2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(知識+真題+11類高頻考點)(精講)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11771" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc11771 \h 2
\l "_Tc28713" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc28713 \h 4
\l "_Tc5023" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc5023 \h 5
\l "_Tc2030" 高頻考點一：三角函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc2030 \h 5
\l "_Tc30939" 高頻考點二：三角函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc30939 \h 6
\l "_Tc16052" 高頻考點三：三角函數(shù)的周期性 PAGEREF _Tc16052 \h 7
\l "_Tc23739" 高頻考點四：三角函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc23739 \h 8
\l "_Tc18337" 高頻考點五：三角函數(shù)的對稱性 PAGEREF _Tc18337 \h 9
\l "_Tc15595" 高頻考點六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間） PAGEREF _Tc15595 \h 11
\l "_Tc27724" 高頻考點七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?PAGEREF _Tc27724 \h 12
\l "_Tc23770" 高頻考點八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)） PAGEREF _Tc23770 \h 13
\l "_Tc18898" 高頻考點九：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合） PAGEREF _Tc18898 \h 14
\l "_Tc22257" 高頻考點十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合） PAGEREF _Tc22257 \h 15
\l "_Tc17329" 高頻考點十一：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合） PAGEREF _Tc17329 \h 16
\l "_Tc20616" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc20616 \h 17
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)
2、三角函數(shù)的周期性
(1)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為，函數(shù)()的最小正周期．
(2)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為．函數(shù)()的最小正周期均為．
(3)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)|的周期為，函數(shù)() 的最小正周期均為．
3、三角函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(2)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(3)函數(shù)是奇函數(shù)?()．
4、三角函數(shù)的對稱性
(1)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(2)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(3)函數(shù)的圖象的對稱中心由)解得．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷理）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）
A．B．C．D．
2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
3．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．
4．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

5．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：三角函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
例題3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．
例題4．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為 .（用區(qū)間表示結(jié)果）
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知的定義域是，則的定義域為（）
A．B．
C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y＝的定義域為．
3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為 .
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函數(shù)的定義域為 .
高頻考點二：三角函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一下·河北承德·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
例題3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．則= ；函數(shù)的最小值為．
例題4．（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．
練透核心考點
1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)，的值域為（）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的值域為．
3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的值域為 .
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域為．
高頻考點三：三角函數(shù)的周期性
典型例題
例題1．（23-24高一下·北京·期中）函數(shù)的最小正周期是（）
A．4πB．2πC．πD．
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4
例題3．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）下列四個函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
例題4．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，那么函數(shù)最小正周期為；對稱軸方程為 .
練透核心考點
1．（23-24高一上·山東聊城·期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則的周期為，實數(shù) .
高頻考點四：三角函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù)，則為（）
A．B．C．D．
例題2．（2024·陜西西安·一模）將函數(shù)的圖象向左平移m（）個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則m的值可以是（）．
A．B．πC．D．
例題3．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為．
練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則寫出a的一個可能值為．
高頻考點五：三角函數(shù)的對稱性
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（）
A．B．C．D．
例題2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對稱軸為（）
A．直線B．直線C．直線D．直線
例題3．（23-24高一上·山西長治·期末）函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（）
A．B．C．D．
例題4．（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法不正確的是（）
A．定義域為B．最小正周期是
C．圖象關(guān)于成中心對稱D．在定義域上單調(diào)遞增
練透核心考點
1．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以點為對稱中心的函數(shù)是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·陜西榆林·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
4．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為．
高頻考點六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值，并求出函數(shù)取得最小值的x的集合．
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
例題2．（23-24高一上·廣東陽江·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
例題3．（22-23高一·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，其中，（，），的部分圖像如下圖．
(1)求，，的值；
(2)求的單調(diào)增區(qū)間，
練透核心考點
1．（21-22高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間
2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù) 的圖象關(guān)于點對稱.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求不等式的解集.
3．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較與的大小.
高頻考點七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br>典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南張家界·期末）若，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
例題2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)，，，則有（）
A．B．
C．D．
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列各式正確的是（）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cs (－)＞cs (－)
D．sin (－)＜sin (－)
練透核心考點
1．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
2．（多選）（23-24高一上·全國·期末）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）與的大小關(guān)系是（填：“或=”中的一個）.
高頻考點八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）
例題3．（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．
練透核心考點
1．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（）
A．B．C．D．
2．（多選）（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有2個零點，則ω的取值范圍是 .
高頻考點十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合）
典型例題
例題1．（2024·吉林延邊·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高三上·河北承德·期中）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
例題3．（2023·湖南永州·一模）已知函數(shù)，若，在區(qū)間上沒有零點，則的取值共有（）
A．4個B．5個C．6個D．7個
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)的初始相位為，若在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
3．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為．
高頻考點十一：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例題2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，則的值可以是（）
A．1B．C．2D．
例題3．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，其中，，且在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍為．
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）若函數(shù)在有最小值，沒有最大值，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為－2，則的取值范圍是．
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且，將函數(shù)的圖象向左平移個單位所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)在取得極大值，則的值為 .
第四部分：新定義題
1．（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，稱為函數(shù)的“相伴向量”．
(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的相伴向量；
(2)記的“相伴函數(shù)”為，若方程在區(qū)間上有且僅有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱中心
對稱軸方程
無
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
函數(shù)
周期
函數(shù)
周期
函數(shù)
()
()
()
周期
其它特殊函數(shù)，可通過畫圖直觀判斷周期
三角函數(shù)
取何值為奇函數(shù)
取何值為偶函數(shù)
()
()
()
()
()
第05講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11771" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc11771 \h 1
\l "_Tc28713" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc28713 \h 3
\l "_Tc5023" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc5023 \h 7
\l "_Tc2030" 高頻考點一：三角函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc2030 \h 7
\l "_Tc30939" 高頻考點二：三角函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc30939 \h 10
\l "_Tc16052" 高頻考點三：三角函數(shù)的周期性 PAGEREF _Tc16052 \h 15
\l "_Tc23739" 高頻考點四：三角函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc23739 \h 19
\l "_Tc18337" 高頻考點五：三角函數(shù)的對稱性 PAGEREF _Tc18337 \h 22
\l "_Tc15595" 高頻考點六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間） PAGEREF _Tc15595 \h 25
\l "_Tc27724" 高頻考點七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?PAGEREF _Tc27724 \h 31
\l "_Tc23770" 高頻考點八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)） PAGEREF _Tc23770 \h 34
\l "_Tc18898" 高頻考點九：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合） PAGEREF _Tc18898 \h 38
\l "_Tc22257" 高頻考點十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合） PAGEREF _Tc22257 \h 42
\l "_Tc17329" 高頻考點十一：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合） PAGEREF _Tc17329 \h 45
\l "_Tc20616" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc20616 \h 48
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)
2、三角函數(shù)的周期性
(1)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為，函數(shù)()的最小正周期．
(2)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)的周期為．函數(shù)()的最小正周期均為．
(3)函數(shù)的最小正周期．應(yīng)特別注意函數(shù)|的周期為，函數(shù)() 的最小正周期均為．
3、三角函數(shù)的奇偶性
(1)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(2)函數(shù)是奇函數(shù)?()，是偶函數(shù)?()；
(3)函數(shù)是奇函數(shù)?()．
4、三角函數(shù)的對稱性
(1)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(2)函數(shù)的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由()解得；
(3)函數(shù)的圖象的對稱中心由)解得．
第二部分：高考真題回顧
1．（2023·全國·乙卷理）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.
【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：
A選項中，B選項中，
C選項中，D選項中，
排除選項CD，
對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，
故選：B.
3．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】
令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】
因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
4．（2023·全國·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

【答案】
【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
5．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1).
(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：三角函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式的被開方數(shù)非負和分式的分母不為零，列不等式組可求得結(jié)果.
【詳解】要使有意義，需滿足，
解得且．
所以定義域為.
故選：B．
例題2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，其中有意義，
則滿足，其中，即，其中，
解得，即函數(shù)的定義域為.
故選：C.
例題3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）求函數(shù)的定義域．
【答案】
【分析】利用正切函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
例題4．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為 .（用區(qū)間表示結(jié)果）
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，偶次方根下大于等于零及正切函數(shù)的定義域列式求解即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，
只需，所以，，
即，，
所以或，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知的定義域是，則的定義域為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的定義域，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】因為的定義域是，
對于函數(shù)，有，可得，
解得，
因此，函數(shù)的定義域為.
故選：D.
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y＝的定義域為．
【答案】
【詳解】
由sin x≠cs x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，
所以函數(shù)y＝的定義域為.
3．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為 .
【答案】.
【分析】根據(jù)題意，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，則滿足，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
4．（23-24高一上·湖北孝感·期末）函數(shù)的定義域為 .
【答案】
【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，
所以，則，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
高頻考點二：三角函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【詳解】由題意可知：
，
當(dāng)時，則，所以
故選：B.
例題2．（23-24高一下·河北承德·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定函數(shù)，結(jié)合周期性，在長為一個周期的區(qū)間內(nèi)探討使得的函數(shù)性質(zhì)即可得解.
【詳解】函數(shù)的周期為，由，得，
即，解得，
在長為一個周期的區(qū)間上，取，得，當(dāng)時，，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由在上的值域為，則當(dāng)時，，于是，
當(dāng)時，，于是，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題3．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．則= ；函數(shù)的最小值為．
【答案】 /
【分析】
先化簡，然后計算，換元，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】，
則，
令，
則，對稱軸為，
故最小值為.
故答案為：；.
例題4．（23-24高一上·山西陽泉·期末）已知函數(shù)．
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．
【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)時取得最小值，時取得最大值
【分析】（1）化簡的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.
【詳解】（1）
，
．
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：
，
，
．
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：
（2）由得，，
當(dāng)，即時，取得最小值為，
當(dāng)，即時取得最大值為1．
練透核心考點
1．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）函數(shù)，的值域為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求出的范圍，再由正切函數(shù)的性質(zhì)求出范圍，再乘以3即可.
【詳解】
故選：C.
2．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為．
【答案】
【分析】利用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】令，則，
易知開口向上，對稱軸為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以的值域為.
故答案為：.
3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】化簡可得，令且，所以函數(shù)的值域等價于在區(qū)間上的值域，利用二次函數(shù)求出在區(qū)間上的值域即可.
【詳解】由題可得：
，令，則，令，
所以函數(shù)的值域等價于在區(qū)間上的值域，
由于，所以當(dāng)時，，，
則函數(shù)的值域為，
故答案為：
4．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數(shù)，的值域為．
【答案】
【分析】首先確定的范圍，結(jié)合二次函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
，的值域為.
故答案為：.
高頻考點三：三角函數(shù)的周期性
典型例題
例題1．（23-24高一下·北京·期中）函數(shù)的最小正周期是（）
A．4πB．2πC．πD．
【答案】A
【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡求出周期即可.
【詳解】因為，
所以的最小正周期，
故選：A.
例題2．（23-24高一上·福建廈門·階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】對于A，直接畫出函數(shù)圖象驗證即可；對于BCD，舉出反例推翻即可.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可知函數(shù)的最小正周期為，滿足題意；
對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；
對于而言，，即函數(shù)的最小正周期不是，不滿足題意；
綜上所述，滿足題意的函數(shù)的個數(shù)有1個.
故選：A.
例題3．（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）下列四個函數(shù)中以為最小正周期且為奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A選項，函數(shù)不是周期函數(shù)；BC選項，不滿足奇偶性；D選項滿足要求.
【詳解】A選項，函數(shù)圖象如下：
不是周期函數(shù)，
BC選項，與是偶函數(shù)，
D選項，的周期為且，
故為奇函數(shù)，D正確.
故選：D．
例題4．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，那么函數(shù)最小正周期為；對稱軸方程為 .
【答案】
【分析】
根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，繼而利用周期公式及整體代入法求解對稱軸即可.
【詳解】因為
，
所以函數(shù)的最小正周期，
令,
得，
所以函數(shù)的對稱軸為.
故答案為：；.
練透核心考點
1．（23-24高一上·山東聊城·期末）下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由三角函數(shù)周期性，奇偶性逐一判斷每一選項即可求解.
【詳解】對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯誤；
對于B，若，首先定義域為關(guān)于原點對稱，
且，所以是偶函數(shù)，
又，所以是周期函數(shù)，故B正確；
對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：
由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯誤；
對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：B.
2．（多選）（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由圖象變換，周期為，則根據(jù)對稱性，周期為，同理可判斷A、B、C；而，可判定.
【詳解】作的圖象，如圖，
由圖可知函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
由于的周期為，則根據(jù)對稱性，
周期為，故B正確；
由于的周期為，周期為，故C正確；
而，周期為，故D錯誤.
故選：ABC
3．（23-24高一上·四川成都·期末）下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】
由最小正周期公式和三角函數(shù)的奇偶性對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，的最小正周期為，且為奇函數(shù)，故A正確；
對于B，的最小正周期為，故B錯誤；
對于C，最小正周期為，為偶函數(shù)，故C錯誤；
對于D，最小正周期為，為奇函數(shù)，故D正確.
故選：AD.
4．（23-24高三下·北京順義·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則的周期為，實數(shù) .
【答案】
【分析】利用輔助角公式化解函數(shù)，判斷函數(shù)的周期，再結(jié)合對稱性與最值的關(guān)系，即可求解
【詳解】，其中，
所以函數(shù)的周期,
若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以，即，兩邊平方后，
整理為，得.
故答案為：；
高頻考點四：三角函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù)，則為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性列式計算即得.
【詳解】依題意，，
由是偶函數(shù)，得，，
而，則.
故選：B
例題2．（2024·陜西西安·一模）將函數(shù)的圖象向左平移m（）個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則m的值可以是（）．
A．B．πC．D．
【答案】D
【分析】先求平移后圖象的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可得.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移m個單位，
得的圖象，
因為的圖象關(guān)于原點對稱，
所以，即，
當(dāng)時，得，
使，，的整數(shù)不存在.
故選：D
例題3．（23-24高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為．
【答案】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性列式運算得解.
【詳解】因為的圖象關(guān)于原點中心對稱，
所以，又，故的最小值為．
故答案為：.
練透核心考點
1．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，的取值范圍，進而即可求得的值．
【詳解】由將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，
所得函數(shù)為為奇函數(shù)，
則，得，
又，則，，
故選：B．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時，得，；
若0不在定義域內(nèi)，由時，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
3．（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則寫出a的一個可能值為．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用給定變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性列式計算求出的值，取其一即得.
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，
再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
由得函數(shù)為偶函數(shù)，
則，解得，令，可得的一個值為.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點五：三角函數(shù)的對稱性
典型例題
例題1．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性求得，進而求得的對稱軸.
【詳解】依題意，由，
得，所以的圖象的一條對稱軸為，
D選項正確，ABC選項錯誤.
故選：D
例題2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的圖象的一條對稱軸為（）
A．直線B．直線C．直線D．直線
【答案】D
【分析】
將原函數(shù)平移后借助誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得.
【詳解】由題意可得，
令，則，
當(dāng)時，有，其余選項均不符合.
故選：D.
例題3．（23-24高一上·山西長治·期末）函數(shù)的圖象的一個對稱中心是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用正切型函數(shù)的性質(zhì)，準確運算，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，令，解得，
令，可得，所以函數(shù)的一個對稱中心有，其它不是對稱中心.
故選：B．
例題4．（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法不正確的是（）
A．定義域為B．最小正周期是
C．圖象關(guān)于成中心對稱D．在定義域上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期公式、定義域、對稱中心、單調(diào)性可判斷出答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為，A錯誤；
最小正周期，B錯誤；
解得，
所以圖象的對稱中心為點，當(dāng)時，對稱中心為點，C正確；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因為，，
所以由單調(diào)性的定義可知，D錯誤．
綜上，ABD符合題意.
故選：ABD.
練透核心考點
1．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以點為對稱中心的函數(shù)是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】對于A：函數(shù)，令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故A錯誤；
對于B：函數(shù)，令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故B錯誤；
對于C：函數(shù)，令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故C錯誤；
對于D：函數(shù)，令，解得，
所以函數(shù)的對稱中心為，，故D正確.
故選：D
2．（2024·陜西榆林·二模）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由余弦函數(shù)的對稱性直接求解.
【詳解】
因為的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，得，
因為，所以.
故選：C.
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意可知為的對稱中心，結(jié)合余弦函數(shù)對稱性分析求解.
【詳解】因為，可知為的對稱中心，
則，可得，
解得，
且，可知：當(dāng)時，取到最小值.
故選：A.
4．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函數(shù)的對稱性與周期性得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，
所以，則，故，
又，所以，，，…．.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點六：三角函數(shù)的單調(diào)性（求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值，并求出函數(shù)取得最小值的x的集合．
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】(1)；
(2)和
【分析】（1）直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小值及取最小值時的集合；
（2）先通過求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】（1）對于函數(shù)，
當(dāng)時，即時，函數(shù)取得最小值；
（2），，
由和可得
和，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.
例題2．（23-24高一上·廣東陽江·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最小正周期求出，進而得到，代入求值即可；
（2）利用整體代入法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）因為的最小正周期為，
所以，，則，
故.
（2）令，解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
例題3．（22-23高一·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，其中，（，），的部分圖像如下圖．
(1)求，，的值；
(2)求的單調(diào)增區(qū)間，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像上的特殊點求得，，的值.
（2）利用整體代入法求得的遞增區(qū)間.
【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，，
所以，
過點和點，
所以，
由于，所以，
則，所以，
所以.
（2）由，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
練透核心考點
1．（21-22高一上·黑龍江佳木斯·期末）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及在上的最大值和最小值
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間
【答案】(1)，最大值為，最小值
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
【分析】（1）利用最小正周期公式計算即可求得函數(shù)最小正周期，由，得，借助余弦函數(shù)圖像即可求解；
（2）將看作整體，借助余弦函數(shù)性質(zhì)建立不等式，計算即可求解.
【詳解】（1），
，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
所以，的最大值為，最小值.
（2）由余弦函數(shù)性質(zhì)可得：
當(dāng)時，單調(diào)遞增,解得，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，解得，
所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是.
2．（23-24高一上·湖北荊州·期末）已知函數(shù) 的圖象關(guān)于點對稱.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意首先根據(jù)對稱中心求得函數(shù)表達式，然后令，解不等式組即可得解.
（2）由，得,解不等式組即可得解.
【詳解】（1）由題意知，的圖象關(guān)于點對稱，
，
即．
，
故．
令，
得，
即．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）由（1）知，．
由，
得，
即．
不等式的解集為.
3．（2023高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)試比較與的大小.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)解析式求解最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)解析式求解函數(shù)值比較大小值.
【詳解】（1）因為
所以，
由，
，
因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減．
故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）,
，
因為，且在上單調(diào)遞增，
，
所以.
高頻考點七：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br>典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南張家界·期末）若，，，，則a，b，c，d的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等變換可將式子化簡為，再由余弦函數(shù)單調(diào)性即可比較得出大小.
【詳解】易知
；
；
；
由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，且,
所以可得，即.
故選：A
例題2．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)，，，則有（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由倍角公式化簡為正切函數(shù)，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出答案.
【詳解】，
，
因為在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
故選：C.
例題3．（多選）（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列各式正確的是（）
A．tan ＜tan
B．tan 2＞tan 3
C．cs (－)＞cs (－)
D．sin (－)＜sin (－)
【答案】AC
【詳解】
tan＝tan (－π)＝tan (－)，因為正切函數(shù)y＝tan x在(－，)上為增函數(shù)，且－＜－＜＜，所以，tan (－)＜tan，即tan＜tan，故A正確；由于正切函數(shù)y＝tan x在(，)上為增函數(shù)，且＜2＜3＜，所以tan 2＜tan 3，故B錯誤；cs (－)＝cs＝cs，cs (－)＝cs＝cs，因為余弦函數(shù)y＝cs x在(0，π)上為減函數(shù)，且0＜＜＜π，所以cs＞cs，即cs (－)＞cs (－)，故C正確；由于正弦函數(shù)y＝sin x在(－，)上為增函數(shù)，且－＜－＜－＜，所以sin (－)＞sin (－)，故D錯誤．故選AC.
練透核心考點
1．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先判斷角所在的象限，再根據(jù)單調(diào)性和與對稱軸的距離判斷三角函數(shù)值的符號。
【詳解】因為,又,
所以函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù),
所以,故A不正確;
因為,,
且,
所以,故C正確;
因為,且,
所以,故B正確;
因為,且在為單調(diào)遞減函數(shù),
所以,故D不對.
故選:BC.
2．（多選）（23-24高一上·全國·期末）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性一一分析即可.
【詳解】，
，
因為，且在該范圍內(nèi)單調(diào)遞增，則，故A錯誤；
對B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則
，，所以，故B正確；
，
，
因為，所以，所以，故C正確；
對D，，，所以，故D正確；
故選：BCD.
3．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）與的大小關(guān)系是（填：“或=”中的一個）.
【答案】
【分析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡后，利用正切函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】
因為，
，
又，
所以，
故，
故答案為：.
高頻考點八：三角函數(shù)的單調(diào)性（根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件化為，利用換元法化為，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，令，
則，因為，所以；
又因為在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
則在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，
所以，即，解得.
故選：C
例題2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性計算即可.
【詳解】易知，，
在時，，
顯然，
若要符合題意，且能取得最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知需滿足：
，故的最大值為.
故選：A
例題3．（23-24高三上·廣東·期末）已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先將函數(shù)降冪，由題設(shè)求出的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計算即得.
【詳解】由的最小正周期為，得,則，
因當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
由題知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故須使，解得.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2023·江西·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到，從而得到不等式組，解得即可.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，
令，，解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
2．（23-24高三上·北京海淀·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.
【詳解】由題意易知，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞增，需要滿足：.
要想滿足函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，還需滿足：，
即.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
3．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值集合為 .（用列舉法表示）
【答案】
【分析】由正切函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期性可得，再對的值進行逐一驗證即可得出答案.
【詳解】由在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且，解得
因為，所以或或或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng) ，即時，函數(shù)無意義，故不成立.
當(dāng)時，,當(dāng)時，，
由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，
故滿足題意.
當(dāng)時，,當(dāng)時，，
由在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，
故滿足題意.
當(dāng)時，,當(dāng)時，，
當(dāng) ，即時，函數(shù)無意義，故不成立.
故答案為:
高頻考點九：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合）
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上不單調(diào)，則的可能取值有（）
A．7個B．8個C．9個D．10個
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，得到，此時，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求得，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，可得，
因為，可得，所以，
又由，可得，
當(dāng)時，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時，可得，可得在上不單調(diào)，符合題意；
當(dāng)時，可得，可得在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時，則函數(shù)的最小正周期為，此時，
所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，符合題意，
所以，所以滿足條件的有9個.
故選：C.
例題2．（多選）（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象過點，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍可以為（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由函數(shù)的圖象過點求得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列式求得的范圍，即可得解.
【詳解】因為函數(shù)的圖象過點，所以，得，
因為，所以，所以，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上具有單調(diào)性，
所以，，
即且，，
則，，
因為，得，
因為，所以時，，則，故A正確；
當(dāng)時，，故C正確；B、D錯誤.
故選：AC.
例題3．（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．
【答案】/1.5
【分析】
根據(jù)題意，再由對稱中心求出，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定.
【詳解】因為偶函數(shù)，所以，，
即或，
又的圖像關(guān)于點中心對稱，
所以，即，
所以，
因為函數(shù)單調(diào)，所以，即，
所以當(dāng)時，符合條件.
故答案為：
練透核心考點
1．（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.
【詳解】，
當(dāng)，由，則，
則有，，
解得，，
即，，
有，，即，即或，
當(dāng)時，有，時，有，
故的取值可能在或.
故選：AC.
2．（多選）（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有且僅有一個零點，則的值可以為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和零點個數(shù)，可確定的取值范圍，從而確定正確的選項.
【詳解】由，，.
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
又因為，，所以，，
因為，所以，
因為在區(qū)間上有且僅有一個零點，
所以在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，
所以，解得，
綜上，，故BC正確，AD錯誤.
故選：BC
3．（23-24高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有2個零點，則ω的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先求得，根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由，可得，其中，
因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，
則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
高頻考點十：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與對稱性相結(jié)合）
典型例題
例題1．（2024·吉林延邊·一模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】結(jié)合題意可得，
因為曲線關(guān)于軸對稱，所以，
解得,因為，所以當(dāng)時，有最小值.
故選：B.
例題2．（23-24高三上·河北承德·期中）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】的圖像向左平移個單位長度后為，
由關(guān)于軸對稱，即有，
解得，又，故的最小值為.
故選：C.
例題3．（2023·湖南永州·一模）已知函數(shù)，若，在區(qū)間上沒有零點，則的取值共有（）
A．4個B．5個C．6個D．7個
【答案】B
【分析】根據(jù)可得，根據(jù)在區(qū)間上沒有零點可得，即可求出的取值有幾個.
【詳解】由題意，在中，，
∴ ,所以，
兩式相減得，
所以，即，，
因為，所以，
令，，
由題意知在上無零點，
故，，
所以，即，
兩式相加得，所以，
又，
所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的取值有5個.
故選：B.
練透核心考點
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函數(shù)對稱中心求出的表達式，再賦值求得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱,則，解得，因為，當(dāng)時，取得最小值.
故選：B
2．（23-24高一下·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)的初始相位為，若在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)x的取值范圍，確定，結(jié)合在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由于函數(shù)的初始相位為，即，
當(dāng)時，，
由于在區(qū)間上有且只有三條對稱軸，故，
解得，
故選：D
3．（2024·河北邯鄲·三模）寫出一個，使得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則可以為．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
利用正弦函數(shù)的對稱性與周期性得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，
所以，則，故，
又，所以，，，…．.
故答案為：（答案不唯一）.
高頻考點十一：三角函數(shù)中的求解（的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合）
典型例題
例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)區(qū)間及最值情況，列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
依題意，，則，解得，
由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
例題2．（23-24高二下·浙江杭州·期中）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，則的值可以是（）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.
【詳解】當(dāng)時，，
由，得，
因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且最小值為負值，
所以，解得，
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解即得.
【詳解】當(dāng)時，，
由函數(shù)在有最小值，沒有最大值，
得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為－2，則的取值范圍是．
【答案】
【詳解】當(dāng)x∈[－，]時，－ω≤ωx≤ω.因為函數(shù)f（x）＝2sin ωx在區(qū)間[－，]上的最小值為－2，所以－ω≤－或ω≥，解得ω≥.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且，將函數(shù)的圖象向左平移個單位所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)在取得極大值，則的值為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)圖象平移得到的解析式，然后根據(jù)為最大值得到關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可知結(jié)果.
【詳解】由題意可知，
因為在取得極大值，所以在取得最大值，
所以，，即，
又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，滿足條件，所以，
故答案為：.
第四部分：新定義題
1．（23-24高一下·四川涼山·階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，稱為函數(shù)的“相伴向量”．
(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的相伴向量；
(2)記的“相伴函數(shù)”為，若方程在區(qū)間上有且僅有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2),
【分析】（1）由相伴向量的定義，即可得出；
（2）化簡方程，令，，作出在區(qū)間上的圖象，由圖象即可得得范圍.
【詳解】（1）因為
，
所以函數(shù)的相伴向量為
（2）由題意，的“相伴函數(shù)” ，
方程為，，
則方程，有四個實數(shù)解，
所以，有四個實數(shù)解，
令，，
①當(dāng)，，
②當(dāng)，，
據(jù)此作出的圖像：
由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與有四個交點，
即實數(shù)的取值范圍為,.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦函數(shù)圖像及應(yīng)用，關(guān)鍵是分離參數(shù)并正確畫出函數(shù)圖像.
函數(shù)
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱中心
對稱軸方程
無
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無
函數(shù)
周期
函數(shù)
周期
函數(shù)
()
()
()
周期
其它特殊函數(shù)，可通過畫圖直觀判斷周期
三角函數(shù)
取何值為奇函數(shù)
取何值為偶函數(shù)
()
()
()
()
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