1．（3分）下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+5x+3B．a(chǎn)x2+5x+3＝0
C．x+5＝0D．x2+5x＝0
2．（3分）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝x2+1B．x2y＝1
C．y＝2x3﹣2（x﹣1）2D．y＝x﹣0.5
3．（3分）把方程x2+2x＝5化成一般式，則a、b、c的值分別是（ ）
A．1，﹣2，5B．1，2，﹣5C．0，2，5D．0，2，﹣5
4．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一個(gè)解，則m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．0D．0或4
5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，則x1?x2的值是（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
6．（3分）一元二次方程x2＝4的根情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D．沒有實(shí)數(shù)根
7．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝3B．（x﹣2）2＝﹣3C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝﹣5
8．（3分）將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
9．（3分）拋物線y＝﹣2x2+1的圖象上有兩點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（3，y2），則y1、y2的大小是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y(tǒng)2C．y1＞y2D．無法判斷
10．（3分）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
二、填空題（每小題4分，共6小題，共24分）
11．（4分）拋物線y＝﹣3x2+9的開口 （填“向上”或“向下”）．
12．（4分）有一個(gè)密碼程序系統(tǒng)，其原理由下面的框圖所示：當(dāng)輸出為14時(shí)，則輸入的x＝ ．
13．（4分）函數(shù)y＝（m﹣2）x2+mx﹣3是二次函數(shù)，則m的取值范圍是 ．
14．（4分）關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是 ．
15．（4分）某校組織籃球聯(lián)賽，每兩個(gè)隊(duì)之間比賽1場，共進(jìn)行了30場比賽，設(shè)參賽隊(duì)的數(shù)量為x，則可列方程為 ．
16．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的實(shí)數(shù)根x1，x2，滿足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，則m的取值范圍是 ．
三、解答題（一）（每小題6分，共3小題，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（6分）用公式法解方程：﹣2x2+2x+1＝0．
19．（6分）已知二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象如圖所示，求△ABO的面積．
四、解答題（二）（每小題7分，共3小題，共21分）
20．（7分）春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感．
（1）每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？
（2）經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患了流感？
21．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．
（1）若此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）已知x＝3是此方程的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及k的值．
22．（7分）一個(gè)直角三角形的兩直角邊長的和為14cm，其中一直角邊長為x（cm），三角形的面積為y（cm2）．
（1）直接寫出出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)x＝3時(shí)，求y的值．
五、解答題（三）（每題9分，共3小題，共27分）
23．（9分）已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)是每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映，如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件．設(shè)每件商品的銷售單價(jià)上漲了x元時(shí)，每個(gè)星期的銷售利潤為y元．
（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤恰為6090元？
24．（9分）如圖1，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m的建筑材料圍成．
（1）要使所圍矩形豬舍面積達(dá)到50m2，求豬舍的長和寬；
（2）農(nóng)戶想在現(xiàn)有材料的基礎(chǔ)上擴(kuò)建矩形豬舍面積達(dá)到60m2，小紅為該農(nóng)戶提出了一個(gè)意見：“為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門就行”，如圖2，請通過計(jì)算求小紅設(shè)計(jì)的豬舍的長和寬？
25．（9分）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．
（3）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？
2024-2025學(xué)年廣東省東莞市振安中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共10小題，共30分）
1．【解答】解：A．x2+5x+3不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2+5x+3＝0不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．方程x+5＝0是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程x2+5x＝0是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
2．【解答】解：對于選項(xiàng)A，
∵y＝x2+1符合二次函數(shù)的定義，
∴選項(xiàng)A符合題意；
對于選項(xiàng)B，
∵x2y＝1不符合二次函數(shù)的定義，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
對于選項(xiàng)C，
∵y＝2x3﹣2（x﹣1）2不符合二次函數(shù)的定義，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
對于選項(xiàng)D，
∵y＝x﹣0.5不符合二次函數(shù)的定義，
∴選項(xiàng)D不符合題意；
故選：A．
3．【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣5＝0，
則a，b，c的值分別是1，2，﹣5，
故選：B．
4．【解答】解：因?yàn)閤＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一個(gè)解，
所以22+2m+4＝0，
解得m＝﹣4．
故選：A．
5．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，
∴x1x2＝﹣1．
故選：C．
6．【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
故選：A．
7．【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
配方得x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
只有選項(xiàng)A符合題意；
故選：A．
8．【解答】解：∵拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，
∴平移后的解析式為：y＝x2+3．
故選：A．
9．【解答】解：由題意，∵A（﹣1，y1）、B（3，y2）在拋物線y＝﹣2x2+1上，
∴y1＝﹣2+1＝﹣1，y2＝﹣2×32+1＝﹣17．
∴y1＞y2．
故選：C．
10．【解答】解：設(shè)平均每天票房的增長率為x，
根據(jù)題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故選：D．
二、填空題（每小題4分，共6小題，共24分）
11．【解答】解：在拋物線y＝﹣3x2+9中，a＝﹣3＜0，
則拋物線y＝﹣3x2+9的開口向下，
故答案為：向下．
12．【解答】解：設(shè)輸出數(shù)為y，根據(jù)框圖得：y＝x2+5x，
把y＝14代入解析式得x2+5x＝14，
解得x1＝﹣7，x2＝2．
故答案為：﹣7或2．
13．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m﹣2）x2+mx﹣3是二次函數(shù)，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
故答案為：m≠2．
14．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m的取值范圍是m≠1．
故答案為：m≠1．
15．【解答】解：根據(jù)題意得： x（x﹣1）＝30．
故答案為： x（x﹣1）＝30．
16．【解答】解：依題意得：，
解得3＜m≤5．
故答案為：3＜m≤5．
三、解答題（一）（每小題6分，共3小題，共18分）
17．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
18．【解答】解：﹣2x2+2x+1＝0，
∵a＝﹣2，b＝2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣2）×1＝12＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
19．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∴△ABO的面積為：，
即△ABO的面積是1．
四、解答題（二）（每小題7分，共3小題，共21分）
20．【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人；
根據(jù)題意得，1+x+x（x+1）＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了8人．
（2）81×8+81＝729（人），
答：經(jīng)過三輪傳染后共有729人患了流感．
21．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2；
（2）∵x＝3是此方程的一個(gè)根，
∴代入方程得：9﹣6+k﹣1＝0，
解得：k＝﹣2，
∴原方程為：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
22．【解答】解：（1）∵直角三角形的兩直角邊長的和為14cm，且其中一直角邊長為x cm，
∴另一直角邊長為（14﹣x）cm．
根據(jù)題意得：y＝x（14﹣x），
即y＝﹣x2+7x．
∵，
∴0＜x＜14，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+7x（0＜x＜14）；
（2）當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣×32+7×3＝，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y的值為．
五、解答題（三）（每題9分，共3小題，共27分）
23．【解答】解：（1）y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，
∵300﹣10x≥0，
∴x≤30．
∴自變量x的取值范圍是0≤x≤30；
（2）令y＝6090得：﹣10x2+100x+6000＝6090．
解得：x＝1或x＝9．
60+1＝61，60+9＝69．
當(dāng)定價(jià)為61或69元時(shí)，每星期的銷售利潤恰為6090元．
24．【解答】解：（1）設(shè)矩形豬舍垂直于墻的一邊長為x m，則平行于墻的一邊長為（25﹣2x）m，
由題意得：x（25﹣2x）＝50，
整理得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1＝2.5（不符合題意，舍去），x2＝10，
∴25﹣2x＝25﹣20＝5，
答：豬舍的長為10m，寬為5m；
（2）設(shè)矩形豬舍垂直于墻的一邊長為y m，則平行于墻的一邊長為（25+1﹣2y）m，
由題意得：y（25+1﹣2y）＝60，
整理得：y2﹣13y+30＝0，
解得：y1＝3（不符合題意，舍去），y2＝10，
∴26﹣2y＝26﹣20＝6，
答：小紅設(shè)計(jì)的豬舍的長為10m，寬為6m．
25．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依題意有
（6﹣x）?2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)，x1，x2均符合題意．
故經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；
（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有
△ABC的面積＝×6×8＝24，
（6﹣y）?2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程無實(shí)數(shù)根，
∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；
（3）①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（0＜m≤4），
設(shè)經(jīng)過m秒，依題意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝5+不符合題意，舍去，
∴m＝5﹣；
②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（4＜n≤6），
設(shè)經(jīng)過n秒，依題意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
經(jīng)檢驗(yàn)，n＝5符合題意．
③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（k＞6），
設(shè)經(jīng)過k秒，依題意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
經(jīng)檢驗(yàn)，k1＝5﹣不符合題意，舍去，
∴k＝5+；
綜上所述，經(jīng)過（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面積為1cm2．

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