一、選擇題
1．已知集合，集合，則( )
A．B．C．D．
2．若則（）
A．B．C．D．
3．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，若且成等比數(shù)列，則( )
A．B．C．D．2
4．已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有成立，則的可能取值是( )
A．B．C．D．
5．對(duì)于平面凸四邊形ABCD，若，則四邊形ABCD的面積為( )
A．B．C．D．大小不確定
6．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．B．C．D．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)B，若，且，則雙曲線的離心率為( )
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是( )
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知事件A,B發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是( )
A．若A與B互斥，則
B．若A與B相互獨(dú)立，則
C．若，則A與B相互獨(dú)立
D．若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則
10．已知，且，則( )
A．B．
C．D．
11．設(shè)是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的有( )
A．B．
C．D．
三、填空題
12．若復(fù)數(shù)z滿足，則______.
13．若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為__________.
14．在如圖所示的直角梯形ABCD中，為梯形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最大值為______.
四、解答題
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求.
16．在中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.設(shè)向量，，且.
(1)求角B的大??；
(2)設(shè)D是邊AC上的一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，且，求線段BD的長.
17．已知a,b為實(shí)數(shù)，函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.
18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，平面PBC與平面PAD的交線為l.
(1)求證：平面PAC；
(2)設(shè)M為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，求線段PM長度的最小值；
(3)在(2)的條件下，當(dāng)線段PM的長最小時(shí)，求直線AM與平面PBC所成角的正弦值.
19．在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量的所有取值為，定義信息熵：
(1)若，且，求隨機(jī)變量的信息熵；
(2)若，求隨機(jī)變量X的信息熵；
(3)設(shè)X和Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，求證：.
參考答案
1．答案：C
解析：由題意可知：，
，
所以.
故選：C
2．答案：D
解析：
，
故選：D
3．答案：B
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差，
因?yàn)?，即?br>又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，
即，整理可得，
所以.
故選：B
4．答案：D
解析：因?yàn)椋?br>即，
可得，
可知函數(shù)的最小正周期，
且，即，解得.
故選：D
5．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>則，
可得，
設(shè)直線AC,BD的夾角為，
則，
可得，
所以四邊形ABCD的面積為.
故選：A
6．答案：A
解析：因?yàn)椋?br>則，
由題意可得對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
又因?yàn)椋?br>則，
可得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：A.
7．答案：B
解析：設(shè)，則，，
因?yàn)椋?br>則，
即，整理可得，
則，
又因?yàn)椋?br>即，
整理可得，
解得或（舍去），
所以雙曲線的離心率為.
故選：B
8．答案：D
解析：由題意可知：的定義域?yàn)?，且?br>由題意可知：有兩個(gè)不相等的正根，
顯然，即有兩個(gè)不相等的正根，
則，解得，
可得，
令，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
且當(dāng)a趨近于0時(shí)，趨近于，
即的值域?yàn)?，所以的取值范圍?
故選：D
9．答案：BC
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)锳與B互斥，則，
所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，A與B相互獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>所以，由相互獨(dú)立的定義知A與B相互獨(dú)立，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)锽發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，
所以，則，
所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：BC
10．答案：ABD
解析：對(duì)于A：因?yàn)?，且?br>若，則，則，不合題意，所以；
若，則，則，不合題意，所以；
綜上所述：，故A正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋瑒t，可得，
即，可得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由選項(xiàng)AC可知：，且，得，
即，且，
所以，故B正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?br>可得，
又因?yàn)椋?br>可得，
所以，故D正確；
故選：ABD
11．答案：ACD
解析：因?yàn)槭卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且，
可得：，且，，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且?br>則，
可得，
因?yàn)?，則，
可得，
所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?br>且，即，
則，即，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，
則，
由選項(xiàng)A可知：，
所以，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，則，
可得，即，
所以，故D正確；
故選：ACD
12．答案：
解析：由已知條件可知，
可得到，
化簡整理可得，
，
所以，
所以.
故答案為：
13．答案：
解析：函數(shù)是偶函數(shù)，則，，
化簡可得.當(dāng)時(shí)，則
所以，則，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，則.故答案為：
14．答案：
解析：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
且，可知點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，
可設(shè)，
可得，
若，
可得，
解得，
則，
其中，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，時(shí)，，
此時(shí)為第四象限角，符合題意，
取到最大值
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)椋?br>可得
令，
可得，
即，
由
可得，
且，
可知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則，
可得，即，
則，
且符合上式，
所以.
(2)由(1)可得：，
則，
可知是以首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，可得，
當(dāng)時(shí)，則，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵，
∴.
由正弦定理，得.
在三角形ABC中，，
所以，
∴，
所以.
(2)∵
∴.
∵，
∴.
兩邊同時(shí)除以ac，又，
∴.
又，
∴.
17．答案：(1)答案見解析
(2)
解析：(1)易知，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
此時(shí)在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由，得到，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
綜上，時(shí)，在R上單調(diào)遞增，時(shí)，
的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，，
由(1)知，要使對(duì)任意的恒成立，則，
且恒成立，
即恒成立，
得到，
所以，
令，則，
由，得到，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故的最小值為.
18．答案：(1)答案見解析
(2)
(3)
解析：(1)因?yàn)椋?br>所以，
而平面PAD，平面PAD，得平面PAD，
由平面PBC，平面平面，得，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，而，平面PAC，
得平面PAC，由，得平面PAC．
(2)如圖所示：
取CD的中點(diǎn)N，連接MN，則
，
而，
得，
得，
而，
由，
得，
由，當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，
則線段PM長度的最小值為：．
(3)當(dāng)線段PM的長最小時(shí)，，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示：
，
，
，，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，
由，得到，
取，得到，即，
設(shè)AM與平面PBC所成角為，
則．
19．答案：(1)1
(2)
(3)答案見解析
解析：(1)若，則隨機(jī)變量X的取值為1或2，
又，故，
，
所以隨機(jī)變量X的信息熵為1
(2)由題意，當(dāng)時(shí)，，
，
而，
，
令，
則，
兩式相減得
，
所以，
則.
(3)由題意，，
，
而且，，
所以
.

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