1．（3分）下列事件是隨機事件的是（ ）
A．a(chǎn)2+b2＝﹣1（其中a，b都是實數(shù)）
B．經(jīng)過有信號燈的十字路口，遇見綠燈
C．擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7
D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°
2．（3分）拋物線y＝x2+4的頂點坐標是（ ）
A．（4，0）B．（﹣4，0）C．（0，﹣4）D．（0，4）
3．（3分）把拋物線先向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如圖，小明從A入口進入博物館參觀，參觀后可從B，C，D三個出口走出，他恰好從C出口走出的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）對于二次函數(shù)y＝﹣2（x+3）2的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向上
B．對稱軸是直線x＝﹣3
C．當x＞﹣4時，y隨x的增大而減小
D．頂點坐標為（﹣2，﹣3）
6．（3分）已知（0，y1），（1，y2），（4，y3）都是拋物線y＝2x2﹣3x+m上的點，則（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
7．（3分）一同學擲鉛球，時間x（秒）與高度y（米）之間的關(guān)系為y＝ax2+bx（a≠0）．若鉛球在第7秒與第14秒時的高度相等，則在哪一時刻鉛球最高（ ）
A．第7秒B．第8秒C．第10.5秒D．第21秒
8．（3分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，設(shè)S四邊形ABCD＝S，S△AEF＝S1，則（ ）
A．B．C．D．5S1＝2S
9．（3分）有一個開口向下的二次函數(shù)，下表是函數(shù)中四對x與y的對應(yīng)值．
若其中有一對對應(yīng)值有誤，當y＜﹣1時，x的取值范圍是（ ）
A．x≠0的全體實數(shù)B．x＜0或x＞3
C．0＜x＜3D．x＞0或x＜1
10．（3分）在“探索二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了坐標系中的四個點：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同學們分別畫出了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達式y(tǒng)＝ax2+bx+c，則a+b+c的最大值等于（ ）
A．﹣5B．C．2D．5
二、認真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案。
11．（3分）拋物線y＝ax2經(jīng)過點（﹣2，8），那么a＝ ．
12．（3分）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的小球．已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)是 ．
13．（3分）若一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝﹣2x2相同，它的頂點坐標是（1，﹣2），則該二次函數(shù)的表達式是 ．
14．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝7，∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，則線段EF的長為 ．
15．（3分）拋物線y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝1，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則t的取值范圍是 ．
16．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（包括這兩點）下列結(jié)論：①3a+b＞0；②當﹣1＜x＜3時，y＜0；③b＞c，④，其中正確的是 （填序號）．
三、全面答一答（本題有8個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟如果覺得有些題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以）
17．（9分）根據(jù)下列條件分別求二次函數(shù)的解析式：
（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣3，﹣1），且當x＝2時，函數(shù)有最大值4．
（2）已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，與坐標軸交于點（0，4），（﹣5，0）．
18．（9分）如圖，現(xiàn)有一個均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，分別標有2、3、4、5、6、7這六個數(shù)字，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．
求：
（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)出的數(shù)字大于3的概率是多少；
（2）現(xiàn)有兩張分別寫有3和4的卡片，要隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后記下轉(zhuǎn)出的數(shù)字，與兩張卡片上的數(shù)字分別作為三條線段的長度．
①這三條線段能構(gòu)成三角形的概率是多少？
②這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是多少？
19．（9分）把一個足球垂直水平地面向上踢，時間為t（秒）時該足球距離地面的高度h（米）適用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）當t＝3時，求足球距離地面的高度；
（2）當足球距離地面的高度為10米時，求t；
（3）若存在實數(shù)t1，t2（t1≠t2）當t＝t1或t2時，足球距離地面的高度都為m（米），求m的取值范圍．
20．（9分）在4件同型號的產(chǎn)品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）從這4件產(chǎn)品中隨機抽取1件進行檢測，求抽到的是不合格品的概率；
（2）從這4件產(chǎn)品中隨機抽取2件進行檢測，請用樹狀圖或列表法求出抽到的2件都是合格品的概率；
（3）在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后，進行如下試驗：隨機抽取1件進行檢測，然后放回，多次重復(fù)這個試驗，通過大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，則可以推算出x的值大約是多少？
21．（9分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸，y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；并寫出其對稱軸與頂點坐標．
（2）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當y＞﹣3時，x的取值范圍．
22．（9分）已知：如圖，將矩形紙片ABCD的兩個角分別沿BE，DF向內(nèi)折起，恰好使點A和點C落在對角線BD上同一點O處．
（1）判斷四邊形BFDE的形狀，并說明理由；
（2）若AB＝1，求四邊形BFDE的面積．
23．（9分）拋物線y＝ax2+bx+c的圖象如圖．
（1）若拋物線的對稱軸為直線x＝1，與y軸的交點為（0，2），當y＜2時，求x的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，若此拋物線圖象上有兩點M（x1，﹣2024），N（x2，﹣2024），求當x＝x1+x2時，二次函數(shù)的值．
（3）若此拋物線圖象上有兩點（x1，m），（x2，m），當x＝x1+x2時，函數(shù)值與解析式中的哪個系數(shù)有關(guān)？請說明理由．
24．（9分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m的頂點為A．
（1）求頂點A的坐標（用含有字母m的代數(shù)式表示）；
（2）若點B（2，yB），C（5，yC）在拋物線上，且yB＞yC，則m的取值范圍是 ；（直接寫出結(jié)果即可）
（3）當1≤x≤3時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．
2024-2025學年浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔申花實驗中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請選出正確的選項.注意可以用多種不同的方法來選取正確答案。
1．【解答】解：A、a2+b2＝﹣1（其中a，b都是實數(shù)），是不可能事件，不符合題意；
B、經(jīng)過有信號燈的十字路口，遇見綠燈，是隨機事件，符合題意；
C、擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)是7，是不可能事件，不符合題意；
D、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件，不符合題意；
故選：B．
2．【解答】解：拋物線y＝x2+4的頂點坐標是（0，4）．
故選：D．
3．【解答】解：拋物線y＝x2﹣1的頂點坐標為（0，﹣1），
∵向右平移一個單位，再向下平移2個單位，
∴平移后的拋物線的頂點坐標為（1，﹣3），
∴得到的拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣3．
故選：B．
4．【解答】解：小明恰好在C出口出來的概率為，
故選：B．
5．【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得拋物線開口向下，
對稱軸為直線x＝﹣3，頂點坐標為（﹣3，0），
x≤﹣3時y隨x增大而增大，
x＞﹣3時y隨x增大而減?。?br>故選：B．
6．【解答】解：拋物線 y＝2x2﹣3x+m 的對稱軸為，
∵a＝2＞0，
∴拋物線開口向上，
∵﹣0＝，1﹣＝，4﹣＝，＞＞，
∴0到對稱軸的距離大于1到對稱軸的距離，4到對稱軸的距離大于0到對稱軸的距離，
∴y1＞y2，y3＞y1，
∴y3＞y1＞y2，
故選：D．
7．【解答】解：由題意可知：h（7）＝h（14），
即49a+7b＝196a+14b，
解得b＝﹣a，
函數(shù)y＝ax2+bx的對稱軸x＝﹣＝10.5，
故在x＝10.5s時，鉛球的高度最高，
故選：C．
8．【解答】解：如圖，連接AC，交EF于H，
∵點E是BC的中點，
∴S△ABE＝S△AEC＝S△ABC，
∵點H在AC上，
∴S△AEH＜S△ABC，
同理可得S△AFH＜S△ADC，
∴S△AEF＜S四邊形ABCD，
∴S1＜S，
故選：B．
9．【解答】解：若當x＝﹣1，y＝m2，對應(yīng)值正確時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)開口向上，不符合題意的要求，
∴x＝﹣1，y＝m2，對應(yīng)值有誤，
∵x＝1，y＝m2；x＝2，y＝m2；m2＞﹣1，
∴該二次函數(shù)的對稱軸為x＝，開口方向向下，
又∵當x＝0時，y＝﹣1，
∴（0，﹣1）在該二次函數(shù)圖象上，它關(guān)于x＝軸對稱的點（3，﹣1）也在該二次函數(shù)圖象上，
∴當y＜﹣1時，x的取值范圍是x＜0或x＞3．
故選：B．
10．【解答】解：∵A、B、C的縱坐標相同，
∴拋物線不會經(jīng)過A、B、C三點，
∴拋物線經(jīng)過可能經(jīng)過A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，
如圖，經(jīng)過A、D、C三點的拋物線，當x＝1時，y的值最大，
把A（0，1），C（4，1），D（3，2）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴經(jīng)過A、D、C三點的拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+1，
當x＝1時，y＝﹣+1＝2，
故a+b+c的最大值等于2，
故選：C．
二、認真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）要注意認真看清題目的條件和要填寫的內(nèi)容，盡量完整地填寫答案。
11．【解答】解：∵拋物線y＝ax2經(jīng)過點（﹣2，8），
∴8＝a×（﹣2）2
解得：a＝2，
故答案為：2．
12．【解答】解：設(shè)袋中黑球的個數(shù)為x，
根據(jù)題意得＝，
解得x＝22，
即袋中黑球的個數(shù)為22個．
故答案為：22．
13．【解答】解：∵這個二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣2），
∴設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2．
又因為該二次函數(shù)圖象的形狀狀與拋物線y＝﹣2x2相同，
∴|a|＝|﹣2|＝2，
則a＝±2．
當x＝2時，
該二次函數(shù)的表達式為y＝2（x﹣1）2﹣2；
當x＝﹣2時，
該二次函數(shù)的表達式為y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣2或y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
14．【解答】解：∵平行四邊形ABCD，
∴∠DFC＝∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
同理可證：AE＝AB，
∵AB＝5，AD＝BC＝7，
∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．
故答案為3．
15．【解答】解：∵拋物線y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍是2≤y＜11，
當y＝t時，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，
∴t的取值范圍是2≤t＜11，
故答案為：2≤t＜11．
16．【解答】解：①、∵對稱軸x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
∵a＞0，
∴a+2a+b＞0，即3a+b＞0，此結(jié)論正確；
②、∵拋物線與x軸的交點A（﹣1，0）且對稱軸為x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），
由函數(shù)圖象知當﹣1＜x＜3時，函數(shù)圖象位于x軸下方，
即當﹣1＜x＜3時，y＜0，此結(jié)論正確；
③、當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，
則a＝b﹣c，
由a＞0知b﹣c＞0，即b＞c，此結(jié)論正確；
④、∵與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（包括這兩點），
∴﹣2≤c≤﹣1，
又a﹣b+c＝0，即c＝b﹣a，且b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
則﹣2≤﹣3a≤﹣1，
解得：≤a，此結(jié)論正確；
故答案為：①②③④．
三、全面答一答（本題有8個小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟如果覺得有些題目有點困難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以）
17．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）2+4，
∵拋物線經(jīng)過點（﹣3，﹣1），
∴﹣1＝25a+4，
∴a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+4；
（2）∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，與坐標軸交于點（﹣5，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x+5），
∵拋物線經(jīng)過點（0，4），
∴4＝﹣5a，
∴a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣x+．
18．【解答】解：（1）轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，大于3的結(jié)果有4種，
∴轉(zhuǎn)出的數(shù)字大于3的概率是＝；
（2）①轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，能夠成三角形的結(jié)果有5種，
∴這三條線段能構(gòu)成三角形的概率是；
②轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份，轉(zhuǎn)到每個數(shù)字的可能性相等，共有6種可能結(jié)果，能夠成等腰三角形的結(jié)果有2種，
∴這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是＝．
19．【解答】解：（1）當t＝3時，h＝20t﹣5t2＝20×3﹣5×9＝15（米），
∴當t＝3時，足球距離地面的高度為15米；
（2）∵h＝10，
∴20t﹣5t2＝10，即t2﹣4t+2＝0，
解得：t＝2+或t＝2﹣，
故經(jīng)過2+或2﹣時，足球距離地面的高度為10米；
（3）∵m≥0，由題意得t1，t2是方程20t﹣5t2＝m 的兩個不相等的實數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝202﹣20m＞0，
∴m＜20，
故m的取值范圍是0≤m＜20．
20．【解答】解：（1）∵4件同型號的產(chǎn)品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）＝；
（2）將不合格記為A，3件合格的記為B1、B2、B3
共12種情況，其中兩個B的有6種，
∴P（B，B）＝＝，
即抽到都是合格品的概率為；
（3）∵大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得：x＝16．
21．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸，y軸的交點分別為（1，0）和（0，﹣3）．
∴，
解得：．
∴拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵拋物線y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴點（0，﹣3）關(guān)于直線x＝﹣1的對稱點的坐標為（﹣2，﹣3），
∴當y＞﹣3時，x的取值范圍是x＜﹣2或x＞0．
22．【解答】解：（1）四邊形BFDE是菱形，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
由折疊得OB＝AB，OD＝CD，∠BOE＝∠A＝90°，
∴OB＝OD，EF⊥BD，
∴EF垂直平分BD，
∵AD∥CB，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠OBE＝∠ABE＝∠ABD，∠ODF＝∠CDF＝∠CDB，
∴∠OBE＝∠ODF，
∴BE∥DF，
∵DE∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∵BE＝DE，
∴四邊形BFDE是菱形．
（2）解：∵四邊形BFDE是菱形，
∴BE＝BF，BD⊥EF，
∴∠OBE＝∠OBF，
∵∠OBE＝∠ABE，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠OBF＝∠OBE＝×90°＝30°，
∴AE＝BE，
∵AE2+AB2＝BE2，AB＝1，
∴（BE）2+12＝BE2，
解得BE＝，
∴DE＝BE＝，
∴S四邊形BFDE＝DE?AB＝×1＝，
∴四邊形BFDE的面積是．
23．【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，與y軸的交點為（0，2），
∴點（0，2）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（2，2），
∴當y＜2時，x的取值范圍為x＜0或x＞2；
（2）∵M（x1，﹣2024），N（x2，﹣2024），
∴點M與點N關(guān)于直線x＝1對稱，
∴＝1，
∴x1+x2＝2，
∵x＝x1+x2，
∴x＝2，
當x＝2時，函數(shù)的值y＝2；
（3）函數(shù)值與解析式中的系數(shù)c有關(guān)，
理由：∵兩點（x1，m），（x2，m），
∴兩點（x1，m），（x2，m）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣對稱，
∵＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∵x＝x1+x2，
∴當x＝﹣時，y＝a（﹣）2+b（﹣）+c＝c，
即函數(shù)值與解析式中的系數(shù)c有關(guān)．
24．【解答】解：（1）解法一：
y＝x2+2mx+2m2﹣m
＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m
＝（x+m）2+m2﹣m，
∴頂點A（﹣m，m2﹣m），
解法二：
∵拋物線的對稱軸為直線x＝，
∴代入關(guān)系式得，y＝（﹣m）2+2m（﹣m）+2m2﹣m＝m2﹣m，
∴頂點A（﹣m，m2﹣m），
（2）解法一：
∵，a＝1開口向上，如圖，
∴當對稱軸大于3.5時滿足題意，
∴﹣m＞3.5，
∴m＜﹣3.5，
解法二：
∵點B（2，yB），C（5，yC）在拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m上，
∴yB＝4+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m，
又∵yB＞yC，
∴yB﹣yC＝（4+4m）﹣（25+10m）＞0，
解得，m＜﹣3.5，
故答案為：m＜﹣3.5；
（3）分三種情況討論：
①當對稱軸x＝﹣m≤1即m≥﹣1時，如圖，
當x＝1時，y＝6，
∴6＝1+2m+2m2﹣m，
整理得，2m2+m﹣5＝0，
解得，，（舍去），
∴，
②當1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1時，如圖，
當x＝﹣m，y＝6，
∴6＝m2﹣m，
整理得，m2﹣m﹣6＝0，
解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），
∴m＝﹣2，
③當﹣m＞3即m＜﹣3時，如圖，
當x＝3時，y＝6，
∴6＝9+6m+2m2﹣m，
整理得，2m2+5m+3＝0，
解得，（兩個都舍去），
綜上所述：m＝﹣2或m＝．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m2
﹣1
m2
m2
…
A
B1
B2
B3
A
B1A
B2A
B3A
B1
AB1
B2B1
B3B1
B2
AB2
B1B2
B3B2
B3
AB3
B1B3
B2B3

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