一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列說法正確的是( )
A. 身高是一個向量
B. 溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C. 有向線段由方向和長度兩個要素確定
D. 有向線段MN和有向線段NM的長度相等
2.若復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2i，則z?z?=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
3.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與CA共線的向量有( )
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
4.已知a，b是夾角為120°的兩個單位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量為2a，則λ=( )
A. ?2B. 2C. ?2 33D. 2 33
5.“直線l⊥AB，l⊥AC”是“直線l⊥BC”的( )
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
6.由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點B′到x軸的距離是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
7.在△ABC中，D為邊BC上一點，∠DAC=2π3，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面積為4 3，則sin∠ABD=( )
A. 15? 38B. 15+ 38C. 5? 34D. 5+ 34
8.如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體ABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為2 6，則模型中九個球的表面積和為( )
A. 6πB. 9πC. 31π4D. 21π
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于[80,90)內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于[90,100)內(nèi)的同學(xué)成績方差為10.則( )
參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m,x?,s12；n,y?,s22.記樣本平均數(shù)為ω?，樣本方差為s2，s2=mm+n[s12+(x??ω?)2]+nm+n[s22+(y??ω?)2]
A. a=0.004
B. 估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為77.14
C. 估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50
D. 估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25
10.已知事件A，B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.2，則下列結(jié)論正確的是( )
A. P(A?)=0.8,P(B?)=0.4
B. 如果B?A，那么P(A∪B)=0.6
C. 如果A與B互斥，那么P(A?B)=0.8
D. 如果A與B相互獨立，那么P(A??B?)=0.32
11.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AD=4，AA1=5，則下列結(jié)論正確的有( )
A. AC⊥BD1
B. 異面直線AD1與B1C所成的角為90°
C. 二面角D1?AC?D的余弦值為2 6633
D. 四面體ACB1D1的體積為803
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一組數(shù)據(jù)8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______．
13.已知A(2,0)，O(0,0)，且|OB|=|OC|=2，則AB?AC的最小值是______．
14.△ABC中，∠ABC的角平分線BD交AC于D點，若BD=1且∠ABC=2π3，則S△ABC面積的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a,b的夾角為3π4,|a|=3,|b|=2 2．
(1)求|a?2b|；
(2)若ka+2b與a?2b的夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．
16.(本小題15分)
2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．
(1)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；
(2)在這100名候選者用分層隨機抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取10人，再從這10名面試者中隨機抽取兩名，求兩名面試者成績都在第五組的概率．
(3)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．
17.(本小題15分)
如圖所示，在△ABC中，OC=14OA，OD=12OB，AD與BC交于M點.設(shè)OA=a，OB=b，
(1)用a，b表示OM；
(2)在已知線段AC一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M，設(shè)OE=pOA，OF=qOB，求1p+3q的值．
18.(本小題17分)
如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形．AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點．
(1)證明：AF//平面BCE．
(2)證明：平面BCE⊥平面CDE．
(3)在DE上是否存在一點P，使直線BP和平面BCE所成的角為30°？
19.(本小題17分)
已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
(1)若邊AB的中線CD長為3，對?x∈[0,1]，且x+y=1，(xCB+yCA)?CD≥9恒成立，試判斷“AC=BC”是否成立？
(2)若△ABC為非直角三角形，且a+c=mb，其中m>1．
(ⅰ)證明：tanA2tanC2=m?1m+1；
(ⅱ)是否存在函數(shù)φ(m)，使得對于一切滿足條件的m，代數(shù)式csA+csC+φ(m)?(m)csAcsC恒為定值？若存在，請給出一個滿足條件的φ(m)，并證明之；若不存在，請給出一個理由．
參考公式：sinα+sinβ=2sinα+β2csα?β2．
參考答案
1.D
2.C
3.C
4.A
5.A
6.D
7.A
8.B
9.BCD
10.BCD
11.ACD
12.10.8
13.?2
14. 3
15.解：(1)因為向量a與b的夾角為3π4，且|a|=3,|b|=2 2，
所以a?b=|a||b|cs3π4=3×2 2×(? 22)=?6，
所以|a?2b|= (a?2b)2= |a|2+4|b|2?4a?b= 9+4×8+24= 65；
(2)因為向量a與b的夾角為3π4，且|a|=3,|b|=2 2，
所以(ka+2b)?(a?2b)=k|a|2?4|b|2+(?2k+2)a?b=9k?32?6(?2k+2)=21k?44，
若ka+2b與a?2b的夾角為鈍角，
則(ka+2b)?(a?2b)

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