第03講基本不等式（含答案）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津?qū)Ｓ茫W案-學案下載-教習網(wǎng)

1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題靈活，難度有高有低，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握基本等式的基本內(nèi)容
2.能掌握基本不等式的解題方法
3.具備函數(shù)與基本不等式思想意識，會利用函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式解決最值問題
4.能夠在基本不等式與其他知識點結(jié)合時，靈活運用基本不等式的解題方法
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般最值問題，考慮使用基本不等式
知識講解
知識點.基本不等式
1．基本不等式的形式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.
(3)其中eq \f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，eq \r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq \f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq \r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq \r(p).(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq \f(p2,4).(簡記：和定積最大)
考點一、直接法
1．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）
A．y=x2+2x+4B．y=sinx+4sinx
C．y=2x+22?xD．y=lnx+4lnx
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合題意，C符合題意．
【詳解】對于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥3，當且僅當x=?1時取等號，所以其最小值為3，A不符合題意；
對于B，因為00，y=2x+22?x=2x+42x≥24=4，當且僅當2x=2，即x=1時取等號，所以其最小值為4，C符合題意；
對于D，y=lnx+4lnx，函數(shù)定義域為0,1∪1,+∞，而lnx∈R且lnx≠0，如當lnx=?1，y=?5，D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關函數(shù)的性質(zhì)即可解出．
2．（2021·天津·高考真題）若a>0,b>0，則1a+ab2+b的最小值為．
【答案】22
【分析】兩次利用基本不等式即可求出.
【詳解】∵ a>0,b>0，
∴1a+ab2+b≥21a?ab2+b=2b+b≥22b?b=22，
當且僅當1a=ab2且2b=b，即a=b=2時等號成立，
所以1a+ab2+b的最小值為22.
故答案為：22.
1.（2024·寧夏銀川·二模）已知A(3,0),B(?3,0)，P是橢圓x225+y216=1上的任意一點，則|PA|?|PB|的最大值為 .
【答案】25
【分析】先根據(jù)條件得|PA|+|PB|=10，再利用基本不等式求最值.
【詳解】由已知可得A(3,0),B(?3,0)為橢圓x225+y216=1的焦點，
根據(jù)橢圓定義知|PA|+|PB|=10，
所以|PA|?|PB|≤|PA|+|PB|22=25，
當且僅當|PA|=|PB|=5時等號成立，
故|PA|?|PB|的最大值為25.
故答案為：25.
2.（2024·甘肅定西·一模）x2+7x2+7的最小值為（）
A．27B．37C．47D．57
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【詳解】由題意知x≠0，所以x2>0,7x2>0，
所以x2+7x2+7≥2x2?7x2+7=37.
當且僅當x2=7x2，即x2=7時，等號成立.
故選：B.
3.（2024·全國·模擬預測）若x>0,y>0,3x+2y=1，則8x+4y的最小值為（）
A．2B．22C．32D．42
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】8x+4y=23x+22y≥223x?22y=223x+2y=22，
當且僅當23x=22y且3x+2y=1，即x=16,y=14時等號成立，
故選：B.
4.（2024·重慶·模擬預測）若實數(shù)a，b滿足ab=2，則 a2+2b2的最小值為（）
A．2B．22C．4D．42
【答案】D
【分析】借助基本不等式計算即可得.
【詳解】a2+2b2≥22a2b2=22×22=42，
當且僅當a2=2b2時，等號成立.
故選：D.
5.（2024·安徽·模擬預測）若a>0，b>0，則“a+b≤2”是“a+b≤1”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗證必要性即可得.
【詳解】當a=b=1時，a+b≤2成立，而a+b≤1不成立，
故“a+b≤2”不是“a+b≤1”的充分條件；
當a+b≤1時，有a+b≥2ab，當且僅當a=b時等號成立，
則a+b=a+b2=a+b+2ab≤2a+b=2≤2，
故“a+b≤2”是“a+b≤1”的必要條件.
故選：B.
6.（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)a,b滿足a2+b2=m，則a+b的最大值為（用m表示）．
【答案】2m
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.
【詳解】因為a,b是正實數(shù)，a2+b2=m，所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+(a2+b2)=2m，
當且僅當a=b=2m2時取等號，于是a+b≤2m，
所以a+b的最大值為2m.
故答案為：2m
考點二、配湊法

1.（2024高三·全國·專題練習）若函數(shù)fx=x+1x?3x>3在x=a處取最小值，則a= ．
【答案】4
【分析】利用配湊法可得fx=x?3+1x?3+3，結(jié)合基本不等式計算即可求解.
【詳解】fx=x+1x?3=x?3+1x?3+3≥2(x?3)?1x?3+3=5，
當且僅當x?3=1x?3即x=4時取等號，
即x=4時取最小值，故a=4．
故答案為：4
2.（2022·重慶·模擬預測）已知x>0，則2x+42x+1的最小值為 .
【答案】3
【分析】將原式變形為2x+1+42x+1?1，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】解：2x+42x+1=2x+1+42x+1?1≥22x+1?42x+1?1=3，當且僅當2x+1=2，即x=12時，等號成立.
故答案為：3.
1.（2023高三·全國·專題練習）若x>1，則x2+2x+2x?1的最小值為
【答案】25+4/4+25
【分析】由已知可得x?1>0，變形可得x2+2x+2x?1=x?1+5x?1+4，然后根據(jù)基本不等式即可得出答案.
【詳解】由x>1，則x?1>0.
因為x2+2x+2=x?12+4x?1+5，
所以x2+2x+2x?1=x?1+5x?1+4 ≥2x?1?5x?1+4=25+4，
當且僅當x?1=5x?1，即x=5+1時等號成立，
故x2+2x+2x?1的最小值為25+4.
故答案為：25+4.
2.（21-22高三上·安徽安慶·期末）下列函數(shù)的最小值為22的是（）
A．y=csx+2csxB．y=x+8?x
C．y=2x+22?xD．y=2x4+8x2+10x2+2
【答案】B
【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷A、D，利用基本不等式判斷C，將y=x+8?x兩邊平方，即可求出y的范圍，從而判斷B.
【詳解】對于A：因為00，
所以ymin=22，故B正確；
因為2x>0，所以y=2x+22?x≥22x?22?x=4，當且僅當2x=22?x，即x=1時取等號，故C錯誤；
對于D：y=2x4+8x2+10x2+2=2x2+22+1x2+2=2x2+2+1x2+2，又x2+2≥2，y=x+1x在2,+∞上單調(diào)遞增，
所以當x2+2=2，即x=0時ymin=5，故D錯誤．
故選：B．
3.（2024·江西贛州·二模）已知y>x>0，則yy?x?4x2x+y的最小值為 .
【答案】23
【分析】依據(jù)條件結(jié)構(gòu)特征利用分離常數(shù)法和配湊法思想對yy?x?4x2x+y進行變形配湊，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.
【詳解】由題y>x>0，所以
yy?x?4x2x+y=yy?x?4x+2y?2y2x+y=yy?x+2y2x+y?2
=y1y?x+22x+y?2=y22y?2x+22x+y?2
=132y?2x+2x+y22y?2x+22x+y?2
=232+2x+y2y?2x+2y?2x2x+y?2
≥232+22x+y2y?2x·2y?2x2x+y?2=83?2=23，
當且僅當2x+y2y?2x=2y?2x2x+y，即2x+y=2y?2x，即y=4x時等號成立.
故答案為：23.
【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于巧妙變形分離?4x2x+y=?4x+2y?2y2x+y=2y2x+y?2和配湊y=132y?2x+2x+y.
4.（22-23高三下·上海浦東新·階段練習）若關于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則1+2b+4cb?1的最小值為．
【答案】8
【分析】由題意可得Δ≤0化簡得c≥b24，所以1+2b+4cb?1≥ (b?1)+4b?1+4，利用基本不等式即可求解
【詳解】因為不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集為R，則Δ=b2?4c≤0?c≥b24，
因為b>1，所以b?1>0，
∴1+2b+4cb?1≥b2+2b+1b?1=(b?1)2+4(b?1)+4b?1 =(b?1)+4b?1+4≥2(b?1)×4b?1+4=8．
當且僅當b?1=4b?1，即b=3時，取到等號．
故答案為：8
考點三、常數(shù)“1”的代換
1.（2024·安徽·模擬預測）已知m,n∈0,+∞，1m+n=4，則m+9n的最小值為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.
【詳解】?m,n∈0,+∞，m+9n=14m+9n1m+n=1410+mn+9mn≥1410+2mn?9mn=4，
當且僅當mn=9mn，即m=1，n=3時等號成立.
故選：B.
2.（23-24高三下·重慶·階段練習）已知正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，則ab+3b的最小值為（）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】將1a+1b=1變形為ab=a+b，代入ab+3b，再通過常數(shù)代換和基本不等式可得.
【詳解】因為1a+1b=1，所以ab=a+b，
所以ab+3b=a+4b=a+4b1a+1b=5+4ba+ab≥5+24=9，
當且僅當a=3,b=32時，等號成立，所以ab+3b的最小值為9.
故選：B
1.（2024·遼寧鞍山·模擬預測）若x>0，y>0，且x+y=1，則4x+1y的最小值為．
【答案】9
【分析】利用“1”的變形，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】4x+1y=4x+1yx+y=5+4yx+xy≥5+24yx?xy=9，
當4yx=xy，即x=2y，聯(lián)立x+y=1，得到x=23,y=13時，等號成立，
所以4x+1y的最小值為9.
故答案為：9
2.（2024·廣西河池·模擬預測）若實數(shù)a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，則1a?1+1b的最小值為 .
【答案】4
【分析】根據(jù)a>1>b>0，將a2+2b=b2+2a化簡可得a+b?2=0，再根據(jù)基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【詳解】由a2+2b=b2+2a可得a?ba+b?2=0，
因為a>1>b>0，所以a?b≠0，即a+b?2=0，則a?1+b=1，
則1a?1+1b=1a?1+1ba?1+b=2+ba?1+a?1b≥2+2ba?1?a?1b=4，
當且僅當ba?1=a?1b，即a=32,b=12時等號成立，故1a?1+1b的最小值為4.
故答案為：4.
3.（2024·上海徐匯·二模）若正數(shù)a、b滿足1a+1b=1，則2a+b的最小值為 .
【答案】3+22/22+3
【分析】根據(jù)基本不等式求解．
【詳解】由已知2a+b=(2a+b)(1a+1b)=3+2ab+ba≥3+22，當且僅當2ab=ba，即a=1+22,b=1+2時等號成立，故所求最小值是3+22．
故答案為：3+22．
4.（2024·浙江·模擬預測）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1b2+ab=1，則ab的最大值為（）
A．2?2B．2+2C．4+22D．4?22
【答案】D
【分析】首先變形ab=ab×2a2+2ab+1b2+ab，化簡后換元ab=x>0，轉(zhuǎn)化為關于x的式子，利用基本不等式求最值.
【詳解】ab=ab×2a2+2ab+1b2+ab=2aba2+2ab+abb2+ab，
=2ab+2+1ba+1，
設ab=x>0，
則ab=2x+2+11x+1=2x+2+xx+1=2x+2?1x+1+1，
=xx+2x+1+1=1x+2x+3+1≤122+3+1=4?22，
當x=2x，即x=2，ab=2時等號成立，
所以ab的最大值為4?22.
故選：D
5.（2024·寧夏·二模）直線ax+by?1=0過函數(shù)f(x)=x+1x?1圖象的對稱中心，則4a+1b的最小值為（）
A．9B．8C．6D．5
【答案】A
【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得fx的對稱中心，從而得到a+b=1，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【詳解】因為y=x+1x為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于(0,0)中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數(shù)f(x)=x+1x?1的圖象，
所以fx的對稱中心為(1,1)，所以a+b=1，
所以4a+1b=a+b4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，
當且僅當4ba=ab，即a=2b=23時，等號成立，
所以4a+1b的最小值為9．
故選：A
6.（2024·河南·模擬預測）已知點Px,y在以原點O為圓心，半徑r=7的圓上，則1x2+1+4y2+1的最小值為（）
A．49B．5+229C．79D．1
【答案】D
【分析】由題可得點P滿足的圓方程x2+y2=7，進而x2+1+y2+1=9，然后利用基本不等式結(jié)合條件即得.
【詳解】由題意可得點P的坐標滿足x2+y2=7，所以，x2+1+y2+1=9．
因此，1x2+1+4y2+1=19x2+1+y2+11x2+1+4y2+1
=195+y2+1x2+1+4x2+1y2+1≥195+2y2+1x2+1×4x2+1y2+1=1.
當且僅當y2+1x2+1=4x2+1y2+1時，即x=±2,y=±5時取等號．
故選: D．
考點四、和積定值
1.（2024·廣西·模擬預測）已知a,b∈(?∞,0)，且a+4b=ab?5，則ab的取值范圍為（）
A．[25,+∞)B．[1,+∞)C．0,5D．0,1
【答案】D
【分析】首先確定00，若a2+λb2≤a3+b3a?b，則實數(shù)λ的最大值為（）
A．2+22B．4C．2+2D．22
【答案】A
【分析】由不等式可得λ≤a3+b3a?b?a2b2=b2+a2ab?b2=1+(ab)2ab?1，求出右邊的最小值，進而可得λ的最大值．
【詳解】因為a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a?b，可得λ≤a3+b3a?b?a2b2=b2+a2ab?b2=1+(ab)2ab?1，
設t=ab>1，只需要λ小于等于右邊的最小值即可，
則1+(ab)2ab?1=1+t2t?1，
令s=t?1>0，可得t=s+1，
所以1+(s+1)2s=s+2s+2≥2s?2s+2=22+2，當且僅當s=2s，即s=2時取等號，
所以λ≤2+22，
即λ的最大值為2+22．
故選：A．
2.（23-24高三上·河南·階段練習）正數(shù)a，b滿足a>b，ab=4，則a3+b3a2?b2的最小值為（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】已知條件化簡可得：a3+b3a2?b2=a2+b2?aba?b=(a?b)2+4a?b=a?b+4a?b，利用基本不等式計算可得結(jié)果.
【詳解】由題意得a3+b3a2?b2=a2+b2?aba?b=(a?b)2+4a?b=a?b+4a?b，
令t=a?b>0，則a3+b3a2?b2=t+4t≥4，當且僅當t=2時，等號成立．
故選:C．
1.（2024·全國·模擬預測）已知x>y>0，6x+y+2x?y=1，則2x?y的最小值為．
【答案】12
【分析】令a=2x+y，b=2x?y，從而可得x=1a+1b，y=1a?1b，再根據(jù)2x?y=1a+3b3a+b，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】令a=2x+y，b=2x?y，則x+y=2a，x?y=2b，且a>0，b>0，
所以x=1a+1b，y=1a?1b．
又3a+b=1，所以2x?y=21a+1b?1a?1b=1a+3b=1a+3b3a+b
=3+ba+9ab+3≥6+2ba?9ab=12，
當且僅當a=16，b=12，即x=8，y=4時，等號成立．
故答案為：12
2.（2024高三·全國·專題練習）設正實數(shù)x,y滿足x>23,y>2，不等式9x2y?2+y23x?2≥m恒成立，求m的最大值．
【答案】16
【分析】利用換元法，將不等式左邊轉(zhuǎn)化為a,b 的表達式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得解.
【詳解】因為x>23，y>2，所以3x?2>0，y?2>0，
令a=3x?2，b=y?2，則a>0，b>0，x=a3+23，y=b+2，
所以9x2y?2+y23x?2=9a3+232b+b+22a=a2b+4ab+4b+b2a+4ba+4a
=a2b+b2a+4ab+4ba+4b+4a≥2a2b?b2a+24ab?4ba+24b?4a
=2ab+8+8ab≥22ab×8ab+8=16，
當且僅當a2b=b2a且4ab=4ba且4b=4a且2ab=8ab，即a=b=2，
即x=43，y=4時，等號成立，
又不等式9x2y?2+y23x?2≥m恒成立，所以m≤16，即m的最大值為16.
1．（2022·福建泉州·模擬預測）若正實數(shù)x，y滿足1x+y=2，則x+4y的最小值是（）
A．4B．92C．5D．9
【答案】B
【分析】本題利用“1”的妙用技巧進行替換，然后利用基本不等式求解.
【詳解】解：因為x，y是正實數(shù)，所以xy>0
故有x+4y=121x+yx+4y=125+xy+4xy≥12(5+24)=92，
當且僅當xy=4xy，即x=32，y=43時取到等號.
故選：B.
2．（2024·天津·二模）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，拋物線上的點M4,y0到F的距離為6，雙曲線x2a2?y2b2=1a>0，b>0的左焦點F1在拋物線的準線上，過點F1向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為H，則H與雙曲線兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為（）．
A．2B．3C．5D．3
【答案】A
【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求p、F、F1，再由雙曲線的性質(zhì)，基本不等式計算即可.
【詳解】設雙曲線右焦點F2，易知Fp2,0，MF=4+p2=6?p=4，
即F2,0,F1?2,0,F22,0，而雙曲線的一條漸近線為y=bax，
易知F1H=bca2+b2=b，a2+b2=c2=4所以OH=a，
由雙曲線的性質(zhì)可知S△HF1F2=2S△HF1O=ab，
由基本不等式可知ab≤a2+b22=2，當且僅當a=b=2時取得等號.
故選：A
3．（23-24高三下·北京順義·階段練習）已知a>0，b>0，則“a+b>2”是“ab>1”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.
【詳解】若a=1.5,b=0.6，滿足a+b>2，但ab0,b>0，ab>1，則a+b≥2ab>2，即a+b>2，
所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分條件.
故選：B
4．（2023·天津南開·一模）已知實數(shù)a>0,b>0,a+b=1，則2a+2b的最小值為 .
【答案】22
【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.
【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，
∴2a+2b≥22a×2b=22a+b=22，當且僅當2a=2b即a=b=12時取等號.
故答案為：22.
5．（2022·天津南開·模擬預測）若實數(shù)x，y滿足x>y>0，且xy=4，則x?yx+y2的最大值為 .
【答案】18/0.125
【分析】令x?y=t，對不等式變形得到x?yx+y2=1t+16t，利用基本不等式進行求解.
【詳解】令x?y=t，則t>0，
x?yx+y2=tx?y2+4xy=tt2+16=1t+16t≤12t?16t=18，
當且僅當t=16t，即t=4時，等號成立，
所以x?yx+y2的最大值為18
故答案為：18
6．（21-22高三上·天津南開·階段練習）若a，b>0，且ab=a+b+3，則ab的最小值是．
【答案】9
【分析】利用基本不等式得a+b=ab?3≥2ab，再解不等式可得結(jié)果.
【詳解】因為a+b=ab?3≥2ab（當且僅當a=b時，等號成立），
所以(ab)2?2ab?3≥0，
所以(ab?3)(ab+1)≥0，所以ab≥3，所以ab≥9，
所以ab的最小值為9.
故答案為：9
7．（2024·天津·模擬預測）若a>0，b>0，且a+b=1，則a+1ab+1b的最小值為
【答案】254
【分析】先對a+1ab+1b進行等式變形，利用a+b=1把原式化簡為ab+2ab?2，再利用均值不等式可得ab≤14，然后由函數(shù)y=x+1x在區(qū)間(0,14]上是單調(diào)遞減，即可得到最小值為254.
【詳解】由a+1ab+1b=ab+ba+ab+1ab=ab+a2+b2ab+1ab=ab+a+b2?2abab+1ab，
因為a+b=1，所以上式=ab+1?2abab+1ab=ab+2ab?2，
又因為a>0，b>0，由均值不等式得：00，則x2+yxy的最小值為（）
A．2+1B．2+2C．4D．2?1
【答案】A
【分析】根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關系，之后得出x2+yxy=xy+y2x+1，利用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.
【詳解】∵a=1,1， b=2x+y,2，其中xy>0，且a//b，
∴2x+y=2，
∴x2+yxy=xy+1x=xy+x+y2x=xy+y2x+1≥2xy?y2x+1=2+1，
當且僅當y=2x即x=2?2時取等號，
∴x2+yxy的最小值為2+1.
故選：A.
3．（2024高三·天津·專題練習）已知正項等比數(shù)列an中，a4，3a3，a5成等差數(shù)列．若數(shù)列an中存在兩項am，an，使得2a1為它們的等比中項，則1m+4n的最小值為（）
A．1B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意求出首項及公比，再根據(jù)等比中項的定義求出m+n，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.
【詳解】設正項等比數(shù)列an公比為q，由a4，3a3，a5成等差數(shù)列，
有6a3=a4+a5，即6a3=a3q+a3q2，得q2+q?6=0，
由q>0，解得q=2，
若數(shù)列an中存在兩項am，an，使得2a1為它們的等比中項，
則2a12=am?an，即2a12=a1qm?1?a1qn?1，得2m+n?2=2，則m+n=3，
1m+4n=131m+4nm+n=131+nm+4mn+4≥135+2nm?4mn=3，
當且僅當nm=4mn，即m=1,n=2時等號成立，
所以1m+4n的最小值為3．
故選：B
4．（23-24高三上·天津南開·階段練習）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S8?2S4=6，則a9+a10+a11+a12的最小值為（）
A．10B．14C．20D．24
【答案】D
【分析】設正項等比數(shù)列an的公比為q，推導出q>1，S4=6q4?1，可得出a9+a10+a11+a12=6q4?1+1q4?1+2，結(jié)合基本不等式可求得a9+a10+a11+a12的最小值.
【詳解】設正項等比數(shù)列an的公比為q，則q>0，
所以，S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a1+a2+a3+a4+q4a1+a2+a3+a4
=S41+q4，
則S8?2S4=S4q4?1=6，則q4>1，可得q>1，則S4=6q4?1，
所以，a9+a10+a11+a12=q8a1+a2+a3+a4=S4q8=6q8q4?1=6q4?1+12q4?1
=6q4?12+1+2q4?1q4?1=6q4?1+1q4?1+2≥62q4?1?1q4?1+2=24，
當且僅當q4?1=1q4?1q>1時，即當q=42時，等號成立，
故a9+a10+a11+a12的最小值為24.
故選：D.
5．（2024·天津武清·模擬預測）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，則向量AE在向量CB上的投影向量的模為；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且AM?AN=52，則MD?DN的最小值為 .
【答案】22；22?52
【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解投影向量的模；再設BM=λBC=?λ,λ，CN=μCE=0,μ，λ,μ∈0,1，進而根據(jù)題意得λμ=12，再根據(jù)坐標運算得MD?DN=λ+12λ?52，進而結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，如圖，建立平面直角坐標系，
因為AB=2CD=2AD=2，
所以A0,0,B2,0,D0,1,C1,1,E1,2，
所以，AE=1,2,CB=1,?1，
所以，向量AE在向量CB上的投影向量為AEcsAE,CB?CBCB=52?1?25?21,?1=?121,?1=?12,12，
故其模為?122+122=22.
因為M，N分別為線段BC，CE上的動點，
所以，設BM=λBC=?λ,λ，CN=μCE=0,μ，λ,μ∈0,1
所以AM=AB+BM=2?λ,λ,AN=AC+CN1,1+μ，
所以AM?AN=2?λ+λ+λμ=52，即λμ=12，
所以MD=AD?AM=λ?2,1?λ,DN=AN?AD=1,μ，
所以MD?DN=λ?2+μ1?λ=λ+μ?52=λ+12λ?52≥212?52=22?52，
當且僅當λ=12λ，即λ=22時等號成立.
故答案為：22；22?52
6．（2024·天津·模擬預測）已知正△ABC的邊長為3，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點M、N，AM=λAB，AN=μAC，BD=DC.
（1）若AN=2NC，則AD?BN= ；
（2）△AMN與△ABC的面積之比的最小值為 .
【答案】 ?34/?0.75 49
【分析】根據(jù)AD?BN=12(AB+AC)?(23AC?AB)，利用數(shù)量積的定義及運算律即可計算；由題意可得AO=13λAM+13μAN，根據(jù)三點共線可得1λ+1μ=3，利用三角形的面積公式可得S△AMNS△ABC=λμ，再結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）AD?BN=12(AB+AC)?(AN?AB)=12(AB+AC)?(23AC?AB)
=12(?13AB?AC+23AC2?AB2)=12×(?13×3×3×12+23×3?3)=?34；
（2）因為AO=23×12(AB+AC)=13AB+13AC，所以AO=13λAM+13μAN，
因為M，O，N三點共線，故13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，
又因為S△AMNS△ABC=12|AM|?|AN|?sinA12|AB|?|AC|?sinA=λμ，而λ,μ∈0,1，1λ+1μ=3，
則1λ+1μ=3≥21λ?1μ，即λμ≥49，當且僅當λ=μ=23時取等號，
所以△AMN與△ABC的面積之比的最小值為49.
故答案為：?34；49.
7．（23-24高三下·天津·開學考試）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，當x= 時，1x+14y+1取得最小值，最小值是．
【答案】 3?322 1+223
【分析】由x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，利用對數(shù)運算得到x+2y=1，即2x+4y+1=3，再利用“1”的代換求解.
【詳解】解：∵lg2x+lg4y=lg2x+2y=lg2，
∴x+2y=1,2x+4y+1=3，1x+14y+1=13×22x+14y+1(2x+4y+1)，
=133+2(4y+1)2x+2x4y+1 =133+22(4y+1)2x?2x4y+1≥1+223，
當且僅當2(4y+1)2x=2x4y+1時“＝”成立，
又∵x+2y=1，
∴ 2x2?12x+9=0,x=3±322，
∵2y=1?x>0,∴x0, b>0，且ab=1，則12a+12b+8a+b的最小值為．
【答案】4
【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為a+b2+8a+b，利用基本不等式即可求解.
【詳解】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴12a+12b+8a+b=ab2a+ab2b+8a+b
=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4，當且僅當a+b=4時取等號，
結(jié)合ab=1,解得a=2?3,b=2+3，或a=2+3,b=2?3時，等號成立.
故答案為：4
【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.
2．（2019·天津·高考真題）設x>0，y>0，x+2y=4，則(x+1)(2y+1)xy的最小值為 .
【答案】92.
【分析】把分子展開化為(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．
【詳解】由x+2y=4，得x+2y=4≥22xy，得xy≤2
(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy≥2+52=92，
等號當且僅當x=2y，即x=2,y=1時成立．
故所求的最小值為92．
【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．
3．（2021·全國·高考真題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，點M在C上，則MF1?MF2的最大值為（）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到MF1+MF2=2a=6，借助基本不等式MF1?MF2≤MF1+MF222即可得到答案．
【詳解】由題，a2=9,b2=4，則MF1+MF2=2a=6，
所以MF1?MF2≤MF1+MF222=9（當且僅當MF1=MF2=3時，等號成立）．
故選：C．
4．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=12CD→，記AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE?= ；若BF=13BC，則AE?AF的最大值為．
【答案】 14a+12b 1324
【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合E為CD的中點進行求解；空2：用a,b表示出AF，結(jié)合上一空答案，于是AE?AF可由a,b表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為E為CD的中點，則ED+EC=0，可得AE+ED=ADAE+EC=AC，
兩式相加，可得到2AE=AD+AC，
即2AE=12a+b，則AE=14a+12b；
空2：因為BF=13BC，則2FB+FC=0，可得AF+FC=ACAF+FB=AB，
得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB，
即3AF=2a+b，即AF=23a+13b.
于是AE?AF=14a+12b?23a+13b=1122a2+5a?b+2b2.
記AB=x,AC=y，
則AE?AF=1122a2+5a?b+2b2=1122x2+5xycs60°+2y2=1122x2+5xy2+2y2，
在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2?2xycs60°=x2+y2?xy=1，
于是AE?AF=1122xy+5xy2+2=1129xy2+2，
由x2+y2?xy=1和基本不等式，x2+y2?xy=1≥2xy?xy=xy，
故xy≤1，當且僅當x=y=1取得等號，
則x=y=1時，AE?AF有最大值1324.
故答案為：14a+12b；1324.

5．（2018·天津·高考真題）已知a , b∈R，且a?3b+6=0，則2a+18b的最小值為 .
【答案】14
【分析】由題意首先求得a?3b的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件.
【詳解】由a?3b+6=0可知a?3b=?6，
且：2a+18b=2a+2?3b，因為對于任意x，2x>0恒成立，
結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：2a+2?3b≥2×2a×2?3b=2×2?6=14.
當且僅當2a=2?3ba?3b=?6，即a=?3b=1時等號成立.
綜上可得2a+18b的最小值為14.
【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
6．（2017·天津·高考真題）若a,b∈R，ab>0，則a4+4b4+1ab的最小值為 .
【答案】4
【詳解】a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab?1ab=4 ，（前一個等號成立條件是a2=2b2，后一個等號成立的條件是ab=12，兩個等號可以同時取得，則當且僅當a2=22,b2=24時取等號）.
【考點】均值不等式
【名師點睛】利用均指不等式求最值要靈活運用兩個公式，（1）a,b∈R,a2+b2≥2ab ，當且僅當a=b時取等號；（2）a,b∈R+ ，a+b≥2ab ，當且僅當a=b時取等號；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件；另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
5年考情
考題示例
考點分析
2023年天津卷，第14題,5分
余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值
2021年天津卷，第13題,5分
基本不等式求和的最小值
2020年天津卷，第14題,5分
基本不等式求和的最小值

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