定其外接球的球心的位置，由此確定外接球的半徑.
12．【答案】
【分析】將代入方程求解即可.
【詳解】代入方程，
得，
化簡得，
故 ，解得，
故答案為：
13．【答案】/
【分析】先利用坐標(biāo)運(yùn)算求解，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合模的公式列式求得，從而利用數(shù)量積的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以，所以.
故答案為：
14．【答案】
【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.
【詳解】由可得，
即，
由于，故，
由于，故，因此，故，
，
的面積為，故，
由于，，
故，
將代入可得，
化簡得，
將其代入，且可得，
則，解得，或，（舍去）
故最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由可得有實(shí)數(shù)根，利用判別式求解.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）利用向量的線性運(yùn)算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.
【詳解】（1），
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2），
，
，
又，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
的面積，
即面積的最大值為.

16．【答案】(1)平均數(shù)為，眾數(shù)為.
(2).
(3)平均數(shù)為，方差為.
【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是最高矩形橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，據(jù)此求解.
（2）依題意可知題目所求是第分位數(shù)，先判斷第分位數(shù)落在哪個(gè)區(qū)間再求解即可；
（3）先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.
【詳解】（1）一至六組的頻率分別為，
平均數(shù).
由圖可知，眾數(shù)為.
以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)為分，眾數(shù)為分.
（2）前4組的頻率之和為，
前5組的頻率之和為，
第分位數(shù)落在第5組,設(shè)為x，則，解得.
“防溺水達(dá)人”的成績至少為分.
（3）)的頻率為，)的頻率為，
所以的頻率與的頻率之比為
的頻率與的頻率之比為
設(shè)內(nèi)的平均成績和方差分別為，
依題意有，解得
，解得，
所以內(nèi)的平均成績?yōu)?，方差?
17．【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；
（2）設(shè)，可求得平面的一個(gè)法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時(shí)，則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
又平面的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；
（2）設(shè)，
則，
則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
18．【答案】(1)13
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；
（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一局乙丙得負(fù)一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；
（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1人得4分，④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：

所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、
（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、
一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；
由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）
此時(shí)概率為種情況，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，
則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；
由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）
第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、
此時(shí)概率為，
綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.
（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：
①僅1人得3分，記事件為A，則；
②有2人得分為3分，記事件為B，
③僅1人得4分，記事件C：
一人得4分，另兩人各負(fù)2分：，
一人得4分，一人得負(fù)2分，一人得1分：，
一人得4分，另兩人各1分：，
；
④有2人分別得4分，記為事件D：則
綜上所述：游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率.
19．【答案】(1)
(2)
(3)（i）；（ii）
【分析】（1）利用題中概念分別計(jì)算出直線方向向量與平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算平面法向量，找到平面上一點(diǎn)然后利用向量的投影計(jì)算即可；
（3）（i）先建立等式，然后畫出所表示的面，計(jì)算所圍成的圖形的面積即可；（ii）因?yàn)槭且粋€(gè)完全對稱的圖形，只需計(jì)算第一卦限內(nèi)相鄰面的二面角，我們需要畫出第一卦限內(nèi)圖像，得到其二面角為鈍角；
【詳解】（1）由題可知，直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則有，所以，
直線與平面所成角的余弦值為.
（2）由題可知平面的法向量為，且過點(diǎn)，
因?yàn)?所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（3）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，
先分別畫平面 ，
然后得到幾何體為
幾何體是底面邊長為的正方形，高為的長方體，
故幾何體的體積為，
（ii）由（i）可知，的圖像是一個(gè)完全對稱的圖像，所以我們只需討論第一卦限的相鄰兩個(gè)平面的二面角即可，
此時(shí)，
得，
畫出第一卦限圖像，
顯然其二面角為鈍角，
計(jì)算平面得二面角，
所以兩個(gè)平面的法向量分別為，
所以其二面角的余弦值為，所以二面角為
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：我們需要按照解析式畫出平面，在空間中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，可以直接找三個(gè)點(diǎn)即可，找到的點(diǎn)，最好是三個(gè)平面的交點(diǎn)，一般直接建立方程求解即可.

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湖北省云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版）：

這是一份湖北省云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版），共4頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（教師版）：

這是一份湖北省云學(xué)部分重點(diǎn)高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（教師版），共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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