1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-2，1，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A.（-2，1，-4）B.（2，1，4）C.（-2，-1，-4）D.（2，-1，4）
2.已知直線：，：，若，則（ ）
A.-1或2B.1C.1或-2D.-2
3.直線：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為（ ）
A.B.2C.D.
4.在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A.B.C.D.
5.若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為（-1，2，3），則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
6.點(diǎn)P在直線：上運(yùn)動(dòng)，，，則的最大值是（ ）
A.B.C.3D.4
7.在空間中，“經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”.用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為分別和，則這兩平面所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.
8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（共4題，每題5分）
9.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.向量與向量的夾角為B.
C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量，共面
10.已知直線：與圓C：相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則（ ）
A.圓心C的坐標(biāo)為（1，0）B.圓C的半徑為
C.圓心C到直線7的距離為2D.
11.已知圓C：，直線：，則以下命題正確的有（ ）
A.直線恒過(guò)定點(diǎn)（3，0）
B.y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為
C.直線與圓C恒相交
D.直線/被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線的方程為
12.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.B.
C.與夾角是60°D.直線與直線的距離是
三、填空題（共4題，每題5分）
13.已知向量，，且與互相垂直，則的值是_________.
14.過(guò)點(diǎn)且與圓C：相切的直線方程為_(kāi)________.
15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如下圖，四面體為鱉臑，平面，，且，則二面角的余弦值為_(kāi)________.
16.已知點(diǎn)和直線：，則點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍是_________.
四、解答題（共6題，總分70分）
17，（10分）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，.
（1）求的面積；
（2）求外接圓的方程.
18.（12分）已知直線：，直線：.
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值，
19.（12分）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)B至直線的距離：
（2）求直線到平面的距離.
20.（12分）如圖，在多面體中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值，
21.（12分）一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)?
22.（12分）圖1是邊長(zhǎng)為的正方形，將沿折起得到如圖2所示的三校錐，且.
（1）證明：平面平面；
（2）點(diǎn)M是棱上不同于P，A的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.
參考答案：
1.C
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（-2，1，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1，-4）.
故選：C.
2.B
【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).
【詳解】因?yàn)?，：，：?br>所以，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，：，：，直線，重合，不滿足要求，
當(dāng)時(shí)，：，：，直線，平行，滿足要求，
故選：B.
3.B
【分析】依題意，作出圖形，求出圓心坐標(biāo)和半徑，過(guò)圓心作于D，分別計(jì)算和，即可求得的面積.
【詳解】
如圖，由圓：配方得，，知圓心為，半徑為2，
過(guò)點(diǎn)作于D，由到直線：的距離為，
則，
故的面積為.
故選：B.
4.A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法求解即可.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：A.
5.A
【分析】借助待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標(biāo)計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，
設(shè)，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.
故選：A.
6.A
【分析】作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.
【詳解】設(shè)B關(guān)于：的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即
故，，
當(dāng)且僅當(dāng)，P，A，C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A
7.B
【分析】由定義得出兩直線的法向量，數(shù)量積公式求出法向量的夾角余弦值.
【詳解】平面的法向量為而，平面的法向量為，
則，則兩平面所成角的余弦值為，
故選：B.
8.C
【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.
【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，
化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)M的軌跡為圓E：，
如圖，過(guò)點(diǎn)O作圓E的切線，連接，則，，
所以，同理，
則直線的斜率范圍為.
故選：C.
9.ABD
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯(cuò)誤，得出向量共面判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以，即B正確；
根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為
，，所以C錯(cuò)誤；
由向量，，，可知，
向量與向量，共面，所以D正確.
故選：ABD
10.ACD
【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷D.
【詳解】對(duì)于AB，圓C：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；
對(duì)于D，，D正確.
故選：ACD
11.CD
【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷選項(xiàng)A；求出圓和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判選項(xiàng)B；利用定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過(guò)圓心從而判項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，直線：，即，
由，解得，，故直線過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，圓C：，當(dāng)時(shí)，，故y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直過(guò)定點(diǎn)，，故點(diǎn)P在圓內(nèi)，則直線與圓C恒相交，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)直線被圓C截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，直線過(guò)圓心（1，2），則，解得，
故直線方程為：，即，故D正確.
故選：CD
12.ABD
【分析】設(shè)，，，依題得，，運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷A，B兩項(xiàng)；利用向量夾角的公式計(jì)算排除C項(xiàng)：利用空間向量關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可驗(yàn)證D項(xiàng).
【詳解】
如圖，設(shè)，，，
則，，
對(duì)于A，因，，
則，故A正確；
對(duì)于B，因，，
則，故B正確；
對(duì)于C，，，則，
且，，
設(shè)與夾角為，則，
因，則，
即C錯(cuò)誤：
對(duì)于D，在平行六面體中，易得，，
則得，故，故點(diǎn)到直線的距離即直線與直線的距離.
因，，
且，，
則，故D正確.
故選：ABD.
13./1.4
【分析】向量的垂直用坐標(biāo)表示為，代入即可求出答案.
【詳解】，
.
因?yàn)榕c互相垂直，
所以，
即，
解得：.
故答案為：.
14.或
【分析】分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可得解.
【詳解】解：將圓C方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為是圓C的切線，滿足題意：
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，
可設(shè)直線方程為，即，
利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，
即此直線方程為，
故答案為：或.
15./0.5
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面與平面的法向量，然后利用公式計(jì)算即可.
【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，，，，
所以，，，.
設(shè)平面的法向量為
，∴
不妨設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為
，∴
不妨設(shè)，則，，
設(shè)為，則.
故答案為：.
16.
【分析】先求得直線的定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)P到直線的最大距離，然后檢驗(yàn)點(diǎn)是否可能在直線上即可
【詳解】：可化為：
設(shè)直線的定點(diǎn)為A，點(diǎn)P到直線的距離為d，則有：
可得：為直線的定點(diǎn)
則有：，此時(shí)為點(diǎn)P到直線的最大距離
若在直線上，則有：，即-5=0
可得：不可能在直線上，則有：
綜上可得：
故答案為：.
17.（1）
（2）
【分析】（1）利用斜率可得，則，由已知數(shù)據(jù)求解即可；
（2）由，外接圓是以線段為直徑的圓，求出圓心和半徑即可得外接圓的方程.
【詳解】（1）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，
直線的斜率，直線的斜率，
則，即.
，，
.
（2）由，外接圓是以線段為直徑的圓，
線段的中點(diǎn)為，半徑，
所以外接圓的方程是.
18.（1）
（2）或，
【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計(jì)算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；
（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計(jì)算即可求參
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>整理得，
解得或.
當(dāng)時(shí)，：，：，，重合；
當(dāng)時(shí)，：，：，符合題意.
故.
（2）因?yàn)?，所以?br>解得或.
19.（1）
（2）
【分析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，用向量法求解即可；
（2）用向量法求解即可
【詳解】（1）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則，，，，，，
∴，，，，，，
取，，
，，
則點(diǎn)B到直線的距離為.
（2）∵，∴，
而平面，平面，
∴平面，
∴點(diǎn)F到平面的距離即為直線到平面的距離，
設(shè)平面的法向量為，則，
∴，
∴，取，則，，
∴，
又，
∴點(diǎn)到平面的距離為.
20.（1）證明見(jiàn)詳解
（2）
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)及平面平面，可得平面，即，取的中點(diǎn)，連接，可證得，即可求證；
（2）以D為原點(diǎn)，以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可得為平面的一個(gè)法向量，再求得平面的一個(gè)法向量，求解即可.
【詳解】（1）在正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
取的中點(diǎn)M，連接，由，，，
所以四邊形為正方形，則，，即，
又，是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，
（2）∵，，，
又平面，
易得，，兩兩互相垂直，
以為原點(diǎn)，以，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，可得，，，，
則，.
由（1）知為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，得，令，解得，，
所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
∴.
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
21.不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)
【分析】以小島的中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，取10km為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（4，0），則可得暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程和輪船航線所在直線的方程，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.
【詳解】以小島的中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們?nèi)?0km為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（4，0）.
這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，則圓心，半徑為2，
輪船航線所在直線的方程為，即，
因?yàn)閳A心到直線的距離，
所以直線與圓O相離，所以輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).
22.（1）證明見(jiàn)解析；
（2）
【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；
（2）根據(jù)（1）中所證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得M的坐標(biāo)，以及兩個(gè)平面的法向量，利用夾角公式，即可求得參數(shù)的值.
【詳解】（1）由于正方形的邊長(zhǎng)為，所以.
取的中點(diǎn)，連接，，
由題意，得，
再由，可得，即.
由題易知，
又，面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，
故以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，.
所以，，
由題意知，所以.
所以.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，得；
設(shè)平面的法向量為，
，令，得；
則，
設(shè)，，則上式可化為，
即，所以（舍去），
所以，解得.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
A
A
B
C
ABD
ACD
題號(hào)
11
12
答案
CD
ABD

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