考察知識范圍：集合與邏輯 不等式 函數(shù)及其性質(zhì) 導(dǎo)數(shù) 三角函數(shù) 解三角形 向量與復(fù)數(shù)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若集合中的三個元素可構(gòu)成的三邊長，則一定不是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，則p的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，P是BN的中點(diǎn)，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
5．在中，下列條件不是的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，那么函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知滿足，且在處的切線方程為，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若一元二次不等式的解集是，則的值是
B．若集合，，則集合的子集個數(shù)為4
C．函數(shù)的最小值為
D．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．函數(shù)的值域為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形
C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點(diǎn)，記為，則
11．已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，關(guān)于的結(jié)論正確的有（ ）
A．的一個周期是 B．是非奇非偶函數(shù)
C．在單調(diào)遞減 D．的最大值大于
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為________．
13．已知函數(shù)在上恰有2個極大值點(diǎn)，則的取值范圍是________．
14．已知是R上的奇函數(shù)，且對任意的均有成立．若，則不等式的解集為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（本小題13分）
已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．
16．（本小題15分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
17．（本小題15分）
中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角B的大??；
（Ⅱ）設(shè)，，求b和的值．
18．（本小題17分）
已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）若使得成立，試求a的取值范圍；
（3）當(dāng)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B時，若的面積為，試求a的值．
19．（本小題17分）
行列式在數(shù)學(xué)中，是一個函數(shù)，其定義域為的矩陣A，取值為一個標(biāo)量，寫作或．無論是在線性代數(shù)、多項式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用．將形如的符號稱二階行列式，并規(guī)定二階的行列式計算如下：，設(shè)函數(shù)．
（1）求的對稱軸方程；
（2）在中，若，，，對任意實數(shù)t恒有，求面積的最大值；
（3）在中，若，點(diǎn)I為內(nèi)心，且滿足，求的最大值．
呼和浩特市第二中學(xué)（高三年級）2024-2025學(xué)年第一學(xué)期
數(shù)學(xué)月考試卷參考答案
考察知識范圍：集合與邏輯 不等式 函數(shù)及其性質(zhì) 導(dǎo)數(shù) 三角函數(shù) 解三角形 向量與復(fù)數(shù)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了三角形形狀的判斷，掌握集合中元素的互不相同是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)可知a，b，c互不相等，得到三角形的三邊長互不相等，一定不為等腰三角形．
【解答】
解：根據(jù)集合元素的特點(diǎn)可知：
a，b，c三個元素互不相等，
若此三個元素構(gòu)成某一三角形的三邊長，
則此三角形一定不是等腰三角形．
故選D．
2．【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可得到答案．
【解答】
解：因為，
則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．
故選B．
3．【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了充分必要條件，考查解對數(shù)不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．
先求出x的范圍，再找真子集即可．
【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∵選項中只有選項C是的真子集，
故選C．
4．【答案】D
【解析】【分析】
本題主要考查平面向量的加法，減法及幾何意義與平面向量的基本定理，考查學(xué)生推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
利用向量的加法，減法運(yùn)算得，利用平面向量基本定理得，．
【解答】
解：因為P是BN的中點(diǎn)，所以．
所以
，
因為，
所以，，
所以．
故選D．
5．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查充要條件、正弦定理、余弦函數(shù)的性質(zhì)和二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
由正弦定理可知A正確；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知B正確；由二倍角公式和A選項可知C正確；由反例可知D錯誤．
【解答】
解：對于A選項，等價于，由正弦定理知等價于；
對于B選項，在上是單調(diào)減函數(shù)，
故與等價；
對于C選項，由，可知不等式等價為，
由于，均大于0，由A選項知與等價；
對于D選項，當(dāng)，滿足，但不能推出．
故選D．
6．【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)定義域的求法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，確定a的值，然后根據(jù)成立的條件即可求出函數(shù)的定義域．
【解答】
解：∵是偶函數(shù)，
∴，
即，解得．
要使函數(shù)有意義
則，
即，∴，
解得．
即函數(shù)的定義域為．
故選B．
7．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查逆用兩角差的余弦公式和利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡，屬于較易題．
先求出和的平方和，再利用兩角差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求出的值．
【解答】
解：因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
故．
故選：D．
8．【答案】D
【解析】【分析】
本題考查奇函數(shù)的定義，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．
利用奇函數(shù)的定義得到a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．
【解答】
解：函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，
所以，解得，所以，則，
所以，則，
因為在處的切線方程為，
所以，解得，
所以．
故選：D．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9．【答案】ABD
【解析】【分析】
本題考查了判斷命題真假的判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．
利用不等式解集求出a，b判斷A；解指數(shù)對數(shù)不等式判斷B；舉例說明判斷C；利用冪函數(shù)性質(zhì)確定單調(diào)性判斷D．
【解答】
解：對于A，因為一元二次不等式的解集是，所以和是方程的兩根且，
所以，解得，，所以，選項A正確；
對于B，集合，
集合，
所以集合，其子集個數(shù)為4，選項B正確；
對于C，時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，的最小值為；
同理時，有最大值為，所以選項C錯誤；
對于D，函數(shù)的定義域為，函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確．
故選：ABD．
10．【答案】BCD
【解析】【分析】
本題考查了函數(shù)的平移、函數(shù)的值域、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的對稱性，屬于中檔題．
根據(jù)題意有函數(shù)的值域為，從而判定A；
為奇函數(shù)，從而判定B；
由選項B可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可判定C；
易得函數(shù)關(guān)于中心對稱，由對稱性計算判定D．
【解答】
解：因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為，即A錯誤；
函數(shù)，
根據(jù)題意有，
因為，則函數(shù)為奇函數(shù)，
函數(shù)圖像關(guān)于成中心對稱，所以選項B正確；
由選項B可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，選項C正確；
選項D：由B可知，關(guān)于中心對稱，且關(guān)于中心對稱，
所以這2024個交點(diǎn)關(guān)于對稱，故，故D正確．
故選：BCD．
11．【答案】ABD
【解答】
解：因為，
所以是函數(shù)的一個周期，因此A正確；
因為，
，
所以且，
因此是非奇非偶函數(shù)，因此B正確；
因為當(dāng)時，，
因此，
當(dāng)時，，，
∴，
當(dāng)，，，
∴．
所以在上不單調(diào)，因此C不正確；
當(dāng)時，，，
因此，所以D正確；
故選ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．【答案】16
【解析】【分析】
本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
可對式子乘以1，也即乘以，再使用基本不等式即可求出答案．
【解答】
解：∵正數(shù)a，b滿足，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，也即當(dāng)時取“”．
故答案為：16．
13．【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查三角函數(shù)的恒等變形，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵，屬于中檔題．
利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合題意利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】
解：
，
∵，
∴，
∵在上恰有2個極大值點(diǎn)，
∴，
解得，
故答案為：．
14．【答案】
【解析】【分析】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)解（證明）不等式，屬于中檔題．
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，再將問題轉(zhuǎn)化為，從而得解．
【解答】
解：由得．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，為奇函數(shù)，
所以，，
則．
故選：．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．【答案】解：（1）由于，故的最小正周期為；（3分）
令，，即，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（6分）
（2）因為，所以，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，（9分）
又，
故當(dāng)，即時，取到最大值；
當(dāng)，即時，取到最小值．（13分）
16．【答案】解：（1）因為，
所以，．（3分）
又因為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（6分）
（2）設(shè)，
則．（9分）
當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以對任意，有，
即．（12分）
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
因此在區(qū)間上的最大值為，
最小值為．（15分）
17．【答案】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，（2分）
又，
∴，
即，
∴，（4分）
又，∴．（6分）
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得，（9分）
由，得，
∵，
∴，
∴，
，（12分）
∴．（15分）
18．【答案】（1）由，解得，
即函數(shù)的零點(diǎn)為e．（3分）
（2）∵，
∴，（6分）
令，則，，
∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，（8分）
故在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，即．（10分）
（3）由題可知，故切點(diǎn)為，
∵，∴，
所以切線方程為：，（13分）
交x軸于，交y軸于，
設(shè)切線交函數(shù)于點(diǎn)，因為，故，
又，故B的位置只能在C的上方．
如圖，則的面積為，
或（舍），故，（15分）
所以函數(shù)過點(diǎn)，
∴，∴．（17分）
19．【答案】解：（1），（2分）
所以的對稱軸為，；（3分）
（2）由得，
因為A是的內(nèi)角，所以，，∴，，（6分）
由，得，
兩邊平方，整理得，
對任意實數(shù)t恒成立，
所以，
得，
則有且，
所以，（9分）
，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以，當(dāng)時，面積的最大值為．（12分）
（3）設(shè)，（延長AI交BC于點(diǎn)D，內(nèi)切圓切BC，AC于E，F(xiàn)）
由得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值．（17分）

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