一、選擇題
1．已知全集,集合,,則如圖陰影部分表示的集合是( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,,則( )
A.B.C.或D.或
3．設集合,,若,則( )
A.1B.0C.-1D.1或-1
4．已知真包含于,則實數a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．已知集合,.若,則實數a的取值范圍為( )
A.B.
C.D.
6．已知a,b為正實數,且滿足,則的最小值為( )
A.B.1C.D.2
7．已知a,b,,則下列命題正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則
8．若a、b、c是互不相等的正數,且,則下列關系中可能成立的是( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年,德國數學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數的“分割”來定義無理數（史稱戴德金分割）,并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,才結束了無理數被認為“無理”的時代,也結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割,是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集M與N,且滿足,,M中的每一個元素都小于N中的每一個元素,則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷下列選項中,可能成立的是( )
A.,是一個戴德金分割
B.M沒有最大元素,N有一個最小元素
C.M有一個最大元素,N有一個最小元素
D.M沒有最大元素,N也沒有最小元素
10．已知集合,,則( )
A.B.
C.D.
11．已知a,b均為正實數,且,則( )
A.的最大值為B.的最小值為
C.的最小值為D.的最小值為
三、填空題
12．若,則與的大小關系為_____________.
13．若“”是“”的充分不必要條件,則實數m的取值范圍為______________.
14．已知集合,,且,,則_______________.
四、解答題
15．已知命題,,命題,.
(1)若命題為假命題,求實數a的取值范圍;
(2)若命題p和均為真命題,求實數a的取值范圍.
16．已知,
(1)若,分別求,的值.；
(2)若,用列舉法表示集合B.
17．已知非空集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分條件,求實數a的取值范圍.
18．已知有限集,如果A中的元素滿足,就稱A為“完美集”.
(1)判斷：集合是否是“完美集”并說明理由;
(2) ,是兩個不同的正數,且是“完美集”,求證：,至少有一個大于2;
(3)若為正整數,求：“完美集”A.
19．對x,y定義一種新的運算P,規(guī)定：(其中,m,),已知,.
(1)求m,n的值；
(2)若,解不等式組.
參考答案
1．答案：C
解析：由題意或,
圖中陰影部分為,
故選：C.
2．答案：B
解析：由可得或,
所以,
故選：B.
3．答案：A
解析：由題意,當時,,此時不滿足集合中元素互異性;
當時,且,則,此時滿足條件.
故.
故選：A.
4．答案：D
解析：由解得,或,所以,
當時,方程無解,則 ,滿足題意;
當時,由解得,,
所以或3,解得或,
綜上,實數a的取值范圍是,
故選：D.
5．答案：C
解析：因為,則,
若,則,解得;
若,則,解得;
綜上所述：實數a的取值范圍為.
故選：C.
6．答案：C
解析：因為,
所以,
因為a,b為正實數,所以,
可得,即,
所以,即,
當且僅當即,時等號成立.
故選：C.
7．答案：C
解析：選項A中,時,不成立;
選項B中,時,則,故結論不成立;
選項C中,若,則,故,結論成立;
選項D中,若,則,故,結論不成立.
故選：C.
8．答案：C
解析：a、c均為正數,且, .
又,,, ,故排除A、B、D.
故選：C.
9．答案：BD
解析：,,不是戴德金分割,A錯誤;
,,顯然集合M中沒有最大元素,集合N中有一個最小元素,即選項B可能;
假設答案C可能,即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數,顯然這是不可能的,
,,
顯然集合M中沒有最大元素,集合N中也沒有最小元素,即選項D可能.故選BD.
10．答案：BCD
解析：由函數有意義可得：即,故,
由,可得：.
因,故A項錯誤,B項正確;因,故C項正確;
又,得.故D項正確.
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：因為a,b均為正實數,且,
對A, ,當且僅當時取“=”,正確;
對B, ,當且僅當時取“=”,錯誤;
對C,
,當且僅當時取“=”,正確;
對D,
,設,
則上式,
當且僅當,時取“=”,正確;
故選：ACD.
12．答案：
解析： , .
故答案為:.
13．答案：
解析：由題設,即.
故答案為：.
14．答案：-14
解析：因為,所以,將代入,得,
此時方程即為,有兩不等實根1,-2,
所以,
因為,,所以,
所以,
所以.
故答案：-14.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)若命題為假命題,則命題p為真命題,
即在恒成立,所以,
即實數a的取值范圍是.
(2)當命題q為真命題時,因為,,
所以,解得或,
因為為真命題,則,
又由(1)可知,命題p為真命題時,
所以且,即實數a的取值范圍是.
16．答案：(1),
(2)答案見解析
解析：(1)由,得或,
而,則1,2是方程的二根,
所以,.
(2)由(1)知,,由,得或或,
當時,,則；
當時,,則；
當時,,則.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時,,,又,
所以.
（2）若“”是“”的充分條件,即,
因為P是非空集合,所以,即,
所以,解得,
故實數a的取值范圍為:.
18．答案：(1)是,理由見解析
(2)證明見解析
(3)
解析：(1)由,,則集合是“完美集”,
(2)若,是兩個不同的正數,且是“完美集”,
設,
根據根和系數的關系知,和相當于的兩根,
由,解得或（舍去）,
所以,又,均為正數,
所以,至少有一個大于2.
(3)不妨設A中,
由,得,
當時,即有,又為正整數,所以,
于是,則無解,即不存在滿足條件的“完美集”;
當時,,故只能,,求得,
于是“完美集”A只有一個,為.
當時,由,即有,
而,
又,因此,故矛盾,
所以當時不存在完美集A,
綜上知,“完美集”A為.
19．答案：(1),
(2)
解析：(1)由題意,可知,
,
解得,；
(2)由(1)知,,
因為,
所以,,
所以,,
所以.
所以,
,
由,得,
由,得,
綜上,原不等式組的解集為.

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