一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．）
1．下列是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．x－y＝3 B．x＝eq \F(1,x)＋1 C．x2＋3x－7＝0 D．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0
2．已知⊙O的半徑為1，點P在⊙O外，則OP的長（ ）
A．大于1 B．小于1 C．大于2 D．小于2
3．下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0 C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝m
4．小明在處理一組數(shù)據(jù)“12，12，28，15，■”時，不小心將其中一個數(shù)據(jù)污染了，只記得該數(shù)據(jù)在20～30之間，則“■”在范圍內(nèi)無論為何值都不影響這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
5．如圖，已知點A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說法錯誤的是（ ）
A．EQ \O\AL(AB,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(BC,\S\UP5(⌒)) B．∠AOC＝∠BOD C．AC＝2CD D．OC⊥BD
A
M
B
O
P
（第6題）
A
B
O
C
D
（第5題）
6．如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△ABP的內(nèi)心．其中所有正確說法的個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．）
7．一組數(shù)據(jù)為1，－1，3，2，則這組數(shù)據(jù)的極差是 ．
8．寫出一個兩根分別為1和2的一元二次方程： ．
9．某公司對某應(yīng)聘者進(jìn)行創(chuàng)新、綜合知識、語言三項測試，三項成績分別為72分、50分、88分．若這三個分?jǐn)?shù)依次按1：2：1的比例確定綜合成績，則該應(yīng)聘者的得分為 分．
10．用半徑為30 cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為 cm．
11．一元二次方程x2－3x＋m＝0的兩根是x1，x2，則2x1＋x2＝1，則m的值為 ．
A
C
B
D
O
（第12題）
（第13題）
C
A
B
O
D
E
12．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，將劣弧 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)沿弦AB折疊交OC于點D，OD＝EQ \F(1,3)OC，若AB＝8，則⊙O的半徑為 ．
13．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則扇形ODE的面積為 ．
14．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AF，CG交于點P，則∠APC＝ °．
A
B
C
D
F
H
G
E
P
（第14題）
P
B
C
E
A
D
F
G
（第16題）
15．對于兩個不相等的實數(shù)a，b，規(guī)定max{a，b}表示a，b中較大的數(shù)，例如max{1，2}＝2．則方程max{2x，x＋2}＝x2－4的解為 ．
16．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，CD上，EG與BF交于點P，AE＝1，BF＝EG，DG＞AE，則DP長的最小值為 ．
三、解答題（本大題共11小題，共88分．）
17．（8分）解方程：
（1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝4－2x．

18．（7分）某校為了普及環(huán)保知識，從七、八兩個年級中各選出10名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽（滿分100分），并對成績進(jìn)行整理分析，得到如下統(tǒng)計圖表信息：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）七、八年級參賽學(xué)生成績的方差分別記為S12，S22，則S12 S22（填“＞”“＜”
或“＝”）；
（3）若要從七、八年級選一個年級代表學(xué)校參加比賽，應(yīng)該選哪個年級？說明理由．
19．（8分）如圖，用籬笆圍成一塊矩形花圃，該花圃一側(cè)靠墻，而且有一道隔欄（隔欄也用籬笆制作），已知所用籬笆的總長為24 m，花圃的面積為45 m2，墻的最大可用長度為10 m，求邊AB的長．
A
B
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m為常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該方程總有實數(shù)根；
（2）若方程的一個根是另一個根的兩倍，求方程的兩個根．
21．（7分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝BC，對角線AC是⊙O的直徑．
A
B
C
D
O
求證：四邊形ABCD是矩形．
22．（8分）某種商品原價為100元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，發(fā)現(xiàn)第二次降價后的價格比第一次降價后的價格少16元．若兩次降價的百分率相同且不超過50%，求降價的百分率．
23．（8分）用直尺和圓規(guī)作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積．
（1）如圖①，已知扇形OAB，過點O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；
（2）如圖②，已知扇形OAB，作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧
平分．
（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）
①
A
B
O
A
B
O
②
24．（8分）某商家購進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，分為“線上”和“線下”兩種銷售方式．“線上”銷售時：售價為16元/件，且每件產(chǎn)品商家需多付2元快遞費(fèi)；“線下”銷售時：售價為12元時，線下月銷量為1 200件，售價每增加1元，線下月銷量就減少100件．該商家本月計劃購進(jìn)1 500件，預(yù)計全部售完，且“線上”銷量小于“線下”銷量．“線下”如何定價才可使“線上”和“線下”的月利潤共可達(dá)到6 900元？
25．（8分）定義：設(shè)x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根，若滿足|x1＋x2|＝|x1x2|，
則稱此類方程為“和諧方程”．例如，方程x2＝0是“和諧方程”．
（1）下列方程是“和諧方程”的是 ．
①x2－x＝0；②x2－4x＋4＝0；③(x＋1)(x－EQ \F(1,2))＝0．
（2）若方程x2－(m＋2)x＋2m＝0是“和諧方程”，求m的值．
（3）若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)為“和諧方程”，直接寫出b，c滿足的數(shù)量關(guān)系．
F
C
E
D
A
B
H
O
G
26．（8分）如圖，在□ABCD中，過點C的⊙O與AB，AD分別相切于點E，F(xiàn)，交BC，CD交于點G，H．連接FH，F(xiàn)H＝FD．
（1）求證：四邊形ABGF是平行四邊形；
（2）若AE＝4，BE＝6，求⊙O的半徑．
27．（10分）
【問題提出】
當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想？
【數(shù)學(xué)眼光】
如圖①，設(shè)墻壁上的展品最高處點A距離地面a米，最低處點B距離地面b米，觀賞者的眼睛點C距離地面m米，當(dāng)過A，B，C三點的圓與過點C的水平線相切于點C時，視角∠ACB最大，站在此處觀賞最理想．
A
B
C
H
O
A
B
C
A
B
C
D
C′
H
O
① ② ③
【數(shù)學(xué)思維】
小明同學(xué)想這是為什么呢？如圖②，他在過點C的水平線HC上任取異于點C的點C′，連接AC′交⊙O于點D，連接BD，BC′……
（1）按照小明的思路完成證明過程；
【問題解決】
（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點A距地面3米，最低處的點B距地面1.8米，最大視角為30°，求此時觀賞者站在距墻壁多遠(yuǎn)的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點C與地面的距離？
（3）如圖③，設(shè)墻壁上的展品最高處的點A距地面a米，最低處的點B距地面b米,觀賞者的眼睛點C距地面m米，直接寫出最佳觀賞距離CH的長．（用含a，b，m的代數(shù)式表示）
2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)情分析練習(xí)卷
九年級數(shù)學(xué)參考答案
說明：本評分標(biāo)準(zhǔn)每題給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，參照本評分標(biāo)準(zhǔn)的精神給分．
一、選擇題 (本大題共6小題，每小題2分，共12分)
二、填空題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分)eq\f({ eq\r( 7 )},3) \* MERGEFORMAT
7．4 8．(x－1) (x－2)＝0（不唯一） 9．65 10．10 11．－10
12．5 13． EQ \F(5,4)π 14．67.5° 15．x1＝－2，x1＝1＋EQ \R(,5) 16．EQ \R(,34)－2
三、解答題（本大題共11小題，共88分）
17．（8分）
解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0，1分
(x－3) 2＝13 ，2分
x－3＝±eq \r(13) ，3分
∴ x1＝3＋eq \r(13)，x2＝3－eq \r(13) ．4分
（2）3x(x－2)＝－2(x－2) ， 5分
3x(x－2)＋2(x－2)＝0 ，6分
(3x＋2) (x－2)＝0，7分
∴ x1＝－ EQ \F(2,3)，x2＝2．8分
（7分）
（1）80，86；2分
（2）＞；4分
（3）∵ EQ \\ac(\S\UP7(－),x)1＝ EQ \\ac(\S\UP7(－),x)2 ，S21＞S22，
∴兩個年級的學(xué)生成績實力相當(dāng)，但八年級學(xué)生成績更穩(wěn)定，選八年級學(xué)生參賽．
（∵七年級有兩位學(xué)生90分以上，最高分是99分，且七年級成績的中位數(shù)是87分比八年級的分?jǐn)?shù)高，
∴七年級的學(xué)生的中等水平較高，選擇七年級去參賽可能得高分．） 7分
19．（8分）
解：設(shè)邊AB的長為x m，
由題意得(24－3x)x＝45．4分
整理，得x2－8x＋15＝0．
解得x1＝3，x2＝5．6分
∵當(dāng)x＝3時，24－3x＝15，15＞10，
∴x＝3不符合題意，舍去．7分
答：邊AB的長為5 m．8分
20．（8分）
（1）證明：法1：∵(x－2m＋1)(x－1)＝0，1分
∴x1＝2m－1，x2＝1． 3分
∵當(dāng)m＝1時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
當(dāng)m≠1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，4分
∴不論m為何值，該方程總有實數(shù)根． 5分
法2：∵a＝1，b＝－2m，c＝2m－1，
∴b2－4ac＝(－2m)2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4 2分
＝4(m－1)2．3分
∵不論m為何值，b2－4ac＝4(m－1)2≥0，4分
∴不論m為何值，該方程總有實數(shù)根．5分
（2）解：法1：∵方程的一個根為是另一個根的兩倍，
又∵由（1）可知方程的一個根為1，6分
∴方程的另一個根為2或eq \f(1,2)．7分
∴方程的兩個根為x1＝eq \f(1,2)，x2＝1或x1＝1，x2＝2．8分
法2：∵方程的一個根為是另一個根的兩倍，
∴設(shè)一個根為t，則另一個根為2t，
∴t＋2t＝2m，t·2t＝2m－1．6分
2t2＝3t－1．
解得：t1＝eq \f(1,2)，t2＝17分
當(dāng)t＝eq \f(1,2)時，方程的兩個根為x1＝eq \f(1,2)，x2＝1，
當(dāng)t＝1時，方程的兩個根為x1＝1，x2＝2，
∴方程的兩個根為x1＝eq \f(1,2)，x2＝1或x1＝1，x2＝2．8分
21．（7分）
證明：∵AC是⊙O直徑，
∴∠B＝∠D＝90°. 2分
A
B
C
D
O
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
eq \b\lc\{(\a\al(AC＝AC，,AD＝BC．))
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA. 4分
∴AB＝CD.5分
∴四邊形ABCD是平行四邊形.6分
∴□ABCD是矩形.7分
22．（8分）
解：設(shè)降價的百分率為x，由題意得：
100(1－x)－100(1－x)2 ＝16，4分
整理得：x2－x＋0.16＝0．
解得：x1＝0.2，x2＝0.8（超過50%，舍去）．7分
答：降價百分率為20%．8分
A
B
C
O
23．（8分）
（1）如圖，OC即為所求．
4分
（2）如圖， eq \(\s\up 5(⌒),DE)即為所求．
A
B
C
D
O
A
B
D
E
O
方法1 方法2
24．（8分）
解：設(shè)定價為x元/件，由題意得：1分
(x－10)[1200－100(x－12)]＋4[1500－(2400－100x)]＝69004分
整理得：x2－38x＋345＝0，5分
解得：x1＝15，x2＝23．6分
當(dāng)x＝15時，“線上”銷量小于“線下”銷量，符合題意；
當(dāng)x＝23時，“線上”銷量大于“線下”銷量，不符合題意，舍去．7分
答：定價為15元/件．8分
（8分）
（1）②③；2分
（2）∵a＝1,b＝－(m＋2),c＝2m，
∴x1＋x2＝－ EQ \F(b,a)＝－(m＋2)，x1x2＝ EQ \F(c,a)＝2m．
方程x2－(m＋2)x＋2m＝0是“和諧方程”，
∴│－(m＋2)│＝│2m│4分
法1：∴ (m＋2)2＝4m2．
即3m2－4m－4＝0．
∴m＝2，m＝－EQ \F(2,3)．6分
法2：∴m＋2＝－2m，或 m＋2＝2m．
∴m＝2，m＝－EQ \F(2,3)．6分
（3）b2＝c2（或b＝±c）．8分
26．（8分）
（1）證明：∵四邊形FGCH是⊙O的內(nèi)接四邊形，
F
C
E
D
A
B
H
O
G
N
M
∴∠FGC＋∠FHC＝180°．
又∵∠FHD＋∠FHC＝180°，
∴∠FHD＝∠FGC．
∴∠FHD＝∠FGC．
∵FH＝FD，
∴∠FHD＝∠D．
∵在□ABCD中，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠FGC．
∴AB∥FG．
∵AF∥BG，
∴四邊形ABGF是平行四邊形．4分
（2）∵⊙O與AB，AD分別相切于點E，F(xiàn)，AE＝4，BE＝6，
∴BG＝AF＝AE＝4，F(xiàn)G＝10．5分
連接OE交FG于點M，過A作AN⊥FG于點N，
易證OE⊥AB，OE⊥FG，F(xiàn)M＝5，MN＝AE＝4，F(xiàn)N＝1．
在Rt△AFN中，AN＝eq \r(,15)．6分
∴EM＝AN＝eq \r(,15)．
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△FOM中，52＋(r－eq \r(,15))2＝r2，r＝ eq \f(4,3)eq \r(,15)． 8分
27．（10分）
（1）證明：∵∠ADB是△DBC′的外角，
∴∠ADB＞∠AC′B．
在⊙O中，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ACB＞∠AC′B，
∴在點C處，視角最大．3分
（2）過O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA．
由題意得：AB=3－1.8=1.2米，AB⊥HC，∠ABC＝30°，HC為⊙O切線．
A
H
C
B
E
O
N
M
∴在⊙O中，∠AOB＝2∠ACB＝60°，
A
H
C
B
E
O
N
M
又∵AO＝BO， ∴△AOB是等邊三角形，
∴AO＝BO=AB=1.2．
∵OE⊥AB， ∴AE＝BE＝ EQ \F(1,2)AB＝ eq \f(3,5)．
在Rt△OAE中，OE＝ eq \f(3,5)eq \r(,3)，
∵HC為⊙O切線，
∴OC⊥HC．∴∠OEA＝∠EHC＝∠OCH＝90°．
∴四邊形OEHC為矩形．
∴CH＝OE＝ eq \f(3,5)eq \r(,3)，即觀賞者站在距離墻壁 eq \f(3,5)eq \r(,3)米處最理想．7分
CN＝HM＝AM－AE－OC＝1.2，觀賞者的眼睛點C距地面的距離為1.2米．8分
（3）eq \r((a－m)(b－m))．10分 平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
七年級參賽學(xué)生成績
85.5
m
87
八年級參賽學(xué)生成績
85.5
85
n
題號
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
B
B
C
D

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