1．（3分）下列幾種著名的數(shù)學曲線中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A．卡西尼卵形線B．笛卡爾愛心曲線
C．費馬螺線D．蝴蝶曲線
2．（3分）2024年5月3日，我國嫦娥六號順利發(fā)射飛向太空，隨后歷時五天抵達第四階段，進行環(huán)月飛行任務.6月2號早上嫦娥六號在月球背面的南極﹣艾特肯盆地成功落月，月球距離地球約384000000千米，將384000000用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．38.4×107B．3.84×108C．3.84×109D．0.384×109
3．（3分）下列方程：①，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④ax2+bx+c＝0，⑤x2+2x＝x2﹣1中是一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a2+a3＝2a5B．a2?a3＝a6C．a3÷a＝a2D．（a3）2＝a5
5．（3分）在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），y隨x的增大而減小，且kb＞0，則它的圖象經過的象限正確的是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
6．（3分）根據下列表格的對應值，估計方程x2+4x﹣3＝0的一個解的范圍是（ ）
A．0.4＜x＜0.5B．0.5＜x＜0.6C．0.6＜x＜0.7D．0.7＜x＜0.8
7．（3分）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是（ ）
A．2.5B．C．D．2
8．（3分）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽（這樣的比賽叫做雙循環(huán)比賽），共要比賽90場．設有x個球隊參加比賽，根據題意，列出方程為（ ）
A．x（x+1）＝90B．x（x﹣1）＝90×2
C．x（x﹣1）＝90D．2x（x+1）＝90
10．（3分）《九章算術》中記載“今有共買羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？若設人數(shù)為x人，羊價y錢，則下面所列方程組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）已知2是關于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，則△ABC的周長為（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
12．（3分）如圖1，在菱形ABCD中AB＝6，∠BAD＝120°，點E是BC邊上的一動點，點P是對角線BD上一動點，設PD的長度為x，PE與PC的長度和為y，當點P從B向點D運動時，y與x的函數(shù)關系圖2所示，其中H（a，b）是圖象上的最低點，則點H的坐標為（ ）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．（3分）因式分解：2mx2﹣2my2＝ ．
14．（3分）已知關于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是 ．
15．（3分）如圖，在?ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于點E，若∠C＝70°，則∠BAE＝ °．
16．（3分）為增強員工身體素質，營造“健康生活、快樂工作”的氛圍，某公司開展了健步走計步打卡活動．以下統(tǒng)計圖反映的是某位員工6月1日——14日連續(xù)兩個星期健步走的步數(shù)．根據統(tǒng)計圖提供的信息，有下列三個結論：
①該員工這14天健步走的步數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是1.8萬步；
②該員工兩個星期健步走的步數(shù)從高到低2.0排名，6月7日所走步數(shù)在這14天中排名第三；
③若該員工6月1日——7日健步走的步數(shù)的方差記作，6月8日——14日健步走的步數(shù)的方差記作，則．其中所有正確結論的序號是 ．
三、解答題（本大題共12小題，共72分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（4分）計算：×（2﹣3）．
18．（4分）解不等式組：．
19．（4分）先化簡，再求值：，其中a＝﹣．
20．（6分）解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；（公式法）
（2）3x2+6x﹣4＝0．（配方法）
21．（6分）如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點，連接AM，延長AD至點E，使得AE＝AM，過點E作EF⊥AM，垂足為F，求證：AB＝EF．
22．（6分）我校為了解初三學生對于體育中考三大球項目中的排球技能掌握情況，在本校隨機抽取了若干名初三學生進行測試，其中男生50名．將測試結果統(tǒng)計如下：
根據上述信息回答下列問題：
（1）求得a＝ ，b＝ ．
（2）被抽取初三女生40秒墊球個數(shù)的中位數(shù)所落在的范圍是 ．
（3）若我校今年參加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，請你估計在我校今年參加中考的考生中排球技能能取得滿分的人數(shù)．（男生40秒墊球45個及以上為滿分，女生40秒內墊球40個及以上為滿分）
23．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BA⊥AD，點E是線段AD上的一點，連接BE．
（1）在線段BC上求作一點F，使得∠FDC＝∠ABE（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）所作的圖中，證明：四邊形BFDE為平行四邊形的結論（請補全下面的證明過程，將答案寫在答題卡對應的番號后，不寫證明理由）．
解：（2）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵BA⊥AD，
∴① ，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在△ABE和△CDF，
，∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴ ，BE＝DF，
∴AD﹣AE＝CB﹣CF，
∴ ，
∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）．
24．（6分）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
25．（7分）閱讀下列材料，完成相應任務．
材料一：十六世紀的法國數(shù)學家弗朗索瓦?韋達發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關系，可表述為”當判別式△≥0時，關于x的一元二次方程ax2+bx+e＝0（a≠0）的兩個根x1，x2有如下關系，x1x2＝ “此關系通常被稱為“韋達定理”．
材料二：若x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的兩個根，求的值．
解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的兩個根，
∴，．
∴．
任務：
（1）材料理解：若一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）拓展應用：已知關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根．
①求m的取值范圍；
②若此方程的兩根分別為α，β，且aβ+α+β＝9，求m的值．
26．（6分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上．將矩形ABCD分別沿BE，EF翻折后點A，D均落在點G處，此時B，G，F(xiàn)三點共線，若BG＝2EG．
（1）求證：矩形ABCD為正方形；
（2）若DF＝2，求BC的長．
27．（8分）綜合與實踐
小西在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：在一個支架的橫桿點O處用一根細繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，如圖①，OA表示小球靜止時的位置，當小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點B作BD⊥OA于點D，當小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（點A，B，O，C在同一平面上），過點C作CE⊥OA于點E．
（1）【初步探究】如圖①，請你探究線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系；
（2）【全等模型】如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為D，E，則DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為 ；
（3）【類比探究】如圖③，在△ABC中，AB＝AC，直線MN經過點A，E，D，且∠BDM＝∠BAC＝∠DEC，請判斷DE，BD，CE之間的數(shù)量關系，并說明理由．
28．（9分）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個直角三角形的兩個頂點，且該直角三角形的兩條直角邊分別與坐標軸垂直，則稱該直角三角形為點P，Q的“坐標直角三角形”．圖1為點P，Q的“坐標直角三角形”示意圖．如圖2，點A的坐標為（1，2）．
（1）若點B的坐標為（﹣2，1），求點A，B的“坐標直角三角形”的面積；
（2）點C在y軸上，若點A，C的“坐標直角三角形”為等腰直角三角形，直接寫出直線AC的表達式；
（3）點D在直線y＝2x+4上，且點A，D的“坐標直角三角形”為等腰直角三角形，求點D的坐標．
2024-2025學年甘肅省蘭州市城關區(qū)志成中學九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．【解答】解：A．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：A．
2．【解答】解：384000000＝3.84×108，
故選：B．
3．【解答】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程；
②2x2﹣5xy+y2＝0中含有兩個未知數(shù)，故②不是一元二次方程；
③7x2+1＝0符合一元二次方程的定義，故③是一元二次方程；
④ax2+bx+c＝0，當a＝0時，方程化為bx+c＝0，不含二次項，故④不是一元二次方程；
⑤將x2+2x＝x2﹣1整理得：2x＝﹣1，不含二次項，故⑤不是一元二次方程．
綜上，只有③是一元二次方程．
故選：A．
4．【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，不符合題意；
B、a2?a3＝a2+3＝a5，原計算錯誤，不符合題意；
C、a3÷a＝a3﹣1＝a2，正確，符合題意；
D、（a3）2＝a3×2＝a6，原計算錯誤，不符合題意，
故選：C．
5．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∵kb＞0，
∴b＜0，
∴一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的圖象經過第二、三、四象限．
故選：D．
6．【解答】解：∵x＝0.6時，x2+4x﹣3＝﹣0.24＜0；x＝0.7時，x2+4x﹣3＝0.29＞0，
∴當x取0.6～0.7之間的某一個數(shù)時，x2+4x﹣3＝0，
∴方程x2+4x﹣3＝0的一個解的范圍是0.6＜x＜0.7．
故選：C．
7．【解答】解：如圖，連接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中點，
∴CH＝AF＝×2＝．
故選：B．
8．【解答】解：從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為＝，
故選：D．
9．【解答】解：設有x個球隊參加比賽，
由題意可得：x（x﹣1）＝90．
故選：C．
10．【解答】解：設人數(shù)為x人，羊價y錢，
由題意可得：，
故選：B．
11．【解答】解：把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4，
則原方程為x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
因為這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長，
①當△ABC的腰為6，底邊為2，則△ABC的周長為6+6+2＝14；
②當△ABC的腰為2，底邊為6時，不能構成三角形．
綜上所述，該三角形的周長的14．
故選：B．
12．【解答】解：連接AP，作AE1⊥BC，垂足為E1，交BD于P1，
由菱形是關于對角線所在直線的對稱可知：AP＝CP，，
∴P1D＝2AP1，P1B＝2E1P1，
∴BD＝P1D+P1B＝2AP1+2E1P1＝2AE1，P1B＝2E1P1，
由三角形三邊關系和垂線段最短知，PE+PC＝AP+PE≥AE≥AE1，
即PE+PC有最小值AE1，
菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，
在Rt△ABE1中，∠ABC＝60°，
解得，，
在Rt△AP1E1中，，
∵，
∴，
∵H（a，b）是圖象上的最低點，
∴，
∴，，
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）
13．【解答】解：2mx2﹣2my2
＝2m（x2﹣y2）
＝2m（x+y）（x﹣y）．
14．【解答】解：根據題意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
即實數(shù)k的取值范圍是k＞﹣且k≠0．
故答案為：k＞﹣且k≠0．
15．【解答】解：在△DBC中，
∵BD＝CD，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
又∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，∠BAD＝∠C＝70°，
又∵AE⊥BD，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝50°．
故答案為：50．
16．【解答】解：①將該員工這14天健步走的步數(shù)按從大到小的順序排列為（單位：萬步）：2.3，2.2，2.1，2.1，2.0，2.0，1.9，1.8，1.8，1.8，1.7，1.7，1.6，1.3，
在這組數(shù)據中，1.8出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據的眾數(shù)是1.8萬步；
將這組數(shù)據按照從大到小的順序排列，其中處于中間位置的兩個數(shù)分別是1.9，1.8，
∴這組數(shù)據的中位數(shù)是＝1.85（萬步）．
故本結論錯誤，不符合題意；
②該員工兩個星期健步走的步數(shù)從高到低2.0排名，6月7日所走步數(shù)在這14天中排名第五．故本結論錯誤，不符合題意；
③根據折線統(tǒng)計圖可知，該員工6月1日——7日健步走的步數(shù)偏離平均值的范圍較大，所以方差較大，而6月8日——14日健步走的步數(shù)相對比較集中，偏離平均值的范圍較小，所以方差較小，即，故本結論正確，符合題意；
故答案為：③．
三、解答題（本大題共12小題，共72分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．【解答】解：原式＝×2﹣3×
＝2×﹣3
＝12﹣3
＝9．
18．【解答】解：，
由①得：x≥3，
由②得：x＞﹣2，
則不等式組的解集為x≥3．
19．【解答】解：
＝
＝2﹣2a﹣1
＝1﹣2a，
當時，．
20．【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）3x2+6x﹣4＝0，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
21．【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAF＝∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°＝∠B，
在△ABM和△EFA中，
∵，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB＝EF．
22．【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣10﹣9﹣10＝19，
女生總人數(shù)為：8÷16%＝50（名），
則b＝50﹣1﹣8﹣14﹣5＝22．
故答案為：19，22；
（2）由中位數(shù)的定義可知，被抽取初三女生40秒墊球個數(shù)的中位數(shù)所落在的范圍是30＜x≤40．
故答案為：30＜x≤40；
（3）300×+200×
＝60+76
＝136（名）．
故估計在我校今年參加中考的考生中排球技能能取得滿分的人數(shù)為136名．
23．【解答】解：（1）如圖，點F為所作；
（2）理由如下：
在四邊形ABCD為平行四邊形中，
∵BA⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，
在△ABE和△CDF，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝DF．
∴AD﹣AE＝CB﹣CF，
∴DE＝BF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形（兩邊分別相等的四邊形為平行四邊形）．
故答案為：∠A＝90°，AB＝CD，AE＝CF，DE＝BF．
24．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．
（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，
依題意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．
25．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x＝1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣1．
故答案為：﹣2，﹣1；
（2）①∵關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得m≤；
②∵關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的兩根分別為α，β，
∴α+β＝1﹣2m，αβ＝m2，
∵aβ+α+β＝9，
∴1﹣2m+m2＝9，即m2﹣2m﹣8＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝4，
由①知m≤，
∴m＝﹣2．
26．【解答】（1）證明：由翻折得EA＝EG，ED＝EG，BG＝BA，
∴EA＝ED＝EG，
∴AD＝2ED＝2EG，
∵BG＝2EG，
∴AD＝BG，
∴AD＝BA，
∵四邊形ABCD是矩形，且AD＝BA，
∴四邊形ABCD是正方形．
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BG＝BA＝DC＝BC，
∵GF＝DF＝2，
∴BF＝BG+GF＝BC+2，CF＝CD﹣DF＝BC﹣2，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
∴BC2+（BC﹣2）2＝（BC+2）2，
解得BC＝8或BC＝0（不符合題意，舍去），
∴BC的長是8．
27．【解答】解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
∵OC＝BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD，CE＝OD，
∴CE＝OD＝DE+OE＝DE+BD，
即線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關系為CE＝DE+BD；
（2）∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
又∵AB＝CA，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝BD+CE，
故答案為：DE＝BD+CE；
（3）CE＝DE+BD，理由如下：
∵∠BDM＝∠BAD+∠ABD，∠BAC＝∠BAD+∠CAE，∠BDM＝∠BAC，
∴∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE，
∴∠ABD＝∠CAE，
∵∠DEC＝∠ACE+∠CAE，∠BAC＝∠DEC，
∴∠ACE+∠CAE＝∠BAD+∠CAE，
∴∠ACE＝∠BAD，
又∵AB＝CA，
∴△ACE≌△BAD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝AD，
∵AD＝DE+AE，
∴CE＝DE+BD．
28．【解答】解：（1）由題意得：xA﹣xB＝1+2＝3，yA﹣yB＝2﹣1＝1，
則點A，B的“坐標直角三角形”的面積＝（xA﹣xB）×（yA﹣yB）＝3×1＝；
（2）設點C的坐標為（0，m），
∵點A，C的“坐標直角三角形”為等腰直角三角形，
則|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，即|1﹣0|＝|m﹣2|，
解得：m＝3或1，
則設直線AC的表達式為：y＝kx+m，
將點A的坐標代入上式得：2＝k+m，
則k＝2﹣m＝﹣1或1，
故直線AC的表達式為：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）點D的坐標為：（m，2m+4），
∵點A，D的“坐標直角三角形”為等腰直角三角形，
∴|xA﹣xD|＝|yA﹣yD|，即|1﹣m|＝|2m+4﹣2|，
解得：m＝﹣3或﹣，
故點D的坐標為：（﹣3，﹣2）或（﹣，）．
x
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
x2+4x﹣3
﹣1.24
﹣0.75
﹣0.24
0.29
0.84
40秒內墊球個數(shù)（x）
x≤20
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤45
x＞45
頻數(shù)（男生）
2
10
a
9
10
頻數(shù)（女生）
1
8
b
14
5

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