上海市九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬試卷02（測(cè)試范圍：相似三角形）（含答案） 2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（滬教版）

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一、選擇題:(本大題共6題，每題4分，共24分)
1．若，則的值是
A．B．C．D．
2．如圖，在中，，，，則的值是
A．B．C．D．
3．下列兩個(gè)三角形一定相似的是
A．兩個(gè)直角三角形B．兩個(gè)等腰三角形
C．兩個(gè)等邊三角形D．兩個(gè)面積相等的三角形
4．已知點(diǎn)、分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，，，設(shè)，那么用向量表示為
A．B．C．D．
5．如圖，已知，，，那么的長(zhǎng)等于
A．B．C．D．
6．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)、在邊上，交于點(diǎn)．甲、乙兩位同學(xué)在研究這個(gè)圖形時(shí)，分別產(chǎn)生了以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．那么下列說(shuō)法中，正確的是
A．①正確②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤②正確C．①、②皆正確D．①、②皆錯(cuò)誤
二、填空題:(本大題共12題，每題4分，共48分)
7．已知，滿足，則的值為 ．
8．點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，那么線段的長(zhǎng)是 ．
9．如圖中，點(diǎn)在上，且．設(shè)，，那么 （結(jié)果用、表示）
10．已知，相似比為，若的面積為2，則的面積為 ．
11．在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是 ．
12．如圖，直線，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和、、，已知，，，那么等于 ．
13．如圖，是洞孔成像原理的示意圖，物體物像，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體長(zhǎng)，那么物像的長(zhǎng)度是 ．
14．已知如圖，點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，那么 ．
15．如圖，在中，，是內(nèi)一點(diǎn)，且，若，，那么 ．
16．如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是 ．
17．新定義：將一個(gè)凸四邊形分成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等腰直角三角形的對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線”．已知一個(gè)直角梯形的“等腰直角線”等于4，它的面積是 ．
18．如圖，在中，，，，是的角平分線，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，那么的正切值為 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分，10+10+10+10+12+12+14）
19．計(jì)算：．
20．如圖，已知平行四邊形，點(diǎn)、是邊、的中點(diǎn)，設(shè)，．
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量．
（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．
21．如圖，是的高，是邊上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)．已知，，．
（1）求的面積；
（2）求．
22．已知：如圖，斜坡的坡度為，坡長(zhǎng)為26米，在坡頂處的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底處測(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋谄马斕帨y(cè)得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋螅?br>（1）坡頂?shù)降孛娴木嚯x；
（2）古塔的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，
23．如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)，垂足為．作，垂足為．
（1）求證：．
（2）求證：．
24．如圖，分別交軸、軸于、兩點(diǎn)．
（1）求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作直線，聯(lián)結(jié)，求的正切值；
（3）在（2）的條件下，在直線上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
25．（1）如圖1，在中，是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．點(diǎn)是上任意一點(diǎn)．連結(jié)交于點(diǎn)，求證：；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，，若，且、恰好將三等分．求的值；
（3）如圖3，在等邊中，，連結(jié)，點(diǎn)在上，若，求的值．