一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，．如圖，則陰影部分所表示的集合的元素共有
A．3個(gè)B．2個(gè)
C．1個(gè)D．無窮多個(gè)
2．已知“”的必要不充分條件是“或”，則實(shí)數(shù)的最大值為
A．B．0C．1D．2
3．已知，為實(shí)數(shù)，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．若，則下列不等式中，正確的不等式有
A． B． C． D．
5．已知，且，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8
6．已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是( )
A. B.
C. D.
7．若由，，1組成的集合A與由，，組成的集合B相等，則的值為（ ）．
A．0 B. 1 C. d. 2
8. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”．如圖所示，AB是半圓O的直徑，C是AB上的一點(diǎn)(不同于點(diǎn)A，B，O)，點(diǎn)D在半圓O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足為E，設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的“無字證明”為( )
A. ≤(a>0，b>0)B. 0，b>0，a≠b)
C. ≤(a>0，b>0)D. 0，a≠b)
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)．若對(duì)于任意，都有，且若，則，則稱P是一個(gè)數(shù)域．例如，有理數(shù)集Q是數(shù)域．下列命題正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)域必含有0，1兩個(gè)數(shù)
B．整數(shù)集是數(shù)域
C．若有理數(shù)集，則數(shù)集M一定是數(shù)域
D．?dāng)?shù)域中有無限多個(gè)元素
10下列說法正確的是
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合，共有4個(gè)子集
C．集合，，
D．集合，，
11已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則（ ）
A．a(chǎn)b的最大值為4B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
13．.若x∈R，則eq \f(x,1＋x2)與eq \f(1,2)的大小關(guān)系為________.
14．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（14分）已知，或．
(1)若，求的取值范圍； (2)若，求的取值范圍．
16．已知集合，集合，命題，命題．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，是的充要條件；
（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17．某市近郊有一塊正方形的荒地，準(zhǔn)備在此荒地上建一個(gè)綜合性休閑廣場(chǎng)，需先建一個(gè)總面積為的矩形場(chǎng)地（如圖所示）．圖中，陰影部分是寬度為的通道，三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小矩形場(chǎng)地形狀、大小相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地總面積為．
（1）求關(guān)于的關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
（2）當(dāng)為何值時(shí)取得最大值，并求最大值．
18．（17分）（1）已知為正數(shù)，且滿足.證明：.
（2）若，，其中，試比較的大小.
19．設(shè)是正整數(shù)，集合至少有兩個(gè)元素，且．如果對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，，都有，則稱具有性質(zhì)．
（1）試判斷集合，2，3，和，4，7，是否具有性質(zhì)（2）？并說明理由；
（2）若集合，，，，2，，，求證：不可能具有性質(zhì)（3）；
（3）若集合，2，，，且同時(shí)具有性質(zhì)（4）和（7），求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．
參考答案
選擇題1-8 BDAADCCB
多選題9-11 AD BD
填空題12 13 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2) 14 12
15．【解】（1）①當(dāng)時(shí)，，∴，∴．②當(dāng)時(shí)，要使，必須滿足，解得．綜上所述，的取值范圍是．
（2）∵，，或，∴，解得，故所求的取值范圍為．
16．【解】解：（1），即，有，解得，故，
因?yàn)槭堑某湟獥l件，所以，
故的解集也為，所以，即；
（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，
①當(dāng)，此時(shí)即或0，符合題意，
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即，此時(shí)，解得，
由當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以
當(dāng)時(shí)，，即，，此時(shí)，解得，
綜上所述的取值范圍為，．
17．【解】（1）設(shè)矩形場(chǎng)地的另一條邊的長(zhǎng)為，則，即，且，
，
，
，
，．
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即，滿足，等號(hào)成立，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，其最大值為．
18．解：（1），，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成產(chǎn)，，即.
（2）因?yàn)椋?br>，
又，則，
所以，則，
所以，即.
19．【解】解：（1）因?yàn)椋?，3，，
又，，，，但，
所以集合不具有性質(zhì)（2），
因?yàn)椋?，7，，
又，，，，
但，，，，，，
所以集合具有性質(zhì)（2），
（2）證明：將集合，2，，中的元素分為如下11個(gè)集合，
，，，，，，，，，．，，，，，，，，，，
所以從集合，2，，中取12個(gè)元素，則前9個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，
所以必有2個(gè)元素取自前9個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素其差為3，
所以不可能具有性質(zhì)（3）；
（3）先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選取5項(xiàng)，
以1，2，，11為例．
構(gòu)造抽屜，，，，，，，，，，．
①5，6，7同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)（4）和（7），
所以選5則不選1，9；選6則不選2，10；選7則不選3，11；
則只剩4，8．故1，2，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．
②5，6，7選2個(gè)，
若只選5，6，則1，2，9，10，7不可選，又，只能選一個(gè)元素，
3，8可以選，故1，2，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．
若選5，7，則只能從2，4，8，10中選，但4，8不能同時(shí)選，
故1，2，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．
若選6，7，則2，3，10，11，5不可選，又，只能選一個(gè)元素，
4，9可以選，故1，2，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．
③5，6，7中只選1個(gè)，
又四個(gè)集合，，，，，，，每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，
故1，2，，11中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．
由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，
如取1，4，6，7，9．
因?yàn)?，則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；
從2014開始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合的元素最多有個(gè)．
給出如下選取方法：從1，2，，11中選取1，4，6，7，9；
然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造183次．
此時(shí)集合的元素為：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；；
2014，2017，2019，2020，2022，共920個(gè)元素．
經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合的元素最多有920個(gè)．

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