一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.曲線x225+y29=1與曲線x225?k+y29?k=1kb>0)的離心率為 22，上頂點為A(0,1)．
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點P(0, 3)且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點M，N，且|MN|=8 27，求k的值．
19.(本小題12分)
如圖1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分別為邊MB，MC的中點，且BC=AM=2，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如圖2，連接PB，PC．
(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)若E為PC的中點，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值；
(3)線段PC上一動點G滿足PGPC=λ(0≤λ≤1)，判斷是否存在λ，使二面角G?AD?P的正弦值為 1010，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.B
6.A
7.B
8.D
9.AD
10.ACD
11.CD
12.3
13.12
14.2 5
15.解：(1)由2x?y+1=03x+y+9=0解得x=?2y=?3，即P(?2,?3)，
因為直線5x?4y?1=0的斜率為54，
所以過點P且平行于直線5x?4y?1=0的直線l1的斜率為54，
所以直線l1為：y+3=54(x+2)，化簡得5x?4y?2=0．
(2)因為直線3x+4y?3=0的斜率為?34，
所以點P且垂直于直線3x+4y?3=0的直線l2的斜率為43
所以直線l2為：y+3=43(x+2)，化簡得4x?3y?1=0．
16.解：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)，點A的坐標(biāo)為(x0,y0)，
由于點B的坐標(biāo)為(6,5)，且點P是線段AB的中點，
所以x=x0+62，y=y0+52．
于是有x0=2x?6，y0=2y?5． ①
因為點A在圓C1:(x?4)2+(y?3)2=4上運動，
所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x?4)2+(y?3)2=4，
即(x0?4)2+(y0?3)2=4． ②
把 ①代入 ②，得(2x?6?4)2+(2y?5?3)2=4，
整理，得(x?5)2+(y?4)2=1，
所以點P的軌跡C2的方程為(x?5)2+(y?4)2=1．
(2)圓C1:(x?4)2+(y?3)2=4與圓C2:(x?5)2+(y?4)2=1的方程相減，
得2x+2y?19=0．
由圓C2:(x?5)2+(y?4)2=1的圓心為(5,4)，半徑r=1，
且(5,4)到直線2x+2y?19=0的距離d=|10+8?19| 22+22= 24，
則公共弦長|MN|=2 r2?d2=2 1?18= 142．

17.證明：(1)∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，AE⊥BE，
∴AE⊥平面BCDE，
在△ABE中，∵AB=2 3，BE=2，∴AE=2 2，
∵BC⊥BE且BC=BE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，
∠BEC=∠BCE=π4，∴EC=2 2，
∵BC/?/DE，∴∠CED=∠BCE=π4，
又∵EC=CD=2 2，∴△DCE為等腰直角三角形，DE=4，
∵△BOC∽△DOE，∵BODO=BCDE=12，
又∵BPPA=12，∴OP/?/AD，
∵OP?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OP/?/平面ACD．
解：(2)由(1)得AE⊥平面BCDE，且BE⊥DE，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,2 2)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，
AC=(2,2,?2 2)，AD=(0,4,?2 2)．
設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z)，則n?AC=2x+2y?2 2z=0n?AD=4y?2 2z=0，
令x=1，則y=1，z= 2，n=(1,1, 2)，
平面CDE的法向量為EA=(0,0,2 2)，
設(shè)二面角A?CD?E的平面角為θ，
則csθ=n?EA|n|?|EA|= 22，
則sinθ= 1?cs2θ= 22．
18.解：(1)因為橢圓E:x2a2 +y2b2 =1(a>b>0)的離心率為 22，上頂點為A(0,1)，
所以b=1，ca= 22，即c= 22a，
因為a2=b2+c2，解得a2=2，
所以橢圓E的方程為x22+y2=1；
(2)根據(jù)題意得直線l:y=kx+ 3，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，
則y=kx+ 3x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4 3kx+4=0，
Δ=(4 3k)2?4×4×(1+2k2)>0，即k2>1，∴x1+x2=?4 3k1+2k2，x1x2=41+2k2，
∴|MN|= 1+k2|x1?x2|= 1+k2 (x1+x2)2?4x1x2=4 (1+k2)(k2?1)1+2k2=8 27，
即17k4?32k2?57=0，解得：k2=3或?1917(舍去)，
∴k=± 3．
19.解：(1)∵A，D分別為MB，MC的中點，∴AD//BC，
∵BM⊥BC，∴BM⊥AD，∴PA⊥AD，
又PA⊥AB，AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD；
(2)由于AP，AB，AD兩兩垂直，于是以點A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，
∴PC=(2,2,?2),DE=(1,0,1),BD=(?2,1,0)，BP=(?2,0,2)，
設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z)，則n?BD=?2x+y=0n?BP=?2x+2z=0，則可取n=(1,2,1)，
∴cs=n?DE|n||DE|=2 2× 6= 33，
∴直線DE與平面PBD所成角的正弦值為 33；
(3)假設(shè)存在λ，使得二面角G?AD?P的正弦值為 1010，即二面角G?AD?P的余弦值為3 1010，
由(2)得，PG=λPC=(2λ,2λ,?2λ)(0≤λ≤1)，
∴G(2λ,2λ,2?2λ),AD=(0,1,0),AG=(2λ,2λ,2?2λ)，
易得平面PAD的一個法向量為μ=(1,0,0)，
設(shè)平面ADG的一個法向量為m=(a,b,c)，則m?AD=b=0m?AG=2λa+2λb+(2?2λ)c=0，
則可取m=(λ?1,0,λ)，
若二面角G?AD?P的余弦值為3 1010，
則|cs|=|μ?m||μ||m|=|λ?1 (λ?1)2+λ2|=3 1010，
解得λ1=?12,λ2=14，又0≤λ≤1，
∴λ=14，即存在λ=14，使二面角G?AD?P的正弦值為 1010．

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