數(shù)學(xué)學(xué)科
時間：120分鐘 滿分：120分
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．在我國古代建筑中經(jīng)常使用榫卯構(gòu)件，如圖是某種卯構(gòu)件的示意圖，其中卯的左視圖是（ ）
第1題圖
A．B．C．D．
2．關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．3、-5、-7B．3、5、-7C．3、-5、7D．-3、5、-7
3．已知，在中，，若，，則AB長為（ ）
A．B．C．6D．
4．關(guān)于一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根
5．如圖，以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交CA兩邊于點M，N，再分別以M、N為圓心，AM的長為半徑畫弧，兩弧交于點B，連接MB、NB．若，則（ ）
第4題圖
A．140°B．50°C．60°D．40°
6．如圖，四邊形ABCD和四邊形是以點O為位似中心的位似圖形，若，則四邊形ABCD與四邊形的面積比為（ ）
第5題圖
A．B．3∶4C．3∶2D．9∶4
7．一個不透明的盒子里裝有a個除顏色外完全相同的球，其中有6個白球；每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色然后再放回盒子里，通過如此大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則a的值約為（ ）
A．10B．12C．18D．15
8．如圖：已知大矩形寬6cm，小矩形寬3cm，小矩形在平移過程中保持，則重疊部分的四邊形ABCD的面積是（ ）
第8題圖
A．B．12C．6D．
9．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有一題譯文如下，今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短．橫放，竿比門寬4尺；豎放，竿比門高2尺；斜放，竿與門對角線長恰好相等．問：門高、寬和對角線的長各是多少?設(shè)門對角線的長為x尺，則下列方程符合題意的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖，在中，，點D是邊BC上一點，點E在邊AC上，已知，下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：
第10題圖
甲：．
乙：若，則．
丙：當(dāng)時，點D為BC的中點．下列說法正確的是（ ）
A．只有甲正確C．甲和丙都正確B．乙和丙都正確D．三個都正確
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11．若,則______；
12．若點C是線段AB的黃金分割點，，，則AC的長為______；
13．如圖，在寬為25m、長為40m的長方形耕地上修建同樣寬的三條道路（橫向與縱向垂直），把耕地分成若干塊作為小麥試驗田，假設(shè)試驗田面積為，則道路的寬為______m；
第13題圖
14．如圖，中，，于點D，點E是AD的中點，線段BE的延長線與邊AC交于點F．若，，則EF的長為______；
第14題圖
15．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E為邊AD上一點，，將四邊形ABCE沿直線CE折疊得到四邊形FGCE，點A、B的對應(yīng)點分別為點F、G，連接DG，則DG的長為______；
第15題圖
三、解答題（本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）
16．計算（每題5分，共10分）
（1）解方程：；（2）．
17．（本小題8分）
閱讀材料，解答問題：
解方程：
解：設(shè)，則原方程可化為．
解得，．
當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；
∴原方程有四個解：，，，．
以上方法叫換元法，達(dá)到簡化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
請仿照材料的解題思想與解題步驟，解下列方程，．
18．（本小題8分）
隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動支付已成為除現(xiàn)金之外的一種常見的支付方式．在一次購物中，甲、乙兩人隨機(jī)從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”（依次用A、B、C表示）三種支付方式中各選一種方式進(jìn)行支付．
（1）乙使用“微信”支付的概率為______；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人恰好都選擇“支付寶”支付的概率．
19．（本小題8分）
如圖1，某小組通過實驗探究凸透鏡成像的規(guī)律．他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物箭頭、凸透鏡和光屏，并調(diào)整到合適的高度．如圖2，主光軸垂直于凸透鏡MN，且經(jīng)過凸透鏡光心O，將長度為8cm的發(fā)光物箭頭AB進(jìn)行移動，使物距OC為32cm，光線AO、BO傳播方向不變，移動光屏，直到光屏上呈現(xiàn)一個清晰的像AB，此時測得像距OD為12.8cm．
（1）求像的長度；
（2）已知光線AP平行于主光軸l，經(jīng)過凸透鏡MN折射后通過焦點F，則凸透鏡焦距OF的長為______cm．
20．（本小題9分）
2025年杭州亞運(yùn)會的吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進(jìn)某款亞運(yùn)會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．
（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率；
（2）經(jīng)市場預(yù)測，7月份的銷售量將與6月份持平，商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元?
21．（本小題10分）
圖1是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．
（1）如圖2，當(dāng)活動桿AD處于水平狀態(tài)時，直接寫出可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果保留根號）
（2）如圖3，當(dāng)活動桿AD繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：）
22．（本小題12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P和圖形N，給出如下定義：如果圖形N上存在點Q，使得，那么稱點P為圖形N的“拉手點”．
已知點，．
（1）在網(wǎng)格圖中描點，，，并判斷其中線段AB的“拉手點”為______；
（2）若直線上存在線段AB的“拉手點”，求b的最大值并畫出b取最大值時的直線；
（3）點O是邊長為a的正方形CDEF的對角線的交點．若正方形CDEF邊上存在線段AB的“拉手點”，直接寫出a的取值范圍，
23．（本小題12分）
數(shù)學(xué)活動課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，各小組提出了以下問題，請你解答．
（1）如圖1，在中，，點D在邊BC上，連接AD，，過點B作于點E；
①求證：；
②求證：．
（2）如圖2，在中，，，點D是BC中點，點E是DC中點，連接AE，點F在線段AC的延長線上，連接DF，，求：的值．
（3）如圖3，在中，，，點D在邊AB上，，點E在邊AC上，連接DE，DC，；
①直接寫出AE的長；
②在①的條件下，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后得到（點A、E的對應(yīng)點為點、），旋轉(zhuǎn)角，當(dāng)時，直線與邊AC相交于點K，請畫圖并求出的值．

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