數
學
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的
一項）
1．已知直線 l 的一個方向向量為
A． B．
，則直線 l 的斜率為（
C．
）
D．﹣1
2．已知點 A（﹣2，3，0），B（1，3，2），
A．（4，3，4）
，則點 P 的坐標為（
B．（﹣4，﹣1，﹣4）
D．（﹣5，3，﹣2）
）
C．（﹣1，6，2）
3．已知直線方程 kx﹣y﹣2k＝0，則可知直線恒過定點的坐標是（
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2）
4．平行六面體 ABCD﹣A B C D 的所有棱長都是 1，O 為 A C 中點，∠BAD＝∠BAA ＝∠DAA ＝60°，
）
D．（0，2）
1
1
1
1
1
1
1
1
，則（
）
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，
C．
，
D．
，y＝1
5．“a＝﹣3”是“直線 x+ay+2＝0 與直線 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直”的（
）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．已知點（1，﹣2）和
在直線 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側，則直線 l 傾斜角的取值范圍是
（
）
A．
B．
D．
C．
7．過點 A（4，1）的圓 C 與直線 x﹣y＝1 相切于點 B（2，1），則圓 C 的方程為（
）
2
2
A．（x﹣3） +（y+1） ＝5
B．
D．（x﹣3） +y ＝2
2
2
2
2
C．（x﹣3） +（y﹣8） ＝50
8．正方體 ABCD﹣A B C D 中，O 為正方形 ABCD 中心，A P＝λA B （λ∈[0，1]），直線 OP 與平面 ABC
1
1
1
1
1
1
1
所成角為 θ，則 θ 取最大時 λ 的值為（
A． B．
）
C．
D．
第1頁/共17頁

9．A（1，y ），B（﹣2，y ）是直線 y＝﹣
x 上的兩點，若沿 x 軸將坐標平面折成 60°的二面角，則折
1
2
疊后 A、B 兩點間的距離是（
A．6 B．
）
C．
D．
10．點 M（x ，y ）到兩條直線：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0 距離相等，y ＜x +2，則
的取值范圍是
0
0
0
0
（
）
A．
B．
D．
C．
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）
11．（5 分）若向量 與向量
共線，則 x 的值為
．
12．（5 分）直線 2x﹣y﹣1＝0 與 2x﹣y+1＝0 之間的距離是
13．（5 分）以 A（2，3），B（4，9）為直徑的兩個端點的圓的方程是
．
．
14．（5 分）在空間四邊形 ABCD 中，
＝
．
15．（5 分）如圖，在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA ＝2，點 D 在棱 AC 上滑
1
1
1
1
動，點 E 在棱 BB1 上滑動，給出下列四個結論：
①三棱錐 C ﹣A DE 的體積不變；
1
1
②A1D+DB 的最小值為
③點 D 到直線 C1E 的距離的最小值為
④使得 A D⊥C E 成立的點 D、E 不存在．
；
；
1
1
其中所有正確的結論為
．
三、解答題（本大題共 6 小題，共 85 分）
16．（13 分）已知點 A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．
（1）求△ABC 的面積；
（2）過點 C 的直線 l 與點 A（1，2），點 B（﹣3，5）距離相等，求直線 l 的方程．
17．（13 分）如圖，在△ABC 中， ，BC＝4，D，E 分別為 AB，AC 的中點，O 為 DE 的中點，
將△ADE 沿 DE 折起到△A DE 的位置，使得平面 A DE⊥平面 BCED．
1
1
第2頁/共17頁

（1）平面 A1OB⊥平面 BCED；
（2）若 F 為 A C 的中點，求點 F 到面 A OB 的距離．
1
1
2
2
18．（14 分）已知直線 l 過點 P（2，3），圓 C：x +4x+y ﹣12＝0．
（1）求與圓 C 相切的直線 l 的方程；
（2）當直線 l 是圓 C 的一條對稱軸，交圓 C 于 A，B 兩點，過 A，B 分別作 l 的垂線與 x 軸交于 D，E 兩
點，求|DE|．
19．（15 分）如圖，梯形 ABCD 所在的平面與等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥
AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．
（1）求證：DF∥平面 BCE；
（2）求二面角 C﹣BF﹣A 的余弦值；
（3）線段 CE 上是否存在點 G，使得 AG⊥平面 BCF？請說明理由．
20．（15 分）已知圓
和圓
（r＞0）．
（1）若圓 C 與圓 C 相交，求 r 的取值范圍；
1
2
（2）若直線 l：y＝kx+1 與圓 C1 交于 P、Q 兩點，且
，求實數 k 的值；
（3）若 r＝2，設 P 為平面上的點，且滿足：存在過點 P 的無窮多對互相垂直的直線 l 和 l ，它們分別
1
2
與圓 C 和圓 C 相交，且直線 l 被圓 C 截得的弦長與直線 l 被圓 C 截得的弦長相等，試求所有滿足條
1
2
1
1
2
2
件的點 P 的坐標．
21．（15 分）對于 n 維向量 A＝（a ，a ，…，a ），若對任意 i∈{1，2，…，n}均有 a ＝0 或 a ＝1，則稱 A
1
2
n
i
i
為 n 維 T 向量．對于兩個 n 維 T 向量 A，B，定義 d（A，B）＝
．
（Ⅰ）若 A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求 d（A，B）的值．
（Ⅱ）現有一個 5 維 T 向量序列：A ，A ，A ，…，若 A ＝（1，1，1，1，1）且滿足：d（A ，Ai+1）
1
2
3
1
i
＝2，i∈N*．求證：該序列中不存在 5 維 T 向量（0，0，0，0，0）．
（Ⅲ）現有一個 12 維 T 向量序列：A ，A ，A ，…，若
且滿足：d（Ai，Ai+1）＝
1
2
3
第3頁/共17頁

m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整數 j 使得
求出所有的 m．
，Aj 為 12 維 T 向量序列中的項，
第4頁/共17頁

參考答案
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的
一項）
1．【答案】D
【分析】利用斜率公式求解．
【解答】解：因為直線 l 的一個方向向量為
，
所以直線 l 的斜率為
．
故選：D．
2．【答案】A
【分析】設 P（x，y，z），表示出
【解答】解：設 P（x，y，z），
、
，即可得到方程組，解得即可．
因為 A（﹣2，3，0），B（1，3，2），
所以
因為
，
，
，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），
所以
，解得
，即 P（4，3，4）．
故選：A．
3．【答案】B
【分析】依題意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令
，解得即可．
【解答】解：直線 kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令
，解得
，
所以直線 kx﹣y﹣2k＝0 恒過點（2，0）．
故選：B．
4．【答案】C
【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得．
【解答】解：依題意
＝
＝
，
又
，所以
，
．
故選：C．
第5頁/共17頁

5．【答案】A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合兩直線垂直的判定分析判斷即可．
【解答】解：當直線 x+ay+2＝0 與直線 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直時，
a+a（a+2）＝0，得 a2+3a＝0，
解得 a＝0 或 a＝﹣3，
所以當 a＝﹣3 時，直線 x+ay+2＝0 與直線 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直，
而當直線 x+ay+2＝0 與直線 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直時，a＝0 或 a＝﹣3，
所以“a＝﹣3”是“直線 x+ay+2＝0 與直線 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直”的充分不必要條件．
故選：A．
6．【答案】C
【分析】因為點（1，﹣2）和
在直線 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側，那么把這兩個點代入
ax﹣y﹣1，它們的符號相反，乘積小于 0，求出 a 的范圍，設直線 l 傾斜角為 θ，則 a＝tanθ，再根據正
切函數的圖象和性質即可求出范圍．
【解答】解：因為點（1，﹣2）和
在直線 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的兩側，
所以，（a+2﹣1）（
即：（a+1）（a﹣
a﹣1）＜0，
）＜0，
解得﹣1＜a＜
，
設直線 l 傾斜角為 θ，
∴a＝tanθ，
∴﹣1＜tanθ＜
，
∴0＜θ＜ ，或
＜θ＜π，
故選：C．
7．【答案】D
【分析】由圓心和切點連線與切線垂直可得 kBC＝﹣1，得到關于圓心的一個方程，根據圓的性質，可知
圓心 C 在 AB 的垂直平分線 x＝3 上，由此可求得 a，b 的值，得到圓心坐標，進而可求得圓的半徑即可
求解．
【解答】解：設圓心 C（a，b），
因為直線 x﹣y＝1 與圓 C 相切于點 B（2，1），
所以
，即 a+b﹣3＝0，
因為 AB 中垂線為 x＝3，則圓心 C 滿足直線 x＝3，
即 a＝3，∴b＝0，
所以半徑
，
第6頁/共17頁

2
2
所以圓 C 的方程為（x﹣3） +y ＝2．
故選：D．
8．【答案】A
【分析】在平面 ABB A 中過點 P 作 PP ⊥AB 交 AB 于點 P ，連接 P O，即可得到∠POP 即為線 OP 與
1
1
1
1
1
1
平面 ABC 所成角，且
，設正方 體 ABCD﹣A B C D 的棱長為 2，則
1 1 1 1
，從而求出（tanθ）max，即可得解．
【解答】解：在平面 ABB A 中過點 P 作 PP ⊥AB 交 AB 于點 P ，連接 P O，
1
1
1
1
1
由正方體的性質可知 PP ⊥平面 ABCD，則∠POP 即為直線 OP 與平面 ABC 所成角，
1
1
則
，設正方體 ABCD﹣A B C D 的棱長為 2，則
，
1
1 1 1
所以當 OP1＝1 時（tanθ）max＝1，此時 θ 取最大值，P1 為 AB 的中點，
又 A P＝λA B ，所以當
時 θ 取最大值．
1
1 1
故選：A．
9．【答案】C
【分析】求出沿 x 軸將坐標平面折成 60°的二面角后，點 A 在平面 xOy 上的射影 C 的坐標，作 BD⊥x
軸，交 x 軸于點 D（﹣2，0），然后利用空間向量表示 ，利用向量的模的性質進行求解，即可得到答
案．
【解答】解：∵A（1，y ），B（﹣2，y ）是直線 y＝﹣
x 上的兩點，
1
2
∴y1＝﹣
，y2＝2
，
現沿 x 軸將坐標平面折成 60°的二面角后，點 A 在平面 xOy 上的射影為 C（1，0），
作 BD⊥x 軸，交 x 軸于點 D（﹣2，0），
∴
∴
＝
+
+
，
＝
+
+
+2
?
+2
?
+2
?
＝3+9+12﹣2×
×2
× ＝18，
∴| |＝3
故選：C．
．
第7頁/共17頁

10．【答案】B
【 分 析 】 利 用 點 到 直 線 的 距 離 公 式 得 到 x +3y +2＝0， 結 合 y ＜x +2 求 出 x ， 再 由 x ≠0 及
0
0
0
0
0
0
計算可得．
【解答】解：依題意
，所以 x +3y +2＝0，
0 0
即
，又 y ＜x +2，所以
，解得 x0＞﹣2，
0
0
顯然 x0≠0，所以
當﹣2＜x0＜0 時
當 x0＞0 時
，
，所以
，
，所以
．
綜上可得
．
故選：B．
二、填空題（本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分）
11．【答案】3．
【分析】利用向量共線定理求解．
【解答】解：因為向量
所以 ，解得 x＝3．
與向量
共線，
故答案為：3．
12．【答案】
．
【分析】由平行線間的距離公式可求得結果．
【解答】解：易知直線 2x﹣y﹣1＝0 與 2x﹣y+1＝0 平行，
這兩條直線間的距離為
．
故答案為：
．
2
2
13．【答案】（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
【分析】利用圓的標準方程待定系數計算即可．
【解答】解：易知該圓圓心為 A（2，3），B（4，9）的中點 C（3，6），半徑
，
2
2
所以該圓方程為：（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
第8頁/共17頁

2
2
故答案為：（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
14．【答案】見試題解答內容
【分析】如圖：設
；
由向量的加、減運算知：
，
，代入上式即得結論．
【解答】解：如圖，設 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
則，
＝
，
＝
，
＝
．
所以，
＝
＝0
故答案是：0
15．【答案】①②③．
【分析】根據錐體的體積公式判斷①，將將△ABC 翻折到與矩形 ACC A 共面時連接 A B 交 AC 于點 D，
1
1
1
此時 A1D+DB 取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標系，利用空
間向量法求出點到距離，再根據函數的性質計算可得③，利用
【解答】解：∵BB1⊥平面 ABC，
，即可判斷④．
對于①：直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，CC ⊥平面 ABC，BC?平面 ABC，
1
1
1
1
∴CC ⊥BC，又 CC ?AC＝C，
1
1
∴BC⊥平面 ACC A ，又點 D 在棱 AC 上滑動，
1
1
∴
∴
，
，
∴三棱錐 C ﹣A DE 的體積不變，故①正確；
1
1
第9頁/共17頁

對于②：如圖將△ABC 翻折到與矩形 ACC A 共面時連接 A B 交 AC 于點 D，此時 A D+DB 取得最小值，
1
1
1
1
∵A C ＝CC ＝2，BC＝1，∴A B＝
＝
，
1
1
1
1
∴A1D+DB 的最小值為
，故②正確；
對于③：如圖建立空間直角坐標系，
設 D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），
∴
，
，
則 點 D 到 直 線 C1E 的 距 離 d＝
＝
＝
，
當 c＝2 時，
，
當 0≤c＜2 時，0＜（c﹣2）2≤4，∴
，∴
，∴
，
∴
∈（0， ]，
第10頁/共17頁

∴當
取最大值 ，且 a2＝0 時，
，
即當 D 在 C 點 E 在 B 點時，點 D 到直線 C1E 的距離的最小值為
，故③正確；
對于④：A1（2，0，2），
，
，
∴
，∵c∈[0，2]，∴當 c＝2 時，
，
∴
，即 A D⊥C E，故④錯誤．
1 1
故答案為：①②③．
三、解答題（本大題共 6 小題，共 85 分）
16．【答案】（1）
（2）3x+14y﹣46＝0 或 3x+4y﹣26＝0．
；
【分析】（1）求出三角形的三邊長，并求其中一個角的余弦值，代入公式即可求得面積．
（2）過點 C 的直線 l 與點 A（1，2），點 B（﹣3，5）距離相等，即直線 l 與直線 AB 平行或經過 AB 的
中點，代入求解即可．
【解答】解：（1）由點 A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，
，
，
，
在△ABC 中，
，
所以
，
△ABC 的面積為
．
（2）過點 C 的直線 l 與點 A（1，2），點 B（﹣3，5）距離相等，即直線 l 與直線 AB 平行或經過 AB 的
中點，
當過點 C 的直線 l 與平行時，
，則直線方程為 3x+4y﹣26＝0；
當過點 C 的直線 l 過 AB 的中點，AB 的中點坐標
，
，
所以直線方程為
，即 3x+14y﹣46＝0．
所以直線方程為 3x+14y﹣46＝0 或 3x+4y﹣26＝0．
17．【答案】（1）證明過程請見解答；（2）
．
【分析】（1）由 A O⊥DE，平面 A DE⊥平面 BCED，可知 A O⊥平面 BCED，再由面面垂直的判定定
1
1
1
理，即可得證；
（2）作 DP⊥BC 于 P，以 D 為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求點到平面的距離，即可得
第11頁/共17頁

解．
【解答】（1）證明：由題意知，A D＝A E，
1
1
因為點 O 是 DE 的中點，所以 A1O⊥DE，
因為平面 A DE⊥平面 BCED，平面 A DE∩平面 BCED＝DE，A O?平面 A DE，
1
1
1
1
所以 A1O⊥平面 BCED，
又 A O?平面 A OB，
1
1
所以平面 A1OB⊥平面 BCED．
（2）解：作 DP⊥BC 于 P，則 BP＝1，
因為 DE∥BC，所以 DP⊥DE，
以 D 為坐標原點，DP，DE 所在直線分別為 x，y 軸，作 Dz⊥平面 BCED，建立如圖所示的空間直角坐
標系，
則 A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），
因為 F 為 A1C 的中點，所以 F（1，2，1），
所以
＝（0，0，2）， ＝（2，﹣2，0）， ＝（1，1，1），
設面 A1OB 的法向量為 ＝（x，y，z），則
，即
，
取 x＝1，則 y＝1，z＝0，所以 ＝（1，1，0），
故點 F 到面 A1OB 的距離為
＝
＝
．
18．【答案】（1）x＝2 或 7x+24y﹣86＝0；
（2）10．
【分析】（1）將圓的方程化為標準式，再分斜率存在與不存在兩種情況討論；
（2）依題意直線 l 過圓心 C，即可求出直線 l 的方程，即可得到
，利用銳角三角函數求出
|AD|，從而求出|CD|，從而得解．
2
2
2
2
【解答】解：（1）圓 C：x +4x+y ﹣12＝0，即（x+2） +y ＝16，
所以圓心 C（﹣2，0），半徑 r＝4，
當斜率不存在時直線的方程為 x＝2，符合題意；
當斜率存在時，設斜率為 k，則 y﹣3＝k（x﹣2），即 kx﹣y﹣2k+3＝0，
第12頁/共17頁

則
，解得
，
所以切線方程為 7x+24y﹣86＝0，
綜上可得切線方程為 x＝2 或 7x+24y﹣86＝0．
（2）因為直線 l 是圓 C 的一條對稱軸，
所以直線 l 過圓心 C，
則直線 l 的方程
，即 3x﹣4y+6＝0，
則
，又
，即
，
所以|AD|＝3，
則
，
同理可得|CE|＝5，
所以|DE|＝10．
19．【答案】（1）證明見解答；
（2）
；
（3）線段 CE 上不存在點 G，使得 AG⊥平面 BCF．
【分析】（1）先證明四邊形 CDFE 為平行四邊形，從而得到 DF∥CE，再利用線面平行的判定定理證明
即可；
（2）在平面 ABEF 內，過 A 作 Az⊥AB，證明 AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合適的空間直角坐標
系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數法求出平面 BCF 的法向量，由向量的夾角公
式求解即可；
（3）利用待定系數法求出平面 ACE 的法向量，利用向量垂直的坐標表示，證明平面 ACE 與平面 BCF
不可能垂直，即可得到答案．
第13頁/共17頁

【解答】（1）證明：因為 CD∥EF，且 CD＝EF，
所以四邊形 CDFE 為平行四邊形，
所以 DF∥CE，
因為 DF?平面 BCE，CE?平面 BCE，
所以 DF∥平面 BCE；
（2）解：在平面 ABEF 內，過 A 作 Az⊥AB，
因為平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，
又 Az?平面 ABEF，Az⊥AB，
所以 Az⊥平面 ABCD，
所以 AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，
如圖建立空間直角坐標系 A﹣xyz．
由題意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，
），F（0，1，
），
所以 ＝（2，﹣2，0）， ＝（0，﹣3，
設平面 BCF 的法向量為 ＝（x，y，z），
），
則
，
令 y＝1，則 x＝1，z＝
，
所以 ＝（1，1，
平面 ABF 的一個法向量為 ＝（1，0，0），
則 cs＜ ， ＞＝
），
＝
，
所以平面 CBF 和平面 B FA 的夾角的余弦值為
；
（3）解：線段 CE 上不存在點 G，使得 AG⊥平面 BCF，理由如下：
設平面 ACE 的法向量為 ＝（a，b，c），
所以
，
令 b＝1，則 a＝﹣1，c＝﹣
，
第14頁/共17頁

所以 ＝（﹣1，1，﹣
），
因為 ? ＝﹣1+1﹣3≠0，
所以平面 ACE 與平面 BCF 不可能垂直，
從而線段 CE 上不存在點 G，使得 AG⊥平面 BCF．
20．【答案】（1）（
（2）k＝
﹣2，
+2）；
；
（3）（
，
）或（ ，
）．
【分析】（1）利用相交時圓心距的位置關系可求 r 的取值范圍；
（2）聯立直線與圓 C1，寫出韋達定理，結合數量積代換可求實數 k 的值；
（3）由兩圓半徑相等，兩直線 1 和 1 截得圓 C 和圓 C ，弦長相等可得弦心距相等，得
1
2
1
2
＝
，轉化為求方程組的解即可．
【解答】解：（1）由題意得，圓 C 的圓心 C （﹣3，1），r ＝2，圓 C 的圓心 C （4，5），半徑為 r，
1
1
1
2
2
|C C |＝
＝
，
1
2
∵圓 C 與圓 C 相交，
1
2
∴|r﹣2|＜|C C |＜r+2，即|r﹣2|＜
＜r+2，
1
2
解得：
﹣2＜r＜
﹣2，
+2，
+2）．
∴r∈（
（2）設點 P（x ，y ），Q（x ，y），
1
1
2
2
直線與圓 C1 聯立
，
2
2
得（1+k ）x +6x+5＝0，
由Δ＞0 得 k2＜ ，
x +x ＝
，x x ＝
，
1
2
1 2
2
∴y y ＝（kx +1）（kx +1）＝k x x +k（x +x ）+1，
1 2
1
2
1 2
1
2
∵
，
2
∴x x +y y ＝（1+k ）x x +k（x +x ）+1＝4，
1 2 1 2
1 2
1
2
∴5+
﹣3＝0，
解得：k＝
，
第15頁/共17頁

∵k2＜ ，
∴k＝
．
2
2
（3）由題意得 C ：（x﹣4） +（y﹣5） ＝4，
2
設 P（m，n），直線 l 和 l 的方程分別為 y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣ （x﹣m），
1
2
即 kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣ x﹣y+n+ ＝0，
由題意可知，圓心 C 到直線 l 的距離等于 C 到直線 l 的距離，
1
1
2
2
則
＝
，化簡得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3 或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
則有
或
，
故 P（
，
）或（ ，
）．
21．【答案】見試題解答內容
【分析】（Ⅰ）由于 A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定義
，
求 d（A，B）的值．
（Ⅱ）利用反證法進行證明即可；
（Ⅲ）根據存在正整數 j 使得
，Aj 為 12 維 T 向量序列中的項，求出所有的 m．
【 解 答 】 解 ：（ Ⅰ ） 由 于 A＝ （1，0，1，0，1），B＝ （0，1，1，1，0）， 由 定 義
，
可得 d（A，B）＝4．…
（Ⅱ）反證法：若結論不成立，即存在一個含 5 維 T 向量序列，A ，A ，A ，…A ，
1
2
3
n
使得 A ＝（1，1，1，1，1），A ＝（0，0，0，0，0）．
1
m
因為向量 A1＝（1，1，1，1，1）的每一個分量變?yōu)?0，都需要奇數次變化，
不妨設 A 的第 i（i＝1，2，3，4，5）個分量 1 變化了 2n ﹣1 次之后變成 0，
1
i
所以將 A 中所有分量 1 變?yōu)?0 共需要（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）＝2
1
1
2
3
4
5
（n +n +n +n +n ﹣2）﹣1 次，此數為奇數．
1
2
3
4
5
又因為
，說明 Ai 中的分量有 2 個數值發(fā)生改變，
進而變化到 Ai+1，所以共需要改變數值 2（m﹣1）次，此數為偶數，所以矛盾．
所以該序列中不存在 5 維 T 向量（0，0，0，0，0）．…（9 分）
第16頁/共17頁

（Ⅲ）存在正整數 j 使得
，Aj 為 12 維 T 向量序列中的項，此時 m＝1，2，3，4，
5，6，7，8，9，10，11，12．…（13 分）
第17頁/共17頁

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