2023年11月3日
說(shuō)明：本試卷共六道大題，共7頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
第I卷（共18題，滿分100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
1. 已知平面平面，直線，直線，則與的位置關(guān)系是（ ）
A. 平行B. 平行或異面C. 異面D. 異面或相交
2. 已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）.
A.B. C. D.
3. 一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角，其中，則平面圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若分別是直線的方向向量，則所成角余弦值是
B. 若分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則l與所成角正弦值是
C. 若分別是平面ABC、平面BCD的法向量，則二面角的余弦值是
D. 若分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則l與所成角余弦值是.
5. 一個(gè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切，過(guò)一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是
A. B. C. D.
6. 如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，，且，則線段的長(zhǎng)為（ ）

A.9B. C. D.
7. 如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)A，B，，，若，則AB的長(zhǎng)度（ ）
A. 22B. 40C. D.
8. 魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái).若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器（容器壁的厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為
A. 41πB. 42πC. 43πD. 44π
9. 如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，是棱長(zhǎng)為的正四面體，底面,在同一個(gè)平面內(nèi)，，則正方體中過(guò)且與平面平行的截面面積是
A. B. C. D.
10. 《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵．斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是：如圖，沿正方體對(duì)角面截正方體可得兩個(gè)壍堵，再沿平面截壍堵可得一個(gè)陽(yáng)馬（四棱錐），一個(gè)鱉臑（三個(gè)棱錐），若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)，平面，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，與圖中鱉臑截面面積為，則點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
11. 已知正方形的邊長(zhǎng)為2，則_________.
12. 已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則此圓錐的表面積為________.
13. 平面與平面垂直的判定定理符號(hào)語(yǔ)言為：____________________.
14. 在移動(dòng)通信中，總是有很多用戶希望能夠同享一個(gè)發(fā)射媒介，進(jìn)行無(wú)線通信，這種通信方式稱為多址通信.多址通信的理論基礎(chǔ)是：若用戶之間的信號(hào)可以做到正交，這些用戶就可以同享一個(gè)發(fā)射媒介.在n維空間中，正交的定義是兩個(gè)n維向量滿足.已知某通信方式中用戶的信號(hào)是4維非平向量，有四個(gè)用戶同享一個(gè)發(fā)射媒介，已知前三個(gè)用戶的信號(hào)向量為.寫出一個(gè)滿足條件的第四個(gè)用戶的信號(hào)向量__________.
15. 一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有一個(gè)是邊長(zhǎng)為2的正三角形，另兩個(gè)是等腰直角三角形，則該三棱錐的體積可能為__________.
三、解答題（本大題共3小題，共35分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
16. 已知空間直角坐標(biāo)系中四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：.
（1）求；
（2）若，求x的值；
（3）若D點(diǎn)在平面ABC上，直接寫出x的值.
17. 如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說(shuō)明理由.
18. 如圖所標(biāo)，已知四棱錐中，ABCD是直角梯形，，平面平面，.

（1）證明：平面；
（2）求B到平面的距離；
（3）求二面角的余弦值.
第Ⅱ卷（共8道題，滿分50分）
一、選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
19. 關(guān)于空間中的角，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①空間中兩條直線所成角的取值范圍是 ②空間中直線與平面所成角的取值范圍是
③空間中二面角的平面角的取值范圍是 ④空間中平面與平面所成角的取值范圍是
A. 1B. 2C. 3D. 4
20. .如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別為邊，的中點(diǎn).將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置可能重合B. 點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為
C. 直線與直線可能垂直D. 直線與直線可能垂直
21. 在正方體中，為棱上一動(dòng)點(diǎn)，為底面上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體，則這個(gè)幾何體是（ ）
A. 棱柱B. 棱臺(tái)C. 棱錐D. 球的一部分
22. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在點(diǎn)Q，使得B. 存在點(diǎn)Q，使得平面
C. 三棱錐的體積是定值D. 存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為
二、填空題（共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
23. 如圖，在邊長(zhǎng)為2正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上移動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的周長(zhǎng)是__________.
24. 已知正三棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為2，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為 ___________．
25. 點(diǎn)是正四面體的中心，.若，其中，則動(dòng)點(diǎn)掃過(guò)的區(qū)域的體積為________.
三、解答題（本小題15分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
26. 已知自然數(shù)集，非空集合.若集合E滿足：對(duì)任意，存在，使得，稱集合E為集合A的一組m元基底.
（1）分別判斷下列集合E是否為集合A的一組二元基底，并說(shuō)明理由：
①；
②.
（2）若集合E是集合A的一組m元基底，證明：；
（3）若集合E為集合的一組m元基底，求m的最小值.
參考答案
第I卷（共18題，滿分100分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
1. 【答案】B
【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，直線，直線，
所以與沒有交點(diǎn)，即與可能平行，也可能異面．
故選：B.
2. 【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示可得.
【詳解】由空間向量的坐標(biāo)表示可知，，
所以，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
故選：B
3. 【答案】B
【分析】先求得原圖形三角形的底與高的值，進(jìn)而求得原圖形的面積
【詳解】因?yàn)樵谥庇^圖中，，所以，
所以如下圖，原圖形是一個(gè)底邊長(zhǎng)為，高為的直角三角形，
故原圖形的面積為.
故選：B
4. 【答案】C
【分析】根據(jù)向量法逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橹本€與直線所成角范圍為，所以所成角余弦值為，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)橹本€與平面所成角范圍為，所以l與所成角正弦值，l與所成角余弦值為，故BD正確；
對(duì)于C：因?yàn)槎娼堑钠矫娼撬山欠秶鸀?，所以二面角的余弦值可能為?fù)值，故C錯(cuò)誤；
故選：C
5. 【答案】B
【分析】設(shè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，由確定的平面，得到截面，再由正四面體的性質(zhì)和圖象的對(duì)稱性加以分析，同時(shí)對(duì)照選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐的各棱長(zhǎng)均相等，球是它的內(nèi)切球，
設(shè)為底面的中心，根據(jù)對(duì)稱性可得內(nèi)切球的球心在三棱錐的高上，
由確定的平面交于，連接，得到截面，
截面就是經(jīng)過(guò)側(cè)棱與中點(diǎn)的截面，
平面與內(nèi)切球相交，截得的球大圓如圖所示，
因?yàn)橹?，圓分別與相切于點(diǎn)，且，圓與相離，
所對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有B項(xiàng)的截面符合題意，故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四面體的內(nèi)切球的截面問題，其中解答中正確理解組合體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了正四面體的性質(zhì)，球的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題.
6. 【答案】C
【分析】由，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出的值，進(jìn)而可得答案
【詳解】由，
.
因?yàn)榈酌媸蔷匦危?，，?br>所以，，
因?yàn)椋?br>所以
所以，
故選：C.
7. 【答案】C
【分析】過(guò)作且，連接，易得，通過(guò)線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，由勾股定理即可求出答案.
【詳解】解：過(guò)作且，連接，則四邊形是平行四邊形，
因?yàn)?，所以平行四邊形是矩形，因?yàn)?，即?br>而，則是二面角的平面角，即，
因?yàn)?，即為正三角形，所以?br>因?yàn)?，即，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?br>所以在中，，所以，
故選：C
8. 【答案】A
【分析】
由于圖形的對(duì)稱性，只要求出一組正四棱柱的體對(duì)角線，即是外接圓的直徑.
【詳解】由題意，該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個(gè)長(zhǎng)方體體對(duì)角線的一半，
即為，
∴該球形容器體積的最小值為：441π.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問題，考查了空間想象能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，該類問題的一個(gè)主要方法是通過(guò)空間想象，把實(shí)際問題抽象成空間幾何問題，屬于中檔題.
9. 【答案】C
【分析】首先要根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理確定截面的形狀，再根據(jù)正四面體的性質(zhì)、等角定理等確定點(diǎn)的具體位置、的長(zhǎng)度，從而求出截面面積.
【詳解】
設(shè)截面與分別相交于點(diǎn)則，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則是底面的中心.設(shè)，則，又因?yàn)?，，所以，所以，所以四邊形的面積.選C.
【點(diǎn)睛】本題考查正棱錐的平行關(guān)系、等角定理，考查空間想象能力，突顯了直觀想象的考查.屬中檔題.
10. 【答案】B
【分析】分析得出，可得出，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)、分別為截面與、的交點(diǎn)，，，

平面，平面，所以，平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以，，同理可得，，
所以，，
所以，，易知，
因此，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的辨別，解題的關(guān)鍵就是充分分析圖形的幾何特征，以此求出函數(shù)解析式，結(jié)合解析式進(jìn)行判斷.
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
11. 【答案】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積以及模長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】由題意可知，
故，
故答案為：
12. 【答案】
【分析】由軸截面可確定圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)，代入圓錐表面積公式即可.
【詳解】圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，圓錐底面半徑，圓錐母線長(zhǎng)，
圓錐的表面積.
故答案為：.
13. 【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)“平面與平面垂直的判定定理”寫出正確答案.
【詳解】平面與平面垂直的判定定理：.
故答案為：（答案不唯一）
14. 【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)“正交”的定義列方程，從而求得正確答案.
【詳解】設(shè)滿足條件的第四個(gè)用戶的信號(hào)向量是，
則，
則，則，
故一個(gè)滿足條件的信號(hào)向量是.
故答案為：（答案不唯一）
15. 【答案】（或或，答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知條件進(jìn)行分類討論，結(jié)合三棱錐的體積公式求得正確答案.
【詳解】（1）是等邊三角形，且，如下圖所示，
由于平面，所以平面，
，，
則.
（2）是等邊三角形，且，如下圖所示，
由于平面，所以平面，
，
所以.
（3）是等邊三角形，且，如下圖所示，
取的中點(diǎn)，連接，則，，
，，
平面，
所以平面.
所以.
故答案為：（或或，答案不唯一）.
三、解答題（本大題共3小題，共35分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
16. 【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)空間向量的模求得正確答案.
（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.
（3）根據(jù)向量共面列方程，從而求得的值.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
，
由于，所以，
解得.
【小問3詳解】
，
設(shè)，即，
所以，解得.
17. 【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）存在，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；
（3）根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.
【小問1詳解】
在四棱錐中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
【小問2詳解】
如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，則平面
【小問3詳解】
取中點(diǎn)N，連接，，
因?yàn)镋，N分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，
所以平面，所以線段存在點(diǎn)N，使得平面.
18. 【答案】（1）證明詳見解析
（2）
（3）
【分析】（1）通過(guò)證明，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證得平面ABCD.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得B到平面ADE的距離.
（3）利用向量法求得二面角的余弦值.
【小問1詳解】
由于，所以，
由于平面平面，且交線為，
平面，所以平面.
【小問2詳解】
由于平面，所以，
所以兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，
故，設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
又，所以到平面的距離為.
【小問3詳解】
由（2）得平面的法向量為.
而，設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
由圖可知二面角為鈍角，設(shè)為，
則.
第Ⅱ卷（共8道題，滿分50分）
一、選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置.）
19. 【答案】C
【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面所成角范圍判斷即可.
【詳解】對(duì)于①：由空間中兩條直線所成角的取值范圍是，可知①正確；
對(duì)于②：由空間中直線與平面所成角的取值范圍是，可知②正確；
對(duì)于③：空間中二面角的平面角的取值范圍是，可知③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：空間中平面與平面所成角的取值范圍是，可知④正確；
故選：C
20. 【答案】D
【分析】將沿所在直線進(jìn)行翻折，將沿所在直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中A，C的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是圓，，是以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐側(cè)面；，是以為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐側(cè)面；
【詳解】由題意，在翻折過(guò)程中A，C的運(yùn)動(dòng)軌跡分別是兩個(gè)平行的圓，所以點(diǎn)A與點(diǎn)C不可能重合，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為正方形的對(duì)角線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
由題易知直線與直線平行，所以直線與直線所成角和直線與直線所成角相等，顯然直線與直線不垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由題在正方形中直線與直線平行，設(shè)翻折后點(diǎn)為，
由題易知初始位置，當(dāng)沿所在直線翻折到與平面重合時(shí)，
所以在此連續(xù)變化過(guò)程中必存在，即，所以,
所以翻折過(guò)程中，直線與直線可能垂直，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
21. 【答案】A
【分析】先討論點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的軌跡，再分析把點(diǎn)從點(diǎn)向上沿移動(dòng)，在移動(dòng)的過(guò)程中點(diǎn)的軌跡，從而可得出結(jié)論.
【詳解】解：若點(diǎn)與點(diǎn)重合，
設(shè)的中點(diǎn)分別為，
移動(dòng)點(diǎn)，則此時(shí)點(diǎn)的軌跡為以鄰邊的正方形，
再將點(diǎn)從點(diǎn)向上沿移動(dòng)，
在移動(dòng)的過(guò)程中可得點(diǎn)的軌跡是將以鄰邊的正方形沿向上移動(dòng)，
最后當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，得到最后一個(gè)正方形，
故所得的幾何體為棱柱.
故選：A.
22. 【答案】B
【分析】A由、即可判斷；B若為中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；C只需求證與面是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.
【詳解】A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，
所以，故不可能平行，錯(cuò)；
B：若為中點(diǎn)，則，而，故，
又面，面，則，故，
，面，則面，
所以存在Q使得平面，對(duì)；
C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，
所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面的距離不一定相等，
故三棱錐的體積不是定值，錯(cuò)；
D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，
所以，，若它們夾角為，
則，
令，則，
當(dāng)，則，；
當(dāng)則；
當(dāng)，則，；
所以不在上述范圍內(nèi)，錯(cuò).
故選：B
二、填空題（共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題紙上的相應(yīng)位置.）
23. 【答案】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)法證明，從而得出滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形，進(jìn)而得出周長(zhǎng).
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
如圖，取的中點(diǎn)分別為，連接，
由于，所以四點(diǎn)共面，且四邊形為梯形，
，
，
因?yàn)?br>所以，所以由線面垂直的判定可知平面，
即滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為，
由于，則滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的周長(zhǎng)為.
故答案為：
24. 【答案】
【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，以和所在的直線分別為軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎睦庵乃袀?cè)棱長(zhǎng)及底面邊長(zhǎng)都為，
可得，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
可得，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
故答案為：.

25.
【答案】
【分析】將正四面體放入正方體中，得到正方體的體對(duì)角線是，從而得到該正方體的邊長(zhǎng)，再根據(jù)條件得到掃過(guò)的區(qū)域的體積即可.
【詳解】圖，作出正四面體，

將正四面體放入正方體中，如下圖所示：

則是該正方體的中心，
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則，解得：，
又，，
則知掃過(guò)的區(qū)域的邊界是以該正方體的六個(gè)面作延伸的六個(gè)全等的正方體的中心為頂點(diǎn)的正方體，其中兩個(gè)面如下圖所示：

可得動(dòng)點(diǎn)掃過(guò)的區(qū)域的體積為該正方體體積的倍，
即動(dòng)點(diǎn)掃過(guò)的區(qū)域的體積.
故答案為：.
三、解答題（本小題15分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將答案寫在答題紙上的相應(yīng)位置.）
26. 【答案】（1）①不是；②是
（2）證明見解析 （3）5
【分析】（1）根據(jù)題干信息，利用二元基底的定義加以驗(yàn)證即可；
（2）首先設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意可得：，即可得證：；
（3）由（2）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”，再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得的最小值為.
【小問1詳解】
不是的一個(gè)二元基底
理由是
是的一個(gè)二元基底
理由是；；；
，，.
【小問2詳解】
不妨設(shè)，則
形如的正整數(shù)共有個(gè)；
形如的正整數(shù)共有個(gè)；
形如的正整數(shù)至多有個(gè)；
形如的正整數(shù)至多有個(gè)；
又集合含有個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.
故，即.
【小問3詳解】
由（2）可知，所以.
當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè).
假設(shè)為的一個(gè)元基底，
不妨設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.
如果，則，，，，重復(fù)元素超出一個(gè)，不符合條件；
如果，則或，易知和都不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，均不可能是的4元基底.
當(dāng)時(shí)，易驗(yàn)證的一個(gè)基底，
理由：；；；；；
；；；；；
；；；；；
；；；.
綜上所述，的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，照章辦事，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.

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