2023－2024學年九年級第一學期第二次學情評估
數(shù)學（人教版）
本試卷共8頁，總分120分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1.仔細審題，工整作答，保持卷面整潔．
2.考生完成試卷后，務必從頭到尾認真檢查一遍．
一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1~6小題各3分，7~16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．下列選項中的圖形屬于中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．拋物線的頂點坐標是（ ）
A．B．C．D．
3．一個不透明的袋子中裝有4個黑球，1個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，對于甲、乙的說法，下列判斷正確的是（ ）
甲：若摸出的球是白球，則該事件屬于隨機事件；乙：摸到黑球比摸到白球的可能性大
A．只有甲對B．只有乙對C．甲、乙都對D．甲、乙都不對
4．用配方法解方程時，原方程應變形為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，轉(zhuǎn)盤中6個扇形的面積都相等．任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，事件“指針指向扇形中的數(shù)大于4”的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐標系中，以點為圓心，為半徑作，下列判斷正確的是（ ）
A．與軸相交B．與軸相切
C．點在外D．點在內(nèi)
7．在做拋硬幣試驗時，拋擲n次，若正面向上的次數(shù)為m次，則記正面向上的頻率．下列說法正確的是（ ）
A．P一定等于B．P一定不等于
C．多拋一次，P更接近D．隨著拋擲次數(shù)的逐漸增加，P穩(wěn)定在附近
8．如圖，為的切線，B為切點，交于點C，點D在優(yōu)弧上，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
9．如圖，正五邊形內(nèi)接于半徑為3的，則陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，坐標平面上有一個透明膠片，透明膠片上有一條拋物線及拋物線上一點P，且拋物線為，點P的坐標是．若將此透明膠片進行平移后，使點P的坐標為，則此時拋物線的解析式為（ ）

A．B．
C．D．
11．小明準備完成題目：解一元二次方程．若“□”表示一個數(shù)字，且方程有實數(shù)根，則“□”的值可能為（ ）
A．4B．5C．6D．7
12．如圖，在中，．將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)角為．當點B的對應點恰好落在邊上時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
13．函數(shù)在平面直角坐標展中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
14．商場將進價為50元/件的某種商品以80元/件出售時每天能賣出30件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，每天可多賣出5件，若降價元，每天將盈利1080元，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
15．如圖，拋物線與x軸負半軸，y軸分別交于點A，B，現(xiàn)要在段的拋物線上找點，關(guān)于針對n的不同取值，所找點P的個數(shù)，甲、乙兩人的說法如下，下列判斷正確的是（ ）
甲：若，則點P的個數(shù)為2；乙：若，則點P的個數(shù)為1

A．只有甲對B．只有乙對C．甲、乙都對D．甲、乙都不對
16．題目：“如圖，在等腰直角三角形中，，以點為圓心，以小于的長度為半徑作，是上一點，連接．將線役繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．當為何度數(shù)時，與相切，切點為？”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則下列判斷正確的是( )
A．只有甲答的對B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
二、填空題（本大題共3個小題，共10分．17小題2分，18~19小題各4分，每空2分）
17．在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為 ．
18．如圖，點D是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點E，連接，，且；
（1）的度數(shù)為 ；
（2）的度數(shù)為 ．
19．如圖，已知平面直角坐標系中的四個點：，，，．

（1）若拋物線經(jīng)過點A，B，則當 時，y隨x的增大而增大；
（2）若拋物線經(jīng)過A，B，C，D四點中的三個點，則滿足條件的a的最大值為 ．
三、解答題（本大題共7個小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)；
(2)．
21．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別是，，．

(1)在圖中畫出，使得與關(guān)于點對稱；
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的，并直接寫出點的坐標．
22．嘉嘉和淇淇周末相約到公園展練，公園有A，B兩個入口，他們可以隨機選擇一個入口進入，假設(shè)選擇每個入口的可能性相同．
(1)嘉嘉選擇從A入口進入公園的概率為______；
(2)補全如圖所示的樹狀圖，并求兩人選擇不同入口進入公園的概率．
23．圖1是某型號湯碗，截面如圖2所示，碗體部分為半圓O，直徑，倒湯時，，如圖3所示．
(1)的度數(shù)為______；
(2)在圖3中，通過計算比較直徑與的長度哪個更長；
(3)請在圖3中畫出線段，用其長度表示湯（陰影部分）的最大深度（不說理由），并求湯的最大深度．
24．已知拋物線經(jīng)過點．
(1)求a的值；
(2)已知點均在該拋物線上．
①若，請直接比較與的大小關(guān)系；
②當時，函數(shù)的最大值是，最小值是，求的取值范圍．
25．如圖，的半徑為1，C是直徑延長線上一點，點D在上，．
(1)求證：直線是的切線；
(2)已知，點P在上方的上運動（不與點A，B重合），連接．
①求的度數(shù)；
②過點D作的垂線，交的延長線于點Q，求的最大長度．
26．過山車是倍受年輕人喜愛的經(jīng)典娛樂項目．如圖14，為過山車的一部分軌道（B為軌道與地面的交點，圖中的x軸表示地面），它可以看成拋物線的一部分，其中米（軌道厚度忽略不計）．
(1)寫出a，b之間的數(shù)量關(guān)系；
(2)已知米．
①求拋物線的解析式；
②在軌道距離地面32米處有兩個位置M和C，當過山車運動到點C處時，沿著平行于地面的軌道向前運動了18米至點G，又進入下坡段（G接口處軌道忽略不計，點H為軌道與地面的交點）．已知軌道拋物線的形狀與拋物線的形狀相同，求的長度；
③現(xiàn)需要在軌道下坡段進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架，，且要求，如圖所示，已知這種材料的價格是5000元/米．當PE的長度為多少時會使造價最低？并求最低造價為多少元？
參考答案
1．D
解析：解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
B、 不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
C、正三角形不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
D、平行四邊行以對角線的交點為中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
2．B
解析：解：由拋物線的頂點坐標可知，拋物線y=x2-1的頂點坐標是（0，-1）．
故選：B．
3．C
解析：解：不透明的袋子中裝有4個黑球，1個白球，共5個球，
若摸出的球是白球，則該事件屬于隨機事件，故甲正確；
摸到黑球的概率是，摸到白球的概率是，
摸到黑球的可能性比白球大，故乙正確；
故選：C．
4．C
解析：解：由原方程移項，
得：，
方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，
得：，
．
故選：C．
5．C
解析：解：指針指向的可能情況有6種，而其中“指針所落扇形中的數(shù)大于4”有2種，
所以，事件“指針所落扇形中的數(shù)大于4”發(fā)生的概率為．
故選：C．
6．C
解析：解：∵圓心，
∴到軸的距離是，到軸的距離是，
∵的半徑為，
∴與軸相離，與軸相交，故選項錯誤；
由，
則點在外，故選項正確；
設(shè)，
∴，
則點在上，故選項錯誤；
故選：．
7．D
解析：解：硬幣只有正反兩面，
投擲時正面朝上的概率為
根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可知投擲次數(shù)逐漸增加，穩(wěn)定在 附近
故選：D
8．B
解析：解：∵，
∴，
又∵為的切線，
∴，
∴，
故選B．
9．A
解析：解：由題意得： ，
∴，
故選：A．
10．B
解析：解：∵在拋物線經(jīng)過平移后，拋物線上一點P的坐標由變?yōu)椋?br>∴拋物線的平移方式為向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度，
∴拋物線向左平移2個單位長度，向下平移1個單位長度后的解析式為，
故選B．
11．A
解析：解：設(shè)“□”表示的數(shù)為，
方程有實數(shù)根，
，
解得：，
“□”的值可能為4，
故選：A．
12．D
解析：解：根據(jù)題意得：，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故選：D
13．B
解析：解：∵
當時，函數(shù)的圖象開口向上；對稱軸，在軸的右側(cè)；，圖象交軸的正半軸；
故C、D不符題意；
當時，函數(shù)的圖象開口向下；對稱軸，在軸的左側(cè)；，圖象交軸的正半軸；
故A不符題意，B符合題意．
故選：B．
14．D
解析：解：設(shè)降價元，則每件利潤為元，銷售量為，
由題意得：，
故選：D．
15．B
解析：解：拋物線整理得：
，
段的拋物線上點，
當時，
，即，
解得：，
，
，則點P的個數(shù)為1，
故甲不對，
當時，
，
，
，點P的個數(shù)為1，
故乙對．
故選：B．
16．B
解析：解：當在的左側(cè)時，如圖所示，
∵
∴
當是的切線時，，
∴
∴，
②當在的右側(cè)時，
同理可得，
當是的切線時，，
∴
∴
故選：B．
17．
解析：解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標為：．
故答案為：．
18．
解析：解：由圖得：四邊形有外接圓，
，
；
點D是的內(nèi)心，
平分，
，
，
；
故答案：，．
19． 2
解析：解：（1）把點，代入，
得，
解得：，
故此拋物線的解析式為，
，
拋物線的開口向上，對稱軸為直線，
故當時y隨x的增大而增大．
故答案為：；
（2）當拋物線經(jīng)過A，B，C時，依題意，得
，
解得：；
當拋物線經(jīng)過A，B，D時依題意，得
，
解得：；
當拋物線經(jīng)過A，C，D時依題意，得
，
解得：；
當拋物線經(jīng)過B，C，D時依題意，得
，
解得：．
，
故滿足條件的a的最大值為．
故答案為：．
20．(1)，
(2)，
解析：（1）解：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
（2）解：，
移項得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
21．(1)見解析
(2)圖見解析，
解析：（1）解：如圖，即為所求，
；
（2）解：如圖，即為所求，點的坐標為，
．
22．(1)
(2)圖見解析；
解析：（1）解：嘉嘉選擇入口有兩種等可能的結(jié)果，選擇從A入口進入的有1種，故概率為，
故答案為：；
（2）如圖，
所有出現(xiàn)的等可能性結(jié)果共有4種，其中兩人選擇不同入口進入公園的結(jié)果有2種，
∴兩人選擇不同入口進入公園的概率為．
23．(1)
(2)的長度更長
(3)湯的最大深度為．
解析：（1）解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的長度更長；
（3）解：如圖，過圓心作于點，交圓于點，則為湯的最大深度，且，

∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即湯的最大深度為．
24．(1)2
(2)①； ②
解析：（1）解：將點代入中，
得
解得；
（2）解：①∵，
∴拋物線為，
當時，點為，
∴，，
∴與的大小關(guān)系為；
②．當時，，．
根據(jù)圖象和題意可得的取值范圍是．

25．(1)見解析
(2)①；②
解析：（1）證明：如圖：連接OD．
∵，
∴．
∵是直徑，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半徑，
∴直線是的切線．
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵與都是所對的圓周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根據(jù)勾股定理可得，
∴當達到最大長度時，達到最大長度．
∵的最大長度為2，
∴的最大長度為．
26．(1)
(2)①（或）②70米③212000元
解析：（1）解：米，
根據(jù)題意可得頂點坐標，
，
∴a，b之間的數(shù)量關(guān)系為：；
（2）解：①由圖象可設(shè)拋物線的解析式為：，
米，
把代入，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：（或）；
②當時，
，
解得：，，
即點M的橫坐標是4，點C的坐標為，
∵，
∴點G的坐標為，
∴，
∵軌道拋物線的形狀與拋物線的形狀相同，
∴相當于將拋物線向右平移50米，
∴軌道拋物線的解析式為：，
∴點H的坐標為，
即的長度為70米；
③設(shè)點T的坐標為，
，
點S的坐標為，
點P的坐標為，點Q的坐標為，
∴，
∵，
當時，的最小值是，
∴的長度為米時，會使造價最低，
最低造價為：（元）．

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