[數(shù)學(xué)]2023北京一零一中高二(上)期中試卷(教師版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

學(xué)
（本試卷滿分 120 分，考試時間 100 分鐘）
一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要
求的一項.
1. 下列直線中，傾斜角為銳角的是（
）
y = ?2x +1
x ? y +1= 0
y =1
A.
B.
C.
D. x = 2
( )
a? b + c
2. 若 a
2, 3,1 ，
= ( ? ) b = (2, 0, 3) c = (0, 2, 2)
，
，則
的值為（
）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 15
(? ? )，且的方向向量為
3, 2
，則直線l 的方程為（）
1,
3. 若直線l 過點
l
2x + y ?8 = 0
2x ? y +8 = 0
2x + y + 8 = 0
2x ? y ? 6 = 0
A.
C.
B.
D.
4. 設(shè) a ? R ，則“ a 1”
=
是“直線
l1 : ax 2y
+
= 與直線l ：x + (a +1)y + 4 = 0 平行的（
0
”
）
）
2
A. 充分不必要條件
C. 充分必要條件
B. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件
5. 已知向量 a 1, 0,1 ，
= (
)
b = (?2, 2,1)， c = (3, 4, z)
，若 a ，b ， c 共面，則 z 等于（
C. 5 D. 9
A. 9
?
?5
B.
x + y +1= 0
( ? )
，則 x 1
2
y 1
+ ( ? )
2
+ ( ? )
x 2 +
2
6. 已知實數(shù) x，y 滿足
y2 的最小值為（
）
A.
5
B. 2 2
C. 10
D. 2 5
7. 如圖，二面角? ?l ? ?
?
?、?
內(nèi)， AC ⊥ l ，
等于120 ， A、B 是棱l 上兩點， BD、AC 分別在半平面
BD ⊥ l ，且 AB = AC = BD = 2，則CD 的長等于（
）
A. 2 3
B. 2 2
C. 4
D. 2
?
?
5π ?
6 ?
( ) =
+
的部分圖象，，分別是 ( )圖
f x
f x sin πx
8. 如圖 1，某同學(xué)在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)
?
?
A
B
象的一個最高點和最低點，M 是 ( )圖象與 y 軸的交點，
BD ⊥ OD
，現(xiàn)將該卡片沿 x 軸折成如圖 2 所示
f x
第1頁/共21頁

的直二面角 A OD B ，在圖 2 中，則下列結(jié)果不正確的是（
?
?
）
A. AB = 3
14
B. 點 D 到平面 ABM 的距離為
14
3
C. 點 D 到直線 AB 的距離為
3
14
7
D. 平面OBD 與平面 ABM 夾角的余弦值為
9. 如圖，在三棱錐OABC 中，三條側(cè)棱OA ，OB ，OC 兩兩垂直，且OA ，OB ，OC 的長分別為 a，b，
內(nèi)部的任意一點，點 M 到平面OBC ，平面OAC ，平面OAB 的距離分別為，b
a
，
c
，則
0
c.M 為
0
0
? a
? a
b0
b
c0 ?
c ?
2
0
+
+
=
（
?
?
）
2
3
A. 4
10. 設(shè)直線系 M： xcs
B. 1
C.
D. 2
? + ( ? ) ? = ( ?? ? )
2 sin 2π ，對于下列四個命題：
y
1 0
①M 中所有直線均經(jīng)過一個定點；
②存在無數(shù)多個點不在 M 中的任一條直線上；
③對于任意整數(shù) n(n ? 3)，存在正 n 邊形，其所有邊均在 M 中的直線上；
④M 中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題為（
）
A. ①②④
B. ②③
C. ②③④
D. ③④
二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分
第2頁/共21頁

)
n = (2b, 6,5)
+ = ____________.
，若 m∥n ，則 a b
11. 已知向量 m 8,3,a ，
= (
l :3x ? 4y ? 2 = 0 l :3x ? 4y + 8 = 0
之間的距離是______.
12. 兩條直線
與
2
1
y ? 2
x ? 4
x, y
滿足 x2 y2 2x 2y +1= 0 ，則
+
?
?
13. 若實數(shù)
的取值范圍是____________.
( ? )
14. 已知點 P 在圓 x 5
2
+ ( ? ) =16 上，點 A(4, 0)、 B(0, 2)
y 5 ，則點 P 到直線 AB 的距離的最大值
2
PB =
為____________；當(dāng) PBA最大時，
?
____________.
ABC
AB = BB1 = 3 BC = 3 ?ABC = 90?
， CH = xCB ，
15. 如圖，在直三棱柱
中，
，
，
=
( ? ? ? ? ). f (x, y) = AH + HP
CP yCB 0 x 1,0 y 1
記，給出下列四個結(jié)論：
1
⊥
A B P
；
1 1
①對于任意點 H，都不存在點 P，使得平面 AHP 平面
② (
f x, y
)的最小值為 3；
15
4
③當(dāng) f (x, y)取最小時，過點 A，H，P 作三棱柱的截面，則截面面積為
；
(
) =
f x, y 3 3
的點有無數(shù)個.
P
④滿足
其中所有正確結(jié)論的序號是____________.
三、解答題共 5 小題，共 55 分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
⊥ 底面 ABCD ，且側(cè)
16. 如圖，在四棱錐 P ABCD
?
中，底面 ABCD 為矩形且
AD 2AB = 2 ，側(cè)面
=
PAD
面 PAD 是正三角形， E，F(xiàn) 分別是 AD ， PB 的中點.
第3頁/共21頁

（1）求證： AF //平面 PCE ；
（2）求直線CF
與平面
PCE
所成角的正弦值，
A(0,1)
B(2, 3)
是圓 C 直徑的兩個端點．
17. 已知點
和點
（1）求線段 AB 的中點坐標(biāo)和圓 C 的方程；
（2）過點 A 作圓 C 的切線 l，求切線 l 的方程．
18. 如圖，在四棱錐 P ABCD
?
中，平面 ABCD ⊥ 平面 PCD，底面 ABCD 為梯形， AB//CD ，
AD ⊥ DC ，且 AB = 1， AD = DC = DP = 2， ?PDC = 120? .
（1）求證： AD 平面
⊥
PCD；
（2）求平面 PAD 與平面 PBC 夾角的余弦值；
（3）設(shè) M 是棱 PA 的中點，在棱 BC 上是否存在一點 F ，使 MF //PC ？若存在，請確定點 F 的位置；若
不存在，請說明理由.
19. 已知圓C ：
x
2
?(1+ a)x + y
2
? ay + a = 0
.
（1）若圓C 與
y
軸相切，求圓C
的方程；
（2）如圖，當(dāng) a = 5 時，圓C 與 x 軸相交于兩點 M，N（點 M 在點 N 的左側(cè)）.問：是否存在圓O ：
x
2
+ y
2
= r2 ，使得過點 M 的任一條直線與該圓的交點為 A，B，都有 ?ANM = ?BNM ?若存在，求出圓
方程，若不存在，請說明理由.
A
n
a ,a , ,a n 4
??? ( ? )
i??0,1,???,n ?1?
a ? a ? 1
，都有（規(guī)定
i+1 i
20. 已知
：
為有窮數(shù)列.若對任意的
1
2
n
?
?
1,2 j i n 2 i, j 1, 2, ,n
? ? ? ? ( ??? )
.
a0 = a
A
P . T
= ( )
i, j ai
? a ?
j
=
），則稱具有性質(zhì)
設(shè)
n
n
n
A
A
（1）判斷數(shù)列：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2 是否具有性質(zhì) P?若具有性質(zhì) P，寫出對
4
5
應(yīng)的集合Tn ；
第4頁/共21頁

A
T ? ?
；
4
（2）若具有性質(zhì) P ，證明：
4
n
A
（3）給定正整數(shù) ，對所有具有性質(zhì) P 的數(shù)列，求Tn 中元素個數(shù)的最小值.
n
第5頁/共21頁

參考答案
一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要
求的一項.
1. 【答案】B
【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得.
【詳解】設(shè)直線傾斜角為?
，
y = ?2x +1，斜率 k = tan? = ?2 ? 0
，即傾斜角為鈍角；
A 選項，直線
B 選項，直線 y x 1，斜率
=
+
k = tan? =1? 0
，傾斜角為 45 ，是銳角；
y =1，斜率 k = tan? = 0
，即傾斜角為0 ，不是銳角；
C 選項，直線
C 選項，直線 x = 2 ，斜率不存在，即傾斜角為90 ，是直角不是銳角.
故選：B.
2. 【答案】A
( )
a? b + c
【分析】應(yīng)用向量線性運算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求
的值.
( )
【詳解】由題設(shè)b c (2, 2, 5) ，則 .
+ =
a? b + c = (2,?3,1)?(2, 2, 5) = 4 ?6 +5 = 3
故選：A
3. 【答案】B
【分析】由直線的方向向量與斜率的關(guān)系求得直線斜率，根據(jù)點斜式建立直線方程，化簡為直線的一般式
方程即可得解.
1,
【詳解】解：∵l 的方向向量為
，
?2
k =
= ?2
，
∴直線l 的斜率
1
又∵直線l 過點(?3,?2)，
y + 2 = ?2 x + 3)，即 2x + y + 8 = 0
(
∴直線l 的方程為：
.
故選：B.
4. 【答案】A
【分析】
計算直線平行等價于 a = 1或 a
= ?
2 ，根據(jù)范圍大小關(guān)系得到答案
.
4 0
l ：x + (a + )y + =
2
【詳解】直線 l1 : ax 2y 0 與直線
驗證均不重合，滿足.
+
=
1
平行，則
( + )= ， a = 1或
a a 1
a
= ?2
，
2
4 0
l ：x + (a + )y + =
故“ a = 1”是“直線l1 : ax 2y 0 與直線
+
=
1
平行”的充分不必要條件.
2
故選：A.
第6頁/共21頁

【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.
5. 【答案】D
【分析】根據(jù) a,b,c 列方程，根據(jù)空間向量坐標(biāo)的線性運算求解出 z 的值.
【詳解】由于 a,b,c 共面，所以存在?, ? ，使得 a
= ? + ?c ，即
b
(1, 0,1)= (? ? ? ?)+ ( ? ? ?)= (? ? + ? ? + ? ? + ?)，
2 ,2 ,
3 ,4 , z
2
3 ,2
4 ,
z
?1= ?2? + 3?
?
1
2
?0 = 2? + 4?
? =
, z = 9,? = ?
z = 9 .
所以
，解得：
，所以
7
7
?
1= ? + z?
?
故選：D.
6. 【答案】D
( )到定點
P x, y
上一動點
( ? )
【分析】由 x 1
2
y 1
+ ( ? )
2
x 2
+ ( ? )
2
+
y2 表示直線
x + y +1= 0
( ) ( )的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
A 1,1 , B 2,0
( )到定點
P x, y
上一動點
( ? )
【詳解】解： x 1
2
y 1
+ ( ? )
2
x 2
+ ( ? )
2
+
y2 表示直線
x + y +1= 0
( ) ( )的距離之和，如圖所示：
A 1,1 , B 2,0
設(shè)點 ( )關(guān)于直線
x + y +1= 0
的對稱點為
?
(
)
，
A x , y
0
A 1,1
0
? y ?1
0
=1
?
? x ?1
?
x0
= ?2
?
0
?
，解得
則
，
y = ?2
? x +1 y0 +1
?
0
0
+
+1= 0
?
? 2
2
A?(?2, 2)
?
(
)
2
(
)
2
A B = ?2 ? 2 + 2 ? 0 = 2 5
，則
所以對稱點為
( ? )
由圖知： x 1
2
y 1
+ ( ? )
2
+ ( ? )
x 2 + y2 的最小值為 2 5 ，
2
故選：D
7. 【答案】C
第7頁/共21頁

【分析】根據(jù)題意，可得 DC = DB + BA+ AC ，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)
果.
【詳解】由二面角的平面角的定義知 BD, AC? =
?
120 ，
?
∴
由
∴
= 2
BD ? AC = BD AC cs?BD, AC? = 2 ?2 ?cs120? = ?2，
AC ⊥ l,BD ⊥ l
AC ? BA = 0,BD ? BA = 0
，得
，又 DC DB BA AC ，
=
+
+
DC = (DB + BA + AC) = DB + BA + AC + 2DB ? BA + 2DB ? AC + 2BA? AC
2
+ 2
2
+ 2
2
? 2BD? AC =12 ? 2?(?2)=16
，
所以 DC
故選：C.
=
4，即CD = 4
.
8. 【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出圖 1 中點 A,B,D,M 的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖 2 中點 A,B,D,M 的
坐標(biāo)，再逐項判斷作答.
?
?
5π ?
? 1 ?
? 2
?
?
? 2
? 3
?
?
? 1 ?
M 0,
f x = sin πx +
【詳解】在圖 1 中，由 ( )
A ? ,1
B
,?1
D
,0
?
? ，得 ?
? ， ?
? 3
? ，
?
? ，
?
? ，
6 ? ? 3 ?
? 2 ?
在圖 2 中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O? xyz
，
?
?
1 ?
3 ? ? 3
? 2
?
?
?
?
1 ?
2 ?
?
?
2
?
?
A 0,? ,1
B 1, ,0
M 0, 0,
D 0, ,0
則 ?
? ， ?
?，
?
?，
?
? ，
3
= ( ? )
AB = 3
AB 1, 1, 1
則
，得
，A 正確．
1
1 ?
n = x, y, z
(
)，
AM = 0, ,?
設(shè)平面 ABM 的法向量為
?
? ，
? 3 2 ?
?x + y ? z = 0
?
?n
?
?
?1
1
y = 3
z = 2 ， x= ?1，
，則
則
，即
，取
y ? z = 0
?n
?
0
?
?3
2
(
,3, 2)，
n
所以平面 ABM 的一個法向量
DB
n
14
所以點 D 到平面 ABM 的距離為
=
，B 正確．
14
14
第8頁/共21頁

?
?
3
3
3
3
( ? ) =
1, 1, 1
,?
=
(1,0,0
DB
)
，u
?
,
?
a
取
?
?，
3
3
3
3
AB
?
?
a (
)
則 a
=1，
a
，所以點 D 到直線
AB
的距離為
，C 錯誤．
3
3
)
平面OBD 的一個法向量為
m
= (0, 0,1
，
m
m
14
7
=
則平面OBD 與平面 ABM 夾角的余弦值為
，D 正確.
1? 14
故選：C.
9. 【答案】D
【分析】根據(jù)VO?ABC =VM ?OBC +VM ?OAC +VM ?OAB
，利用等體積法即可求得答案.
【詳解】如圖，設(shè) 點 M 到平面 OBC ，平面 OAC ，平面 OAB 的投影點分別為
MD,ME,MF,MA,MB,MC,MO ，則VO?ABC =VM ?OBC +VM ?OAC +VM ?OAB
D, E, F
, 連接
.
1 1
1
而V
= ? ?abc = abc
，
O?ABC
3 2
1 1
6
1 1
1 1
1
VM ?OBC = ? ?bca + ? ?abc + ? ?acb = (bca + abc + acb )
，
0
0
0
0
0
0
3 2
1
3 2
3 2
6
1
6
abc = (bca + abc + acb )
所以
，
0
0
0
6
a0
a
b0
b
c0
c
? a
? a
b
c ?
0
c ?
+
+
=1
2
0
+
0
+
= 2
，
則
，則 ?
?
b
故選：D.
10. 【答案】B
【分析】點 (0, 2) 到直線系
y 2 sin
? + ( ? ) ? = ( ?? ? 2π)
中每條直線的距離
M : xcs
1 0
1
d =
M : xcs? + (y ? 2)sin? =1(0 ?? ? 2π)
+ ( ? )
=1的切線
2
x2
y 2
，直線系
表示圓
cs
2
? + sin ?
2
的集合.從切線的角度逐一判斷各個命題即可得到答案.
第9頁/共21頁

【詳解】因為點(0, 2)到直線系 M : xcs
y 2 sin
? + ( ? ) ? = ( ?? ? 2π)
中每條直線的距離
1 0
1
d =
M : xcs? + (y ? 2)sin? =1(0 ?? ? 2π)表示圓 + ( ? )
2
x2
y 2
=1的切線
，直線系
cs
2
? + sin ?
2
的集合.
①：由于直線系表示圓
定點不可能，故①不正確；
+ (y ? 2) =1的所有切線，其中存在兩條切線平行，
M
中所有直線均經(jīng)過一個
2
x
2
+ (y ? 2)
2
=1的所有切線，故圓內(nèi)部的點不在
x
2
M
中的任一條直線上，所以存在無數(shù)
②：直線系表示圓
多個點不在 M 中的任一條直線上，故②正確；
③：由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù) n(n ? 3)，存在正 n
邊形，其所有
邊均在 M 中的直線上，故③正確；
④：如圖， M 中的直線所能圍成的正三角形有兩類，其一是如
是圓的外切三角形，此類面積都相
等，另一類是在圓同一側(cè)，如
相等，故④不正確.
故選：B.
型，此一類面積相等，但兩類之間面積不等，所以面積大小不一定
二、填空題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分
21
11. 【答案】
##10.5
2
?8 = 2bt
?
m = tn
?3 6t
=
【分析】由向量平行可設(shè)
，可得
，解方程即可得解.
?
a = 5t
?
第10頁/共21頁

?8 = 2bt
?b 8
=
?
?
m = tn
?3 6t
=
?
【詳解】由 m / /n 設(shè)
，則
，解得
5
2
,
a =
?
?
a = 5t
?
?
21
a +b =
所以
，
2
21
2
故答案為：
.
12. 【答案】 2
【分析】根據(jù)平行直線間距離公式可直接求得結(jié)果.
8+ 2
d =
= 2
【詳解】由平行直線間距離公式可得：l1,l
之間的距離
.
2
32
+ (?4)
2
故答案為： 2 .
? 3?
0,
13. 【答案】
?
?
? 4?
y ? 2
x ? 4
【分析】已知等式變形后得到圓方程，找出圓心和半徑，令t =
，得到
tx ? y ? 4t + 2 = 0
，根據(jù)直線
和圓有公共點列式求解即可.
y ? 2
x ? 4
【詳解】令t =
，即
tx ? y ? 4t + 2 = 0
，表示一條直線，
又方程
x
+ y
2
? 2x ? 2y +1= 0 可化為 x 1
( ? )
2
+ ( ? )
y 1
2
=1，表示圓心為(1, 1)
，半徑為1的圓，
2
由題意可知圓與直線有公共點，
t ?1? 4t + 2
3
d =
?1，解得 0 ? t ?
所以圓心到直線的距離
，
2
t +1
4
y ? 2
x ? 4
? 3?
? 4?
即
的取值范圍是 ?0,
? ，
? 3?
故答案為： ?0,
?
? 4?
11 5
5
14. 【答案】 ①.
+ 4 ②. 3 2
【分析】先求出直線 AB 的方程，由圓心到直線的距離加上半徑可得最大值；找到當(dāng)? PAB
最大時 P 點所
BP
在的位置，再結(jié)合勾股定理可得
的值.
x
y
x + 2y ? 4 = 0
+
=
1，即
【詳解】由題意可得 AB 的直線方程為
圓的圓心坐標(biāo)為 (5,5)，半徑為 4，
，
4
2
第11頁/共21頁

5+ 2?5? 4 11 5
=
圓心(5,5)到直線 AB 的距離為
，
1+ 4
5
所以點 P 到直線 AB 的距離的最大值為11 5
+
4 ，
5
如圖：
，
當(dāng)? PAB 最大或最小時，直線 PB 與圓相切，上圖的 P 點位置滿足? PAB
最大的情況，
= ( ? )
0 5
2
+ ( ? )
2 5
2
=
34 ，
PM 4，所以 BP
=
=
34 16 3 2
?
=
BM
，
11 5
5
+
4 ；3 2
.
故答案為：
15. 【答案】②③
【分析】①問題化為對于任意點 H，是否存在點 P，使面 AHP
⊥
A B C
A B C ⊥
面
1 1
面
，由已知證面
1
1
BB C C
BC
BB1C
，結(jié)合面面垂直判定判斷存在性即可；②將
繞
翻折到平面
的重心，平面
HP 交 B C 于點 M ，取 B M 的中點 Q ， N 為 AC 的中點，證過點 A, H, P 的三棱柱的截面為梯形
內(nèi)，證
為等邊
1
1
三角形，進(jìn)而確定 (
f x, y)的最小值；③ P 為 CB
的中點， H 為
BCC1B
中，延長
1
1
1
1
1
1 1
15
2
3 3
2
AHMN ，根據(jù)已知求其面積；④由 HB ?
時， AH ?
，進(jìn)而得到 AH + HR ? f (x, y) ? 2AH ，
幾何法確定不等式兩端的范圍，即可判斷.
ABC
BB1 ⊥ A B C
A B ? A B C
，又面，
1 1 1 1 1
【詳解】①因為三棱錐
為直三棱錐，所以
面
1
1
1
BB ⊥ A B
?ABC = 90?，所以 ?A B C = 90?
A B ⊥ B C
，所以，
1 1 1 1
所以
，又
1
1
1
1
1
1
BB
B
1
BB , B C ? BB C C
A B ⊥ BB C C A B ? A B C
，故面，面，
1 1 1 1 1 1 1 1
由
，
面
1
1
1
1
1
1
A B C ⊥ BB C C
H ? BC, P?CB
BB C C
所以面
由于面
面
，而
且都在面
內(nèi)，
1
1
1
1
1
1
1
A B P
A B C
AHP ⊥ A B P
AHP ⊥ A B C
，只需面面，
1 1
即為面
，要使面
面
1
1
1
1
1
1
⊥
A B C
HP ? 面 AHP
AHP ⊥ A B C
AHP ⊥ A B P
，即面面，
1 1
綜上， HP
面
時，
，此時面
面
1
1
1
1
對于任意點 H ，只需對應(yīng) HP 平行于△BCB
中
CB 邊上的高時，均滿足要求，錯；
1
1
第12頁/共21頁

BC
BB1C
AH + HP
的最小值為點 A 到直線CB 的距離，
1
②將
繞
翻折到平面
內(nèi)，則
AB = B B1 = 3 BC = 3， ABC
，
?
= ?B BC 90
=
?
AC CB AB 2 3
=
=
=
又
，所以
，
1
1
1
所以 A 到直線C B1 的距離為 3，所以 f (x, y)的最小值為 3，對；
③當(dāng) (
)取最小時， P 為
的中點，因為
為等邊三角形， B 為
f x, y
CB
AB
的中點，
1
1
1
BH = BC
所以 H 為
的重心，故
，
3
BCC1B
交于點 M ，
HP B C
1 1
在平面
中，延長
1
2
3
PC = PB ?PB1M = ?PCH ?B1PM = ?HPC
B M = CH =
1
因為
，
，
，所以
，故
，
1
B M 的中點Q
1
N
AC
的中點，則
1 1
MN / /A1Q
取
，
為
，
BH / /B1Q ， BH = B1Q
，所以四邊形
BB1QH
HQ / /BB1, HQ = BB
為平行四邊形，則，
1
因為
AA / /BB , AA = BB
AQ / /AH
，所以 MN / /AH ，
1
又
，所以
1
1
1
1
A, H, P
AHMN ，
故過點
的三棱柱的截面為梯形
第13頁/共21頁

2
3
1
AH =
AC
2
? PC
2
= 2 MN = A1Q =1 MH = MQ
+ HQ = 2
，
，
2
2
，
2
AN = A1A
2
+ A1N
2
= 6 ，
如下圖，過 M 作 MG ⊥ AH ，設(shè)
HG = x,MG = y
，
?
2
+
2
=
+
MH = 4
2
x
y
?
MH
2
= HG
2
+ MG
2
, AN
2
= (AG ? MN)
2
+ MG2 ，則 ?
，
因為
( + )
? x 1
2
y2 = 6
?
1
2
1
2
15
3 15
4
(MN AH) MG =
+
?
所以 x
=
, y
=
，則梯形
AHMN
的面積為
，錯；
2
15
2
3 3
AH + HP ? AH + HB 2AH
=
1
④當(dāng) HB
?
時，
AH ?
，結(jié)合題設(shè)知，
2
在下圖中過點 H 作 HR ⊥ BC ，垂足為 R ，則 AH HP AH HR ，
+
?
+
AH + HR ? f (x, y) ? 2AH
綜上，
，
15
2
又 AH HR AH HC AC BC BH 2 3 + 3?
+
?
+
?
+
?
?
?
3 3 ， 2AH ? 3 3
，
15
2
15
2
（對于 2 3 + 3?
?
3 3 ：只需3?
? 3
6 ? 12 + 15
，只需，
即36 ? ( 12 + 15)
2
= 27 +12 5 ，則3 ? 4 5 顯然成立.）
15
故對于任意的點 H ，當(dāng) HB
?
時，都存在對應(yīng)的點 P ，滿足 AH + HP = 3 3 ，
2
(
) =
f x, y 3 3
故滿足
的點 P 有無數(shù)個，對；
故答案為：②③
【點睛】關(guān)鍵點點睛：③利用平面基本性質(zhì)找到截面并證明其為梯形，求出相關(guān)線段長為關(guān)鍵；④注意取
第14頁/共21頁

15
2
3 3
2
HB ?
時， AH ?
⊥
AH + HR ? f (x, y) ? 2AH
，過點 H 作 HR BC ，垂足為 R ，并得到
為關(guān)
鍵.
三、解答題共 5 小題，共 55 分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
16. 【答案】（1）詳見解析
26
（2）
13
【分析】（1）作出輔助線，證明線線平行，進(jìn)而證明出線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角；
【小問 1 詳解】
取 PC 的中點 M，連接 MF，ME，
1
MF = BC
因為 F 是 PB 的中點，所以 MF 是三角形 PBC 的中點，所以 MF∥BC，且
，
2
1
AE = BC
MF∥AE，且 MF=AE，
因為底面 ABCD 為矩形，E 是 AD 的中點，所以 AE∥BC，
所以四邊形 AFME 是平行四邊形，故 AF∥ME，
，所以
2
?
?平面 PCE，所以 AF∥平面 PCE.
因為 AF 平面 PCE，ME
【小問 2 詳解】
因為側(cè)面 PA D 是正三角形，E 是 AD 的中點，所以 PE AD ，又因為側(cè)面 PA D 底面 ABCD，交線為
⊥
⊥
⊥
AD，所以 PE 底面 ABCD，
以 E 為坐標(biāo)原點，ED 所在直線為 x 軸，取 BC 中點 H，EH 所在直線為 y 軸，EP 所在直線為 z 軸建立空間
1 1 3) ，
直角坐標(biāo)系，C(1,1, 0) P(0, 0, 3) B(?1,1, 0) ， F(?
，
，
E(0, 0, 0)
，
, ,
2 2 2
?
?C
y1 = 0
m = (x , y , z )
?
z = 0
1
設(shè)平面 PEC 的法向量
，則
，解得：
，
1
1
1
? EP?m
?
= 0
1
3
2
1
,
3) ，
x =1
1
y = ?1
1
m = (1,?1, 0)
= (?
,?
令
得：
，所以
，CF
2 2
第15頁/共21頁

26
設(shè)直線 CF 與平面 PCE 所成角為? ，故sin? =
=
；
cs CF,m
13
CF m
26
所以直線 CF 與平面 PCE 所成角的正弦值為
.
13
(1, 2) ，C :(x ?1)
2
+ (y ? 2) = 2
2
17. 【答案】（1） AB 中點
（2）l : x + y ?1 = 0
A, B
AB ，
【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求得
即可寫出圓 C 的方程；
的中點，即圓心坐標(biāo)，利用兩點間距離公式可求得直徑
（2）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得切線 l 的斜率，再利用點斜式方程即可求得切線 l 的方程．
【小問 1 詳解】
A(0,1)
B(2, 3)
是圓 C 直徑的兩個端點，
由點
和點
可得 AB 的中點即為圓心 C，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得C(1, 2)
，
即線段 AB 的中點坐標(biāo)為C(1, 2) ，根據(jù)兩點間距離公式得直徑
所以圓 C 的半徑為 r = 2 ，
AB = (2 ? 0)
2
+ (3?1) = 2 2
2
，
則圓的方程為C :(x ?1)
2
+ (y ? 2) = 2
2
【小問 2 詳解】
3?1
2 ? 0
根據(jù)題意可知直線 AB 與切線 l 垂直，直線 AB 的斜率為
k
=
=1，
AB
設(shè)切線 l 的斜率為 k ，滿足
k
，得
k = ?1；
又切線 l 過點 A，利用直線的點斜式方程得l : y ?1= ?1?(x ? 0)
即切線 l 的方程為l : x + y ?1 = 0
；
.
第16頁/共21頁

2 51
17
18. 【答案】（1）見解析（2）
（3）不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）如圖，以 D 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，利用向量法即可得出答
案；
?
（3）假設(shè)存在，設(shè)此時 BF
，分別求出 MF,PC ，根據(jù) MF //PC ，可得存在唯一的實數(shù) ，使
得 MF
= ?PC ，列出方程組，解得即可得出結(jié)論.
【小問 1 詳解】
證明：因為平面 ABCD ⊥ 平面 PCD，平面 ABCD ? 平面 PCD = CD ，
AD ⊥ DC ，所以 AD ⊥ 平面 PCD；
【小問 2 詳解】
z
⊥
解：作軸平面
ABCD
，則軸在平面 PCD中，
z
如圖，以 D 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
(
)
P 0,?1, 3 , D 0,0, 0 , A 2,0,0 , B 2,1, 0 ,C 0, 2,0)，
(
) (
) (
) (
則
則
設(shè)
(
)
(
)
DA = 2,0, 0 , DP = 0,?1, 3 , PC = 0,3,? 3 , BC = ?2,1, 0
(
)
(
)，
m
= (
x , y , z
)
PAD
n = (x , y , z )
為平面 PBC 的法向量，
為平面
的法向量，
1
1
1
2
2
2
?
= 0
?m
(
0, 3,1)
，
m =
?
則有
，可取
?m
?
y + 3z = 0
1
1
n = 1,2,2 3)
(
同理，可取
，
3 + 2 3 2 51
cs m,n =
=
則
，
? 17
17
m n
2
2 51
所以平面 PAD 與平面 PBC 夾角的余弦值為
【小問 3 詳解】
；
17
解：假設(shè)存在，設(shè)此時 BF
，
?
?
3
1
M ?1,? ,
?
，
?
?
2 2
?
?
?
1
3
BF
= ?
= (? ? ? ) MA = ?1, ,?
BC 2 , ,0
?
，
，
?
?
2
2
?
?
第17頁/共21頁

?
3
3
MF = MA+ AB + BF = ?1? 2?, + ?,?
?
則
，
?
?
2
2
?
?
因為 MF //PC ，則 MF//PC ，
?
?
3
3
?
? ? + ? ?
= ( ? ? 3?)
?
?
所以存在唯一的實數(shù) ，使得 MF
= ?PC ，即?1 2 ,
,
0,3 ,
，
?
2
2
?
?
?
?
1? 2? = 0
?
?3
+ ? = 3?
?
所以
，方程組無解，與題設(shè)矛盾，
2
?
?
3
?
= ? 3?
?
?
2
所以不存在一點 F ，使 MF //PC .
2
? x + y
= 5
2
= 0或 x
2
+ y
2
?5x ? 4y + 4 = 0
19. 【答案】19.
x
20. 存在；
x
2
+ y
2
【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程確定圓心和半徑，由題意列出方程，即可求得答案；
（2）先求出點 M 的坐標(biāo)，假設(shè)符合題意的圓存在，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程并和圓的方程聯(lián)
y1
y2
立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合 ?ANM = ?BNM 得出
k + k = 0
，即
+
= 0
，利用根與
NA
NB
x1 ?5 x2 ?5
系數(shù)的關(guān)系化簡求值，結(jié)合驗證直線 AB 的斜率不存在時是否適合題意，即可得出結(jié)論.
【小問 1 詳解】
1+ a a
由已知圓C ：
(
)
2
? ay + a = 0
知圓心為
x
2
? 1+ a x + y
(
, )
，
2
2
(1+ a)
2
+ a
2
? 4a
2a ? 2a +1
2
半徑為 R =
=
，
2
2
1+ a
2a
2
? 2a +1
由于圓C 與 y 軸相切，故|
解得 a = 0 或 a = 4 ，
|=
，即 a2 ? 4a = 0 ，
2
2
第18頁/共21頁

x
2
? x + y
2
= 0或 x
2
+ y ?5x ? 4y + 4 = 0 ；
2
故圓 C 的方程為：
【小問 2 詳解】
當(dāng) a = 5 時，圓C 方程為
x
2
? 6x + y ?5y + 5 = 0，
2
y = 0
2
? 6x + 5 = 0
，解得
x =1或 x = 5，
令
，則
x
故
M (1, 0), N(5, 0)，
假設(shè)存在圓O ：
x
2
+ y
2
= r2 ，使得過點 M 的任一條直線與該圓的交點為 A，B，都有
= r2 內(nèi)，即 r ?1；
?ANM = ?BNM ，
x
2
+ y
2
則必有 M 點在圓
y = k(x ?1)
+ y
= r
，
當(dāng)直線 AB 與 x 軸不垂直時，設(shè)其方程為
，聯(lián)立
x
2
2
2
得(1+ k
)
x
? 2k
x + k
? r
= 0
2
2
2
2
2
2
+ y
2
= r
2
，由于直線 AB 經(jīng)過點 M，M 在圓
x
內(nèi)，
則必有 ? ? 0，
2k
+
2
k
2
? r
2
設(shè) (
) (
)，則 x1 x2
A x , y ,B x , y
2
，
+
=
, x1x2
=
1
1
2
1 k
2
1+ k
2
由 ?ANM = ?BNM 可知
k + k = 0
，由題意知
= 0
，
?ANM = ?BNM
不可能為直角，
NA
NB
y1
y2
x ? 5, x ? 5
+
故
，故
1
2
x1 ?5 x2 ?5
( ? )( ? )+ ( ? )( ? )
1 x 5 ]
1
k[ x 1 x
5
x
1
2
2
= 0，
即
( ? )( ? )
x
5 x2
5
1
即(
x ?1 x ?5 + x ?1 x ?5 = 2x x ? 6 x + x +10 = 0
)(
) (
)(
)
(
1
)
1
2
2
1
1
2
2
k
2
? r
2
2k
2
10 ? 2r
2
即 2?
? 6?
+
10
=
=
0，則 r
2
=
5 ，
1+ k
2
1+ k
2
1+ k
2
當(dāng)直線 AB 與 x 軸垂直時，
A, B
關(guān)于 x 軸對稱，顯然
?ANM = ?BNM
，符合題意，
x
2
+ y
2
= 5，使得過點 M 的任一條直線與該圓的交點為 A，B，都有 ?ANM = ?BNM .
綜上可知，存在圓
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查圓的方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系中的探索問題，解答的關(guān)鍵是假設(shè)
探索性問題的結(jié)論存在，由此利用直線和圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，由 ?ANM = ?BNM 得
k + k = 0
，進(jìn)而列方程化簡求解，即可得出結(jié)論.
NA
NB
A
4
= ?(2, 4)?, A
具有性質(zhì) P ,T
4
20. 【答案】（1）
不具有性質(zhì) P
5
（2）見解析（3） n ?3
A4, A
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì) P 的定義判斷
是否滿足題意，同時根據(jù)T 的定義寫出T ；
5
n
n
(1, 3), (2, 4) 至少有一個在T
T ? ?
即可得證；
4
（2）利用反證法證明
中，
4
（3）設(shè)Tn 中元素個數(shù)最小為，根據(jù)新定義可知
d
d ? d +1，以此類推可得 d ? d + n ? 4
，由（2）
n n?1 n 4
n
第19頁/共21頁

d ?1
4
d ? n ?3
，再進(jìn)行證明即可.
n
知
，則
【小問 1 詳解】
A
a =1,a = 0.1,a = ?0.2,a = 0.5
，
1 2 3 4
解：由題知：1，0.1，-0.2，0.5，即
4
a ? a = a ? a = 0.5 ?1, a ? a = 0.9 ?1, a ? a = 0.3 ?1, a ? a = 0.7 ?1,
因為
1
0
1
4
2
1
3
2
4
3
A
所以具有性質(zhì) P ,
4
?
?
T = i, j a ? a ?1,2 ? j ?i ? n ? 2 i, j =1, 2,???,n) ，
( )
(
又因為
n
i
j
所以當(dāng) n 4 時，
a ? a =1.2 ?1, a ? a = 0.4 ?1，所以T = ?(2, 4)
4
=
2 ? j ?i ? 4 ? 2
j ? i = 2
，即，
所以可得
?
；
1
3
2
4
A
a =1,a = 2,a = 0.7,a =1.2,a = 2
，
1 2 3 4 5
又由題知：1，2，0.7，1.2，2，即
5
a ? a =1.3 ?1
A
因為
所以
，所以不具有性質(zhì) P ；
3
2
5
A
具有性質(zhì) P ,T
= ?(2, 4)?, A
不具有性質(zhì) P .
5
4
4
【小問 2 詳解】
T ? ?
(1, 3), (2, 4) 兩個元素至少有一個在T
4
證明：要證
，即證：
中，
，
4
(1, 3), (2, 4) 兩個元素均不在T
a ? a ?1, a ? a ?1
1 3 2 4
假設(shè)
中，則
4
a ≤ a
1
a ? a
?1? a ? a ? 0,0 ? a ? a ?1
，則，
1 2 2 3
不妨設(shè)
，若
2
2
3
a ? a = a ? a + a ? a
?1? a ? a ?1
，
1 3
又由
，則
1
3
1
2
2
3
a ? a ?1
a ? a
a ? a
，
3 4
與
矛盾，所以
，同理可得：
1
3
2
3
a ? a ? a ? a
a ? a = a ? a = a ? a = a ? a + a ? a ? a ? a ?1
所以
，所以
，
1
2
3
4
1
0
1
4
4
1
4
2
2
1
4
2
A
T ? ?
4
這與具有性質(zhì) P 矛盾，所以假設(shè)不成立，即
得證.
4
【小問 3 詳解】
a = min a ,a ,
?
? k ? n ?1)
，
設(shè)
k
1
2
=
a
= n
時，
a
= a
，
k+1 1
規(guī)定 k 1時，
=
a
，
k
k?1
n
a ,a ? a ,a +1?，所以
?
a
? ak?1 ?1，
k+1
則
k?1
k+1
k
k
B : a ,a ,a
C
: a ,a ,
n?1 1 2
考慮數(shù)列
k+1，
，
3
k?1
k
由題設(shè)可知，他們均具有性質(zhì) P ，設(shè)Tn 中元素個數(shù)最小為
d ? d +1，所以 dn ? dn?1 +1? dn?2 + 2 ?
d
，
n
n ? 4
則可得
，
n
n?1
d ?1
4
d ? n ?3
，
n
由（2）知
，則
3
當(dāng) n = 2m +1時，令
a = i(i =1, 2,
i
，
a
= m + ?i(i =1, 2,
m+i
，
2
第20頁/共21頁

1
當(dāng) n = 2m 時，令
a = i(i =1, 2,
i
，
a
= m + ?i(i =1, 2,
m+i
，
2
d = n ?3
n
n ?3
.
此時均有
，所以Tn 中元素個數(shù)的最小值為
【點睛】思路點睛：此題考查數(shù)列與集合結(jié)合的新定義問題，屬于難題.
關(guān)于新定義題型的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）根據(jù)已知條件和所求，通過分析把所求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；
（3）將已知條件代入新定義要素中；
（4）最后結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行規(guī)范的解答.
第21頁/共21頁

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多