一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若向量a=( 3,1)是直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.“λ=?1”是“直線l1:x+λy+9=0與l2:(λ?2)x+3y+3λ=0平行”的( )
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
3.已知直線l上有兩點A(1,2,3)，B(2,1,1)，平面α的一個法向量為n=(?3,2,m)，若l//α，則m=( )
A. 2B. 1C. ?12D. ?52
4.若直線(2t?3)x+y+9?3t=0不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)t的取值范圍是( )
A. (32,3)B. [32,3)C. [32,3]D. (32,3]
5.如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，AE=13AB,AF=13AD，AG=2GA1,AC1與平面EFG交于點M，則AMAC1=( )
A. 215
B. 15
C. 213
D. 413
6.已知m,n為直線x+y?1=0上的一點，則 m2+n2+ (m+2)2+n2的最小值為( )
A. 10B. 2 3C. 4D. 3 2
7.如圖所示是一個以AB為直徑，點S為圓心的半圓，其半徑為4，F(xiàn)為線段AS的中點，其中C，D，E是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個以S為頂點的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是( )
A. △CEF為正三角形B. SA⊥平面CEF
C. SD//平面CEFD. 點D到平面CEF的距離為2 3
8.如圖所示，已知A(?2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(?1,0)，F(xiàn)(1,0).一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點經(jīng)BC
反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍是( )．
A. (?∞,?2)B. (4,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知空間向量a=2,1,?1，b=3,4,5，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 5a= 3b
B. 2a+b/?/a
C. a⊥5a?6b
D. a在b上的投影向量為?310,?25,?12
10.以下四個命題為真命題的是( )
A. 過點(?10,10)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為y=?14x+152
B. 直線xcsθ+ 3y+2=0(θ∈R)的傾斜角的范圍是[0,π6]∪[5π6,π)
C. 直線x+y?1=0與直線2x+2y+1=0之間的距離是 2
D. 直線(m?1)x+(2m?1)y=m?3(m∈R)恒過定點(5,?2)
11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點M為CC1的中點，點P為正方形A1B1C1D1上的動點，則( )
A. 滿足MP//平面BDA1的點P的軌跡長度為 2
B. 滿足MP⊥AM的點P的軌跡長度為2 23
C. 存在唯一的點P滿足∠APM=π2
D. 存在點P滿足PA+PM=4
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點P1(2,3)、P2(?4,5)和A(?1,2)，則過點A且與點P1、P2距離相等的直線方程為______．
13.已知A(2,3)，B(?1,2)，若點P(x,y)在線段AB上，則yx?3的取值范圍是______．
14.如圖，二面角α?l?β的棱上有兩個點A，B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2 17，則平面α與平面β的夾角的余弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知直線l1：3x?2y+4=0與直線l2：2x?y+3=0相交于點P，且點P在直線l3：x?ay+a?2=0上．
(1)求點P的坐標和實數(shù)a的值；
(2)求與直線l2平行且與點P的距離為 5的直線方程．
16.(本小題12分)
如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，點D是BC1的中點，AC=1，BC=CC1=2，∠ACC1=90°，∠ACB=∠BCC1=60°，設(shè)CA=a，CB=b，CC1=c．
(1)用a，b，c表示AB，A1D；
(2)求異面直線AB與A1D所成角的余弦值．
17.(本小題12分)
如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，且AD=DC= 22AC，四邊形ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，且AF=AD．
(1)求證：AD⊥平面EDC；
(2)求平面BEF與平面CDE 夾角的余弦值．
18.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD，PA=PD=AD=AB=2，BD=BC=CD=2 3，E為PC的中點．
(1)證明：直線BE//平面PAD；
(2)若平面PBD⊥平面ABCD，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．
19.(本小題12分)
人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù).主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則歐幾里得距離D(A,B)= (x1?x2)2+(y1?y2)2；曼哈頓距離d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|，余弦距離e(A,B)=1?cs(A,B)，其中cs(A,B)=cs?OA,OB?；(O為坐標原點)．
(1)若A(?1,2)，B(35,45)，求A，B之間的曼哈頓距離d(A,B)和余弦距離e(A,B)；
(2)若點M(2,1)，d(M,N)=1，求e(M,N)的最大值；
(3)已知點P，Q是直線l：y?1=k(x?1)上的兩動點，問是否存在直線l使得d(O,P)min=D(O,Q)min，若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程，若不存在，請說明理由．
參考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.AC
10.BD
11.AC
12.x+3y?5=0或x=?1
13.[?3,?12]
14.12
15.解：(1)由3x?2y+4=02x?y+3=0，解得x=?2y=?1，所以l1與l2的交點為P(?2,?1)．
將P(?2,?1)代入直線l3：x?ay+a?2=0，得?2+a+a?2=0，解得a=2；
(2)直線l2：2x?y+3=0，設(shè)與直線l2平行的直線為l：2x?y+c=0．
因此點P到直線l的距離d=|?3+c| 5= 5，即|?3+c|=5，解得c=8或?2，
即所求直線的方程為2x?y?2=0或2x?y+8=0．
16.解：(1)由圖可得AB=CB?CA=b?a，
A1D=C1D?C1A1=12C1B+C1A1=12(b?c)+a=a+12b?12c，
(2)∵三棱柱ABC?A1B1C1，∴四邊形ACC1A1是平行四邊形，
又因為∠ACC1=90°，所以四邊形ACC1A1是矩形，∴AC⊥AA1，
∵BC=2，AC=1，∠ACB=60°，∴由余弦定理可得AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cs60°，
∴AB= 3，故BC 2=AC2+AB2，∴AC⊥AB，AB∩AA1=A，∴AA1⊥面ABB1A1，

連接B1D，BA1，∵∠BCC1=60°，BC=CC1=2，∴BC1=2，
∴△BCC1和△BB1C1為正三角形，∴A1D=1，B1D=A1B1= 3，
cs∠DA1B1=A1D2+A1B12?DB122A1D?A1B1= 36，
∵AB/?/A1B1，∴異面直線AB與A1D所成角的余弦值為 36．
17.(1)證明：因為四邊形ACEF是矩形，所以EC⊥AC ．
又因為平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，EC?平面ACEF，所以EC⊥平面ABCD，
又因為AD?平面ABCD，所以EC⊥AD，
因為AD=DC= 22AC，可AD2+DC2=( 22AC)2+( 22AC)2=AC2，
所以AD⊥DC，又因為EC∩DC=C，且EC,DC?平面EDC，
所以AD⊥平面EDC．
(2)解：由題意及(1)知AF//CE且EC⊥平面ABCD，所以AF⊥平面ABCD，
由已知條件可知AB⊥AD，所以AB，AD，AF，兩兩垂直，
以A點為坐標原點，以AB 所在直線為x軸，AD 所在直線為y軸，AF所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
設(shè)AC= 2，則AD=DC=AF=1，
可得A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，E1,1,1，F(xiàn)0,0,1，
則BE=0,1,1，BF=?1,0,1，
由(1)知，AD⊥平面EDC，
所以平面EDC的一個法向量為m=AD=(0,1,0)，
設(shè)平面BEF的法向量為n=x,y,z，則n?BE=y+z=0n?BF=?x+z=0,
令x=1，則y=?1，z=1，所以n=1,?1,1，
設(shè)所求的銳二面角為θ，則cs θ=m?n|m||n|=11× 3= 33，
即平面BEF與平面CDE 夾角的余弦值為 33．

18.解：(1)證明：
取CD的中點M，連接EM，BM，
因為BD=BC=CD=2 3，
所以BM⊥CD，
因為AD=AB=2，BD=2 3，
所以∠ADB=∠ABD=30°，∠ADC=90°，
則BM//AD，
又因為BM?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BM//平面PAD
因為E為PC的中點，M為CD的中點，
所以EM//PD，
又因為EM?平面PAD，PD?平面PAD，
所以EM//平面PAD，
又因為EM∩BM=M，且EM,BM?平面BEM，
所以平面BEM//平面PAD，
而BE?平面BEM，故BE//平面PAD；
(2)因為平面PBD⊥平面ABCD，連接AC交BD于點O，連PO，
由對稱性知，O為BD中點，且AC⊥BD，
如圖，以O(shè)為坐標原點，OC的方向為x軸正方向，OB的方向為y軸正方向，過點O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則D0,? 3,0，B0, 3,0，
C3,0,0，A?1,0,0，
設(shè)P0,a,b，則PA2=1+a2+b2=4，
PD2=a+ 32+b2=4，
得a=? 33，b=2 63，
即P0,? 33,2 63，
設(shè)平面PCD的一個法向量為n=x,y,z，
由于DC=3, 3,0，DP=0,2 33,2 63，
則n?DC=0n?DP=0，得3x+ 3y=02 3y+2 6z=0,
令y=? 6，得x= 2，z= 3，
故平面PCD的一個法向量為n= 2,? 6, 3，
設(shè)直線AB與平面PCD所成角為θ，
由于AB=1, 3,0，
則sin θ=|AB?n|AB|·|n||=| 2?3 22× 11|= 2211，
故直線AB與平面PCD所成角的正弦值為 2211．

19.解：(1)d(A,B)=|?1?35|+|2?45|=8+65=145，
cs(A,B)=cs?OA,OB?=OA?OB|OA||OB|=?35+85 5×1= 55，
e(A,B)=1?cs(A,B)=1? 55=5? 55；
(2)設(shè)N(x,y)，由題意得：d(M,N)=|2?x|+|1?y|=1，
即|x?2|+|y?1|=1，而|x?2|+|y?1|=1表示的圖形是正方形ABCD，

其中A(2,0)、B(3,1)、C(2,2)、D(1,1)．
即點N在正方形ABCD的邊上運動，OM=(2,1)，ON=(x,y)，
可知：當cs(M,N)=cs取到最小值時，最大，相應(yīng)的e(M,N)有最大值，
因此，點N有如下兩種可能：
①點N為點A，則ON=(2,0)，可得cs(M,N)=cs=42× 5=2 55；
②點N在線段CD上運動時，此時ON與DC=(1,1)同向，取ON=(1,1)，
則cs(M,N)=cs=3 5× 2=3 1010，
因為3 1010>2 55，所以e(M,N)的最大值為1?2 55．
(3)易知D(O,P)min=|1?k| k2+1，設(shè)P(x,k x?k+1)，則d(O,P)=?(x)=|x|+|k x?k+1|，
當k=0時，d(O,P)=?(x)=|x|+|1|，則d(O,P)min=1，D(O,P)min=1，滿足題意；
當k≠0時，d(O,P)=?(x)=|x|+|kx?k+1|=|x|+|k|?|x?k?1k|，
由分段函數(shù)性質(zhì)可知d(O,P)min=min(?(0),?(k?1k))，
又?(0)=|1?k|≥|1?k| k2+1且?(k?1k)=|k?1k|≥|1?k| k2+1恒成立，當且僅當k=1時等號成立，
綜上，滿足條件的直線有且只有兩條，l：y=1和y=x．

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