1．（3分）對(duì)于一元二次方程2x2+1＝3x，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．二次項(xiàng)系數(shù)是2B．一次項(xiàng)系數(shù)是﹣3x
C．常數(shù)項(xiàng)是1D．x＝1是它的一個(gè)根
2．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（3分）將拋物線y＝2x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時(shí)，配方后得的方程為（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
5．（3分）拋物線y＝﹣3的頂點(diǎn)為（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞且k≠1B．k＞C．k≥且k≠1D．k≥
7．（3分）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代數(shù)學(xué)家程大位．書中記載了一道“蕩秋千”問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉；良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“秋千靜止的時(shí)候，踏板離地1尺，將它往前推送兩步（兩步＝10尺）時(shí)，此時(shí)踏板升高離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問秋千繩索有多長(zhǎng)？”若設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
8．（3分）某公司2018年獲利潤(rùn)1000萬(wàn)元，計(jì)劃到2020年年利潤(rùn)達(dá)到1210萬(wàn)元設(shè)該公司的年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為x，下列方程正確的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1210
B．1210（1+x）2＝1000
C．1000（1+2x）＝1210
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1210
9．（3分）函數(shù)y＝ax2﹣x+2和y＝﹣ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在拋物線y＝x2+1上，試比較y1與y2的大小：y1 y2．
12．（3分）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為24m、寬為10m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若草坪部分的總面積為160m2，則小路的寬度為 m．
13．（3分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，則代數(shù)式4﹣2a2+6a的值為 ．
14．（3分）學(xué)校要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排10場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng) 個(gè)球隊(duì)參加比賽．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，移動(dòng)過程中始終保持DE∥BC，DF∥AC，則出發(fā) 秒時(shí)，四邊形DFCE的面積為20cm2．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
17．（7分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根x1，x2滿足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
18．（7分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）當(dāng)﹣2＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（9分）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．求：
（1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？
20．（9分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2個(gè)單位得到拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）．
（1）求平移后拋物線的解析式；
（2）設(shè)原拋物線與y軸的交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)為P，平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，求△BPM的面積．
21．（9分）信陽(yáng)位于中國(guó)南北地理分界線，地處淮河中上游，素有“北國(guó)江南，江南北國(guó)”美譽(yù)，自古雨水充沛，河流眾多，降雨量和人均水資源量久居河南第一，素以“水廣橋多”著稱，被譽(yù)為“千湖之市”．其中一座橋的橋洞形狀符合拋物線形狀，如圖1所示，橋墩高3米，拱頂A與起拱線BC相距4米，橋孔寬6米．
（1）若以起拱點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）河面的平均水位2米，信陽(yáng)游客服務(wù)部門打算建造河上觀賞船，故應(yīng)考慮船下水后的吃水線問題．額定載客后，觀賞船吃水線上面部分的截面圖為矩形EFGH（如圖2），當(dāng)船寬FG為3米時(shí)．①求吃水線上船高EF約多少米時(shí)，可以恰好通過此橋；②若考慮澇季水面會(huì)再往上升1米，則求此時(shí)吃水線上船高的設(shè)計(jì)范圍．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（13分）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅲ）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
23．（14分）問題情境
有一堵長(zhǎng)為am的墻，利用這堵墻和長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？
題意理解
根據(jù)題意，有兩種設(shè)計(jì)方案：一邊靠墻（如圖①）和一邊“包含”墻（如圖②）．
特例分析
（1）當(dāng)a＝12時(shí)，若按圖①的方案設(shè)計(jì)，則該方案中養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是 m2；若按圖②的方案設(shè)計(jì)，則該方案中養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是 m2．
（2）當(dāng)a＝20時(shí)，解決“問題情境”中的問題．
解決問題
（3）直接寫出“問題情境”中的問題的答案．
2024-2025學(xué)年廣東省東莞市九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（3分）對(duì)于一元二次方程2x2+1＝3x，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．二次項(xiàng)系數(shù)是2B．一次項(xiàng)系數(shù)是﹣3x
C．常數(shù)項(xiàng)是1D．x＝1是它的一個(gè)根
【分析】首先將原式化為一般式，然后根據(jù)一元二次方程的定義以及解的定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：原方程一般式為：2x2﹣3x+1＝0，
∴二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣3，常數(shù)項(xiàng)是1，A、C正確，B錯(cuò)誤，
當(dāng)x＝1時(shí)，2×12+1＝3，∴x＝1是它的一個(gè)根，D正確，
故選：B．
2．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根據(jù)b2﹣4ac與零的關(guān)系即可判斷出二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x+1的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)．
故選：B．
3．（3分）將拋物線y＝2x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．
【解答】解：將拋物線y＝2x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為y＝2（x﹣2）2+3，
故選：B．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時(shí)，配方后得的方程為（ ）
A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝2D．（x﹣1）2＝2
【分析】在本題中，把常數(shù)項(xiàng)﹣1移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣2的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2﹣2x＝1，
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1
配方得（x﹣1）2＝2．
故選：D．
5．（3分）拋物線y＝﹣3的頂點(diǎn)為（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
【分析】由拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），直接得到答案．
【解答】解：拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣3），
故選：A．
6．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞且k≠1B．k＞C．k≥且k≠1D．k≥
【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范圍是k＞且k≠1．
故選：A．
7．（3分）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代數(shù)學(xué)家程大位．書中記載了一道“蕩秋千”問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉；良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“秋千靜止的時(shí)候，踏板離地1尺，將它往前推送兩步（兩步＝10尺）時(shí)，此時(shí)踏板升高離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問秋千繩索有多長(zhǎng)？”若設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為 x 尺，根據(jù)題意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為 x 尺，根據(jù)題意可列方程為：x2＝102+（ x﹣4）2．
故選：D．
8．（3分）某公司2018年獲利潤(rùn)1000萬(wàn)元，計(jì)劃到2020年年利潤(rùn)達(dá)到1210萬(wàn)元設(shè)該公司的年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為x，下列方程正確的是（ ）
A．1000（1+x）2＝1210
B．1210（1+x）2＝1000
C．1000（1+2x）＝1210
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝1210
【分析】設(shè)年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為x，則2019年的利潤(rùn)是1000（1+x），2020年的利潤(rùn)是1000（1+x）（1+x），據(jù)此列出方程．
【解答】解：設(shè)年利潤(rùn)平均增長(zhǎng)率為x，則2019年的利潤(rùn)是1000（1+x），2020年的利潤(rùn)是1000（1+x）（1+x），
依題意得：1000（1+x）2＝1210．
故選：A．
9．（3分）函數(shù)y＝ax2﹣x+2和y＝﹣ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)所給二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)所給選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由所給一次函數(shù)圖象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以拋物線的開口向上，且對(duì)稱軸x＝．
故A選項(xiàng)符合題意．
由所給一次函數(shù)圖象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以拋物線的開口向上，且對(duì)稱軸x＝．
故B選項(xiàng)不符合題意．
由所給一次函數(shù)圖象可知，
﹣a＞0，
即a＜0，
所以拋物線的開口向下．
故C選項(xiàng)不符合題意．
由所給一次函數(shù)圖象可知，
﹣a＜0，
即a＞0，
所以拋物線的開口向上．
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)判定系數(shù)符號(hào)及運(yùn)用一些特殊點(diǎn)解答問題．
【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在y軸右邊可得：a，b異號(hào)，所以b＞0，
根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸可得：c＞0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確；
∵直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
兩式相加得，5a+b+2c＞0，故④正確；
∴結(jié)論正確的是②③④3個(gè)，
故選：B．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（3分）已知A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）都在拋物線y＝x2+1上，試比較y1與y2的大?。簓1 ＜ y2．
【分析】先求得函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝0，再判斷A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在對(duì)稱軸左側(cè)，從而判斷出y1與y2的大小關(guān)系．
【解答】解：∵函數(shù)y＝x2+1的對(duì)稱軸為x＝0，
∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在對(duì)稱軸左側(cè)，
∴拋物線開口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而減?。?br>∵﹣1＞﹣2，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
12．（3分）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為24m、寬為10m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若草坪部分的總面積為160m2，則小路的寬度為 2 m．
【分析】此題是典型的“平移”方法，將三條道路平移到場(chǎng)地的邊上，形成整體的草坪．再設(shè)修建的路寬應(yīng)為x米，根據(jù)題意可知：新草坪的仍然是矩形，這樣草坪面積可以建立，解方程即可．
【解答】解：如圖，設(shè)修建的小路寬應(yīng)為x米，
則新的草坪面積等于矩形DEFG的面積，
即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合題意，舍去，
所以修建的小路寬應(yīng)為2米．
故答案為：2．
13．（3分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，則代數(shù)式4﹣2a2+6a的值為 ﹣6 ．
【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2﹣3a＝5，再把4﹣2a2+6a變形為4﹣2（a2﹣3a），然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴a2﹣3a﹣5＝0，
∴a2﹣3a＝5，
∴4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．
故答案為﹣6．
14．（3分）學(xué)校要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排10場(chǎng)比賽，應(yīng)邀請(qǐng) 5 個(gè)球隊(duì)參加比賽．
【分析】設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，那么第一個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打（x﹣1）場(chǎng)球，第二個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打（x﹣2）場(chǎng)，以此類推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）場(chǎng)球，然后根據(jù)計(jì)劃安排10場(chǎng)比賽即可列出方程求解．
【解答】解：設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，
依題意得1+2+3+…+x﹣1＝10，
則＝10，
∴x2﹣x﹣20＝0，
∴解得：x1＝5，x2＝﹣4（不合題意，舍去）．
故答案為：5．
15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，移動(dòng)過程中始終保持DE∥BC，DF∥AC，則出發(fā) 1或5 秒時(shí)，四邊形DFCE的面積為20cm2．
【分析】設(shè)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)x秒時(shí)，則四邊形DFCE的面積為20cm2．根據(jù)S四邊形DECF＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BDF，就可以求出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)x秒時(shí)，則四邊形DFCE的面積為20cm2，由題意，得
，
解得：x1＝1，x2＝5．
故答案為：1或5．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】（1）先運(yùn)用因式分解法把原方程轉(zhuǎn)化為x+5＝0或x﹣1＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可；
（2）先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（7分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根x1，x2滿足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
【分析】（1）把方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2可轉(zhuǎn)化為x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0，利用判別式的意義得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解不等式；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再由（x1﹣2）（x2﹣2）＝11得到k2﹣1+4（k﹣1）+4＝11，解方程可得到滿足條件的k的值．
【解答】解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝2可轉(zhuǎn)化為x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0，
根據(jù)題意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4＝﹣8k+8≥0，
解得k≤1；
（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，
∴k2﹣1+4（k﹣1）+4＝11，
∴k2+4k﹣12＝0，
解得k1＝﹣6，k2＝2．
∵k≤1，
∴k的值為﹣6．
18．（7分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）當(dāng)﹣2＜x＜3時(shí)，求y的取值范圍．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（3）x＝﹣2比x＝3離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，則x＝﹣2時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝5為函數(shù)的最大值，而函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4），函數(shù)在此處取得最小值，即可求解．
【解答】解：（1）拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），且對(duì)稱軸為直線x＝1，
則拋物線和x軸另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（3）x＝﹣2比x＝3離對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)，
則x＝﹣2時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝5為函數(shù)的最大值，
而函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣4），函數(shù)在此處取得最小值，
即﹣4≤y＜5．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（9分）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．求：
（1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？
【分析】（1）設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，商場(chǎng)平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x件，進(jìn)而得到商場(chǎng)平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依據(jù)方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x的值；
（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件襯衫降價(jià)多少元．
【解答】解：（1）設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，商場(chǎng)平均每天盈利y元，
則y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
當(dāng)y＝1200時(shí)，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要盡快減少庫(kù)存，
所以x＝20，
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴當(dāng)x＝15時(shí)，y的最大值為1250，
答：當(dāng)每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，專賣店每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1250元．
20．（9分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2個(gè)單位得到拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）．
（1）求平移后拋物線的解析式；
（2）設(shè)原拋物線與y軸的交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)為P，平移后拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，求△BPM的面積．
【分析】（1）把點(diǎn)A代入平移后的拋物線y＝a（x﹣3）2﹣1來(lái)求a的值；
（2）根據(jù)平移前、后的函數(shù)解析式，然后求出B、P、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出△BPM的面積．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得 a＝2．
則平移后的拋物線解析式為：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的拋物線解析式為：y＝2（x﹣3）2﹣1，則M（3，0）．
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2個(gè)單位得到拋物線y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的拋物線解析式為：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，則y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM為直角三角形，
∴S△BPM＝BP?MP＝××＝．
21．（9分）信陽(yáng)位于中國(guó)南北地理分界線，地處淮河中上游，素有“北國(guó)江南，江南北國(guó)”美譽(yù)，自古雨水充沛，河流眾多，降雨量和人均水資源量久居河南第一，素以“水廣橋多”著稱，被譽(yù)為“千湖之市”．其中一座橋的橋洞形狀符合拋物線形狀，如圖1所示，橋墩高3米，拱頂A與起拱線BC相距4米，橋孔寬6米．
（1）若以起拱點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）河面的平均水位2米，信陽(yáng)游客服務(wù)部門打算建造河上觀賞船，故應(yīng)考慮船下水后的吃水線問題．額定載客后，觀賞船吃水線上面部分的截面圖為矩形EFGH（如圖2），當(dāng)船寬FG為3米時(shí)．①求吃水線上船高EF約多少米時(shí)，可以恰好通過此橋；②若考慮澇季水面會(huì)再往上升1米，則求此時(shí)吃水線上船高的設(shè)計(jì)范圍．
【分析】（1）易得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（6，0），那么拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝3，所以拱頂A坐標(biāo)為（3，4），為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用頂點(diǎn)式表示出拋物線的解析式，把（0，0）代入可得a的值，即可求得拋物線的解析式；
（2）①水深2米，橋墩高3米，可得FG在BC下方1米．所以把截面矩形EFGH放在拋物線的正中間，可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入（1）中得到的拋物線解析式，可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，加上起拱線下面的部分可得吃水線上船高EF約多少米時(shí)，可以恰好通過此橋；
（3）澇季水面會(huì)再往上升1米，船也向上升1米，那么吃水線上船高就要減少1米．
【解答】解：（1）由題意得：拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，0），（6，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3．
∴拱頂A的坐標(biāo)為（3，4），為拋物線的頂點(diǎn)．
設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x﹣3）2+4．
∵經(jīng)過點(diǎn)（0，0），
∴9a+4＝0．
解得：a＝﹣．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣3）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；
（2）①如圖，把船EFGH放在拋物線的正中間．
∵水深2米，橋墩高3米，
∴FG在起拱線下方1米處．
∵BC＝6米，EH＝3米，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：＝．
當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣（﹣3）2+4＝3．
∴吃水線上船高EF約為3+1＝4（米）．
答：吃水線上船高EF約為4米；
②∵澇季水面上升1米，
∴船也會(huì)上升1米．
∴船高應(yīng)不超過4﹣1＝3米．
答：此時(shí)吃水線上船高的設(shè)計(jì)范圍應(yīng)不超過3米．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（13分）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅲ）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（Ⅰ）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（Ⅲ）分點(diǎn)N在x軸下方和上方兩種情況進(jìn)行討論．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣；
（Ⅱ）∵拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣，
∴其對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣），
∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1﹣＝﹣，
∴P（2，﹣）；
（Ⅲ）存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形．
如圖2所示，
①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，C（0，﹣），
∴N1（4，﹣）；
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，
如圖，過點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，
在△AN2D與△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D＝OC＝，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
∴x2﹣2x﹣＝，
解得x＝2+或x＝2﹣，
∴N2（2+，），N3（2﹣，）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．
23．（14分）問題情境
有一堵長(zhǎng)為am的墻，利用這堵墻和長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？
題意理解
根據(jù)題意，有兩種設(shè)計(jì)方案：一邊靠墻（如圖①）和一邊“包含”墻（如圖②）．
特例分析
（1）當(dāng)a＝12時(shí)，若按圖①的方案設(shè)計(jì)，則該方案中養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是 288 m2；若按圖②的方案設(shè)計(jì)，則該方案中養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是 324 m2．
（2）當(dāng)a＝20時(shí)，解決“問題情境”中的問題．
解決問題
（3）直接寫出“問題情境”中的問題的答案．
【分析】（1）如圖，設(shè)：AB＝x，則BC＝60﹣2x，則0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，即可求解；
（2）如圖①，設(shè)AB＝xm，則BC＝（60﹣2x）m．所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450即可求解，如圖②，同理可解；
（3）分0＜a≤20、20＜a＜30、a≥30，三種情況求解即可．
【解答】解：（1）如圖，設(shè)：AB＝x，則BC＝60﹣2x，
則0＜60﹣2x≤12，即：24≤x＜30，
S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．
∵24≤x＜30，則x＝24時(shí)，S矩形ABCD取得最大值為288，
同理，圖②的方案設(shè)計(jì)，S矩形ABCD取得最大值為324，
故：答案為288，324；
（2）如圖①，設(shè)AB＝x m，則BC＝（60﹣2x） m．
所以S矩形ABCD＝x（60﹣2x）＝﹣2（x﹣15）2+450．
根據(jù)題意，得20≤x＜30．
因?yàn)椹?＜0，
所以當(dāng)20≤x＜30時(shí)，S矩形ABCD隨x的增大而減小．
即當(dāng)x＝20時(shí)，S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
如圖②，設(shè)AB＝x m，則BC＝（40﹣x） m．
所以S矩形ABCD＝x（40﹣x）＝﹣（x﹣20）2+400．
根據(jù)題意，得0＜x≤20．
因?yàn)椹?＜0，
所以當(dāng)x＝20時(shí)，
S矩形ABCD有最大值，最大值是400（m2）．
綜上，當(dāng)a＝20時(shí)，該養(yǎng)雞場(chǎng)圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為20 m的正方形時(shí)面積最大，最大面積是400 m2．
（3）①A：S＝（60﹣2x）x＝﹣2（x﹣15）2+450，
x＞0且0＜60﹣2x≤a，即≤x＜30，
（Ⅰ）當(dāng)＞15時(shí)，即a＜30，
當(dāng)x＝（60﹣a）時(shí)，Smax＝（﹣a2+60a）；
（Ⅱ）當(dāng)≤15時(shí)，即a≥30，
x＝15時(shí)，Smax＝450；
②B：S＝（﹣x）x，
x＞0且（60+a）﹣x＞a，即0＜x＜30﹣a，
（Ⅰ）當(dāng)（60﹣a）≤時(shí)，即a≥20，
當(dāng)x＝0時(shí)，S＝0，
當(dāng)x＝（60﹣a）時(shí)，Smax＝（﹣a2+60a）；
（Ⅱ）當(dāng)（60﹣a）＞（60+a）時(shí)，即a＜20，
當(dāng)x＝時(shí)，Smax＝；
綜上，當(dāng)0＜a＜20時(shí)，圍成邊長(zhǎng)為 m的正方形面積最大，最大面積是 m2．
當(dāng)20≤a＜30時(shí)，圍成兩鄰邊長(zhǎng)分別為a m， m的養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大，最大面積為m2．
當(dāng)a≥30時(shí)，當(dāng)矩形的長(zhǎng)為30 m，寬為15 m時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為450 m2．
備注：當(dāng)a＝20時(shí)，兩個(gè)方案的面積相同．

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